《图像处理、分析与机器视觉 第四版》 图像积分线性变换2——学习笔记

离散余弦变换

离散余钱变换（OCT）是积分线性变换， 与离散傅里I叶变换(OFT)相似［Rao and Yip, 1990］。 在lD, 以递增的频率的余弦为基的数用于展开函数：展开是这些基函数的 线性组合，这样的展开 用实数就足够了（而 傅里叶变换需要复数）。 DCT展开大致对应于使用偶对称函数的两倍长度的OFT。

与OFT相似，OCT作用于有限长度的函数样本上，该函数的周期性延拓为作OCT（或OFT)展开所必需。DCT比DFT要求更严格的周期性延拓（更严格的边界条件〉一一一它要求延拓是偶函数。
与FFT类似，有种OCT的计算方法在ID情况下具有O(NlogN)计算复杂度，其中N是序列的长度。

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小波变换

傅里叶变换将信号展开为可能是无限个正强和余弦的线性组合。缺点是仅提供有关频谱的信息，不能获得事件所发生的时间方面的信息。换句话说，傅里叶谱提供了图像中出现的所有频率，但是并不能告知它们出现在何处。我们也知道了频率分辨率和空间分辨率之间的关系由测不准原理给出。

定位信号（图像）中的变化的一种解决力法是使用短时傅里叶变换，其中信号被分解为小窗口并将其后作周期函数作用部处理。测不准原理为如何选择窗口来最小化负面影响，即窗口必须与邻近的窗口光滑地连接，提供指导。窗口的两难境地仍然存在一一窄窗带来差的频率分辨率，而宽窗提供定位差。

小波变换比短时傅里叶变换更进一步。它分析信号（图像）也是通过乘以窗函数并作正交展开来进行，与其他积分线性变换类似。小波分析在两个方向k做了扩展。

在第一个方向上 ，基函数（称作小波，意指小的波，或母小波）比正弦和余弦要复杂。5中常见的母小波如下图所示：

在第二个方向上 小波分析是在多个尺度进行的。空域的局部性和小波在频域的局部性相结合使其可以稀疏地表达很多信号（图像）。这种稀疏性为在数据／图像压缩、噪声滤波和图像特征检测中的成功应用打开了大门。

小波的应用证明了这种方法的价值。在数据压缩、特征抽取和图像噪声抑制中， 小波的应用得到了巨大的成功一一可以将对应于噪声的 “ 小的 ” 小波分量的影响消除到几乎为零的程度， 而并不减弱图像中重要的小细节。

本征分析

包括图像分析在内的许多学科，都试图用能够增强其贡献分量问的相互独立性的方式来表示观测、信号、 图像和一般数据。线性代数为此提供了合适的工具。

线性方程组（ system of linear equation ）可以用 矩阵 形式表达为 Ax=b, 其中 A是方程组 矩阵 。

习求特征多项式的根通常在计算上不划算，我们会使用更有效率的方法，例如奇异 值分解.

奇异值分解

本征值和本征向量是定义在方阵 k的，其在矩形矩阵上的推广一一奇异值（ singular value ）一是奇异值分解方法。

SVD 是 一个强有力的矩形实或复矩阵的线性代数因子分解技术，它甚至对于奇异或数值上接近奇异的矩阵仍有效。

SVD可用F求解对应于奇异矩阵的线性方程组的解，这样的方程组原本无确切的解：在最小二乘意义 F找到最近的可能解。

主向量分析

主分量分析（principalcomponent analysis, PCA）是一种重要的线性方法，在统计、信号处理、图像处 理和其他学科中广为使用。

在统计学中，PCA是一种将高维数据集简化到低维以便于分析或显示的方法。

由于产生降维，PCA可用于有损的数据压缩（lossy data compression），以保留数据集对其方差影响最 人的那些特征。

协方差矩阵（covariance matrix) cov(x）有一些特殊性质： 它是实对称的、 半正定的， 因此肯定具有实本征值。

PCA用于图像也有其缺欠。通过逐列组织成1D向量，给定像素与其相邻行中的像素之间的关系没有被考虑进来。另一个缺欠是该表达所具有的全局性特点，输入图像的小变化或误差会影响整个本征表达。

Radon变换

图像投影反映了很多重要特性，并且能被一系列物理过程实现。一个完备的（连续的）投影集合包含了与原图像相同的信息，它被成为Radon变换。

Radon逆变换是基于傅里叶变换技术的，特别是傅里叶切片定理。

在数字图像中，Radon交换足对通过图像的一组射线求和来实现的：变换的维数取决于图像的最大直径和射线角度的采样粒度。