概述

SDB（Superdirective Beamformer，超指向波束）是麦克风阵列处理中实现语音增强的一种方法。SDB使用MVDR（Minimum Variance Distortionless Response）准则，且采用理论推导的噪声场，如散射噪声场。超指向的“超（Super）”指的是SDB相对于传统DSB（Delay-Sum Beamformer）能实现更好的指向性。本文介绍频域SDB原理，包括MVDR准则、所用噪声场并画出波束图（Beam Pattern）。
　　符号表示：对语音信号做短时傅里叶变换，用$k$k 表示各频点，$l$l 表示帧编号，$M$M表示麦克风个数，$c$c表示声速，$\theta$θ为目标声源的角度，$\tau_{mn}$τmn​表示第$m$m个麦克风与第$n$n个麦克风的时延差，$l_{mn}$lmn​表示第$m$m个麦克风与第$n$n个麦克风的距离。$W(k,l)$W(k,l)表示波束的系数，$\textbf{d}_\theta(k,l)=(1, e^{-jw\tau_{21}}, ..., e^{-jw\tau_{M1}})^T$dθ​(k,l)=(1,e−jwτ21​,...,e−jwτM1​)T表示来自角度$\theta$θ方向的方向向量，$R_{zz}(k,l)$Rzz​(k,l)表示噪声互相关矩阵。下文为简洁起见省略括号，分别用$W$W、$\textbf{d}$d和$R_{zz}$Rzz​表示对应项。

原理

MVDR

MVDR的目标是求解如下优化问题：
　

　　$\min \limits_{W}\{W^HR_{zz}W\}$Wmin​{WHRzz​W}
　　$s.t. \textbf{d}_{\theta}^HW=1$s.t.dθH​W=1
　
采用拉格朗日乘子法可解得

$W_{opt}=\frac{R_{zz}^{-1}\textbf{d}_{\theta}}{\textbf{d}_{\theta}^HR_{zz}\textbf{d}_{\theta}}$Wopt​=dθH​Rzz​dθ​Rzz−1​dθ​​

可见，如果已知目标声源方向，已知噪声互相关矩阵$R_{zz}$Rzz​，就可使用上式求得$W$W。其中目标声源方向可使用DOA估计算法求得，而标准的超指向波束使用的噪声互相关矩阵为散射（Diffused）噪声场的互相关矩阵，后文将介绍。
　　拉格朗日乘子法推导$W_{opt}$Wopt​的具体过程如下：
拉格朗日函数为

$L(W, \lambda)=W^HR_{zz}W+\lambda(\textbf{d}_{\theta}^HW-1)$L(W,λ)=WHRzz​W+λ(dθH​W−1)
　
对其求导且置零

$\frac{\partial L(W, \lambda)}{\partial W^*}=R_{zz}W+\lambda\textbf{d}_{\theta}=\textbf{0}$∂W∗∂L(W,λ)​=Rzz​W+λdθ​=0
　
得

$W_{opt}=-\lambda R_{zz}^{-1}\textbf{d}_{\theta}$Wopt​=−λRzz−1​dθ​
　
将上式代入MVDR的约束条件$\textbf{d}_{\theta}^HW_{opt}=1$dθH​Wopt​=1中，可解得$\lambda=-\frac{1}{\textbf{d}_{\theta}^HR_{zz}\textbf{d}_{\theta}}$λ=−dθH​Rzz​dθ​1​，再将$\lambda$λ代入上式，即可得上文所示$W_{opt}$Wopt​的解析式。

散射噪声场

散射噪声场描述处于强反射封闭空间中的噪声场，即麦克风接收到的噪声来自于四面八方的反射噪声。3D空间的散射噪声场，也称为spherical isotropic noise field，其互相关矩阵为

$R_{zz}= \left[ \begin{matrix} 1 & Rz_1z_2 & \cdots & Rz_1z_M \\ Rz_2z_1 & 1 & \cdots & Rz_2z_M \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Rz_Mz_1 & Rz_Mz_2 & \cdots & 1 \\ \end{matrix} \right]$Rzz​=⎣⎢⎢⎢⎡​1Rz2​z1​⋮RzM​z1​​Rz1​z2​1⋮RzM​z2​​⋯⋯⋱⋯​Rz1​zM​Rz2​zM​⋮1​⎦⎥⎥⎥⎤​
　
其中

$Rz_mz_n=sinc(\frac{wl_{mn}}{c})$Rzm​zn​=sinc(cwlmn​​)
　
2D空间的散射噪声场，也称为cylindrical isotropic noise field，模拟比如天花板和地板弱反射而四周强反射的房间内的噪声场。其互相关矩阵中的元素为

