P1072 Hankson 的趣味题 数学或者模拟

题目描述  https://www.luogu.org/problemnew/show/P1072

Hanks 博士是 BT(Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c_1c1​ 和 c_2c2​ 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a_0,a_1,b_0,b_1a0​,a1​,b0​,b1​，设某未知正整数xx 满足：

1． xx 和 a_0a0​ 的最大公约数是 a_1a1​；

2． xx 和 b_0b0​ 的最小公倍数是b_1b1​。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数xx。但稍加思索之后，他发现这样的xx 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 xx 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行为一个正整数 nn，表示有 nn 组输入数据。接下来的nn 行每行一组输入数据，为四个正整数 a_0,a_1,b_0,b_1a0​,a1​,b0​,b1​，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a_0a0​ 能被 a_1a1​ 整除，b_1b1​ 能被b_0b0​整除。

 

输出格式：

 

共 nn行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 xx，请输出 00；

若存在这样的xx，请输出满足条件的xx 的个数；

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出样例#1： 复制

6 
2

说明

【说明】

第一组输入数据，xx可以是 9,18,36,72,144,2889,18,36,72,144,288，共有66 个。

第二组输入数据，xx 可以是48,177648,1776，共有 22 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a_0,a_1,b_0,b_1≤100001≤a0​,a1​,b0​,b1​≤10000 且n≤100n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a_0,a_1,b_0,b_1≤2,000,000,0001≤a0​,a1​,b0​,b1​≤2,000,000,000 且 n≤2000n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

我的思路，将b1和b0分解，相同部分是可选的，不同部分需要取b1中的，然后就是根据最小公倍数原理得到可能的x，之后带入最大公约数进行判断。完全是过程模拟。 80分，另外两个超时。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll a0,a1,b0,b1;
set<ll> res;
map<ll,int> vb1,vb0,iselect; //可选部分
ll imust=1; //必须有的部分

map<ll,int> factor(ll num)
{
    bool isgo=true;
    map<ll,int> mp;
    while(isgo)
    {
        ll r=(num);
        isgo=false;
        for(int i=2; i<r+1; i++)
        {
            if(num%i==0)
            {

                if(!mp.count(i))
                    mp[i]=1;
                else mp[i]++;
                num=num/i;
                isgo=true;
                break;
            }

        }
    }
    return mp;
}
void dfs(ll num,int clevel,int ilevel)
{
    if(clevel==ilevel)
    {
        if(!res.count(num)) res.insert(num);
        return;
    }
    ll istart=num;
    map<ll,int>::iterator it=iselect.begin();
    for(int i=0; i<clevel; i++) it++;
    dfs(istart,clevel+1,ilevel);
    for(int i=0; i<(*it).second; i++)
    {
        istart=istart*((*it).first);
        dfs(istart,clevel+1,ilevel);

    }

}

ll gcd(ll a, ll b) {
    int t, r;
    if (b>a)
    {
        t = a;
        a = b;
        b = t;
    }
    while ((r = a%b) != 0)
    {
        a = b;
        b = r;
    }
    return(b);
}
int main()
{

    cin>>n;
    while(n--)
    {
        //cin>>a0>>a1>>b0>>b1;
        scanf("%lld %lld %lld %lld",&a0,&a1,&b0,&b1);
        vb1.clear();
        vb0.clear();
        imust=1;
        iselect.clear();
        res.clear();
        vb1=factor(b1);
        vb0=factor(b0);
        map<ll,int>::iterator it;

        for(it=vb1.begin(); it!=vb1.end(); it++)
        {
            ll t=(*it).first;
            if(vb0.count(t)&&vb0[t]==vb1[t])
            {
                //这个元素 两个都有且个数相同
                iselect[it->first]=it->second;
            }
            else
            {
                for(int j=0; j<(*it).second; j++)
                    imust*=t;
            }
        }
        dfs(imust,0,iselect.size());
        int count=0;
        for(set<ll>::iterator it=res.begin(); it!=res.end(); it++)
        {
            if(gcd(*it,a0)==a1)
            {
                count=count+1;
            }

        }
        cout<<count<<endl;
    }
    return 0;
}

牛人的代码

• 首先来分析一下这个题目

证明:

• 把上面的结论推广一下，得到结论PP

对于两个正整数a,ba,b，设gcd(a,b)=kgcd(a,b)=k，则存在gcd(a/k,b/k)=1gcd(a/k,b/k)=1

• 应用结论PP

• 整理一下式子

用心体会这两个式子，你会发现xx是a_1a1​的整数倍而且是b_1b1​的因子

好像这个由gcd和lcm也可以得到？嗯，就这样于是得到一种解题思路

√1b1 枚举b1 的因子(也就是 x )，如果这个数是 a1 的整数倍，并且满足那两个式子，ans++

#include<cstdio>
using namespace std;
int gcd(int a,int b) {
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main() {
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        int a0,a1,b0,b1;
        scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        int p=a0/a1,q=b1/b0,ans=0;
        for(int x=1;x*x<=b1;x++) 
            if(b1%x==0){
                if(x%a1==0&&gcd(x/a1,p)==1&&gcd(q,b1/x)==1) ans++;
                int y=b1/x;//得到另一个因子
                if(x==y) continue; 
                if(y%a1==0&&gcd(y/a1,p)==1&&gcd(q,b1/y)==1) ans++;
            }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}