在文章 Measurement of Boltzman’s Constant 作者对， Inman和Miller 在1979年的一个基于晶体三极管测量Boltzmann常数的时间进行的复现和讲解。作为电子学教育的一个很好的文章。

 

01 PN结的电压与电流

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在PN结两边由于电子热扩散以及随后引起的电子-空穴的复合，形成的耗散区域，产生了一个$V_0$V0​的接触电位，并形成了PN结内部的电场$E_d$Ed​。$E_d$Ed​是$V_0$V0​除以PN物理等效宽度。

在n型半导体内部的电子的热动能呈现Boltzmann分布：

这其中动能大于$e \cdot V_0$e⋅V0​的电子数量应该是：

这表明可以越过PN结内部电场的电子数量是V0的指数函数。假设其中有一定比例的电子正好越过PN结，这样就形成了扩散电流，它的形式为 原文 中的公式（1）：

由PN结内部电场$E_d$Ed​会使得一部分在p型半导体的电子（包括扩散来的电子以及p型半导体内部热运动产生的电子）流向n型半导体，形成逆向（与扩散电流相反）电流。在平衡下，电场$E_d$Ed​引起逆向电流等于（1-3）对应的扩散电流，$i_0$i0​。

^{▲ PN结两边的势能以及电子的Boltsmann分布}

当PN结施加正向电压（从p型半导体指向n型半导体）$V$V后，PN结两边的电位差就变成了$V_0 - V$V0​−V，形成的扩散电流就变成了:

在施加了正向电压之后，PN结内部的电场应该也发生了变化。所产生的逆向电流并没有变化，这是因为逆向电流是对那些漂移到p型半导体耗散层的电子的总和（因为它们都会被内电场发送到n型半导体耗散层），这些电子没有发生变化，所以逆向电流依然是（1-3）公式对应的值。

根据公式（1-4），（1-3），扩散电流减去逆向电流就是观察到的PN结的导通电流：

这就得到了PN结电流与电压之间的关系。通常，由于$e^{{{eV_0 } \over {kT}}}$ekTeV0​​远远大于1，所以可以将（1-5）公式括号中的1省略掉。

在上述公式中，还有其他的因素会影响指数的系数，最后的公式可以写成：

其中m可以取值从1到2.5。

 

02三极管内的PN结电流

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在三极管中，如果集电极与基极之间的电位$U_{b - c}$Ub−c​始终保持为0时，那么发射极与基极之间的电流与PN结之间的关系就由（1-5）来决定了。

因此，如果把三极管的集电极电流$I_c$Ic​作为发射极-基极之间电压$U_{b - e}$Ub−e​的关系的话，那么就有：

这个方程也被称为：Ebers-Moll方程。

^{▲ 三极管的发射极与集电极电流}

公式（2-1）是所有基于三极管PN结来测量Boltzmann常数的基础。

下图是摘自1973年Inman,Miller论文中的电路图，其中使用了PNP型 晶体管TIP29(30) 的b-PN结来测量，图中的R选取1MΩ至10kΩ，取决于测量电流的范围。

^{▲ 测量三极管TIP29PN结电流和电压关系的电路}

使用中，使用了较为便宜的运放 741 对集电极电流进行电压转换。为了消除 741 较大的偏置电压，可以将TIP29 与运放断开，测量出对应的偏移量，最后从测量数据中扣除其影响即可。

图中采用了TIP29是一个大型功率三极管，可以通过散热片来保证晶体管内部温度与环境温度相一致。

也可以将上述三极管浸泡在绝缘油里来控制三极管的温度。

下图是原论文中给出的在不同的反馈电阻R下，也就是在不同的电流范围内测量的电流与电压之间的关系。其中电流使用了对数，这样就得到了电流与电压之间的线性关系。

^{▲ 分别在三种不同的反馈电阻向测量的结果}

图中对于大电流下（测量线C）出现的偏差，原来来自于PN结内的电阻存在对于电压的影响。

 

※ 结论

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上面的是揣进来自于1986年的Physics Education（Great Britain）的文章，作者对于1973年的Inman, Miller给出的方案进行了复现。得益于精密的数字万用表以及使用计算机进行数据除拆除，所获的Boltzmann常数的精度达到了3%的范围。

这个实验是验证Boltzmann分布规律的简单明了的一个电子实验。

实际上，选择不同的测量电流范围，所得到的Boltzmann的常熟也会发生变化。在博文 利用二极管的P-N结的I-V特性测量Boltzmann常数 中给出了一组不同的配置方案下所得到的结果。