$Rz_mz_n=J_0(\frac{wl_{mn}}{c})$Rzm​zn​=J0​(cwlmn​​)
　
其中$J_0(·)$J0​(⋅)为第一类零阶Bessel函数。
　　由于散射噪声场的互相关矩阵只与麦克风阵列结构有关，而与信号无关，因此计算所得的波束系数$W_{opt}$Wopt​也与数据无关。只有当目标方向改变时，才需重新计算$W_{opt}$Wopt​。
　　以两麦为例，互相关矩阵的推导如下：
对spherical isotropic噪声场，考虑下图所示的球体，假设球半径$R$R远大于麦克风间距$d$d。


图1 spherical isotropic 噪声场示意图
　
先考虑只有两个噪声源，分别来自不同的方向$\phi_1$ϕ1​和$\phi_2$ϕ2​，两个麦克风分别用下标A和B表示，则麦克风接收信号为

$s_A(t)=s_1(t)+s_2(t)$sA​(t)=s1​(t)+s2​(t)
$s_B(t)=s_1(t-\frac{dcos\phi_1}{c})+s_2(t-\frac{dcos\phi_2}{c})$sB​(t)=s1​(t−cdcosϕ1​​)+s2​(t−cdcosϕ2​​)
　
自相关功率谱和互相关功率谱分别为

$S_{AA}(e^{jw})=S_1(e^{jw})+S_2(e^{jw})$SAA​(ejw)=S1​(ejw)+S2​(ejw)
$S_{BB}(e^{jw})=S_1(e^{jw})+S_2(e^{jw})$SBB​(ejw)=S1​(ejw)+S2​(ejw)
$S_{AB}(e^{jw})=S_1(e^{jw})e^{-jw\frac{dcos\phi_1}{c}}+S_2(e^{-jw\frac{dcos\phi_2}{c}})$SAB​(ejw)=S1​(ejw)e−jwcdcosϕ1​​+S2​(e−jwcdcosϕ2​​)
　

由互相关函数的定义

$\gamma(e^{jw})=\frac{S_{AB}(e^{jw})}{\sqrt{S_{AA}(e^{jw})S_{BB}(e^{jw})}}$γ(ejw)=SAA​(ejw)SBB​(ejw)​SAB​(ejw)​
　
可知

$\gamma(e^{jw})=\frac 1 2(e^{-jw\frac{dcos\phi_1}{c}}+e^{-jw\frac{dcos\phi_2}{c}})$γ(ejw)=21​(e−jwcdcosϕ1​​+e−jwcdcosϕ2​​)
　
如果存在N个不相关的噪声源，互相关函数为

$\gamma(e^{jw})=\frac 1 N\sum\limits_{n=1}^Ne^{-jw\frac{dcos\phi_n}{c}}$γ(ejw)=N1​n=1∑N​e−jwcdcosϕn​​
　
考虑图1所示球面上所有点都是噪声源，红线所示的圆环都对应同一个角度$\phi$ϕ，圆环的面积是$2\pi Rsin \phi Rd\phi$2πRsinϕRdϕ，球表面积为$4\pi R^2$4πR2，则有

$\gamma(e^{jw})=\frac 1 {4\pi R^2}\int_0^{\pi} e^{jw\frac{dcos\phi}{c}}2\pi R^2 sin\phi d\phi=sinc(\frac{wd}{c})$γ(ejw)=4πR21​∫0π​ejwcdcosϕ​2πR2sinϕdϕ=sinc(cwd​)
　
　同理，对cylindrical isotropic噪声场，在平面圆上求解，有

$\gamma(e^{jw})=\frac 1 {2\pi R}\int_0^{2\pi} e^{-jw\frac{dcos\phi}{c}}Rd\phi=J_0(\frac{wd}{c})$γ(ejw)=2πR1​∫02π​e−jwcdcosϕ​Rdϕ=J0​(cwd​)
　　
　以上。

波束图

Beam pattern的定义为$|W^H\textbf{d}_\phi|$∣WHdϕ​∣，即给定那个某$W$W，它反映波束在不同频点$f$f上对不同来声方向$\phi$ϕ的信号给予多大增益。从波束图上能清晰看出波束的指向性、不同频点的主瓣宽度、混叠频率等信息。
　　这里设麦克风阵列为彼此间距6cm的四麦克风圆阵（分别分布在0°、90°、180°和270°方向），目标方向为135°，采样率为16kHz，使用超指向波束计算$W$W，噪声场采用spherical isotropic噪声场，根据定义画出Beam pattern如图2所示。

图2 超指向波束的波束图示意
　
　以上。

Reference

本文主要参照书[1]的第2章，关于散射噪声场的推导参照Gannot博士论文[2]的附录A。图1来自[2]。
[1] M. Brandstein, D. Ward, Microphone Arrays: Signal Processing Techniques and Applications, Germany, Berlin:Springer, 2001.
[2] http://www.eng.biu.ac.il/~gannot/articles/phd_pdf.pdf