随机信号处理笔记：白噪声

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——南京理工大学顾红老师的《随机信号处理》浅析

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引言

在几乎所有的电子通信中，都不可避免地会有噪声干扰正常的通信质量。因此对噪声统计特性的研究就显得很重要。在分析通信系统的抗噪声性能时，常用高斯白噪声作为通信信道的噪声模型。常见的电子热噪声近似为白噪声。本文就‘白噪声’统计特性及其通过线性时不变系统的输出特性做简要总结。

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1.关于白噪声

1.1白噪声的概念

“白噪声”，Additive White Gaussian Noise(AWGN)，符合高斯分布。“白”的概念来自于光学，和白光的“白”是同一个意思，指的是包含所有频率分量的噪声，且这所有的频率分量是等值的。

1.2白噪声的统计学定义

如果白噪声的功率谱密度在所有频率上都是一个常数：
$G_X(\omega)=\frac{N_0}{2}\,\,(W/(rad/s))$GX​(ω)=2N0​​(W/(rad/s))
其中，$N_0>0；\omega\in(-\infty，\infty)$N0​>0；ω∈(−∞，∞)。则称该噪声为白噪声。

白噪声的单边功率谱密度：
$F_X(\omega)=N_0\,\,(W/(rad/s))$FX​(ω)=N0​(W/(rad/s))
其中，$N_0>0；\omega\in(0，\infty)$N0​>0；ω∈(0，∞)。

1.3白噪声的自相关函数

根据维纳-辛钦定理，平稳随机过程的功率谱密度函数和自相关函数是傅里叶变换对。

白噪声的自相关函数：
$R(\tau)=\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$R(τ)=2N0​​δ(τ)
对于所有的$\tau\neq0$τ​=0，都有$R(\tau)=0$R(τ)=0，说明白噪声仅在$\tau=0$τ=0时刻才是相关的，而在其他时刻（$\tau\neq0$τ​=0）的随机变量都是不相关的。

白噪声的平均功率：
$R(0)=\frac{N_0}{2}\delta(0)=\infty$R(0)=2N0​​δ(0)=∞
因此真正“白”的噪声是不存在的。实际工程应用中，只要噪声的功率谱密度均匀分布的频率范围远大于通信系统的工作频带（3dB带宽），就可将其视作白噪声。

2.白噪声通过LTI系统

尽管白噪声是具有均匀功率谱的平稳随机过程，当它通过线性系统后，其输出端的噪声功率就不再均匀。假设白噪声的功率谱密度$G_X(\omega)=N_0/2$GX​(ω)=N0​/2，系统传函是$H(\omega)$H(ω)，则LTI系统输出端的噪声功率谱密度函数为：
$G_Y(\omega)=|H(\omega)|^2\frac{N_0}{2}$GY​(ω)=∣H(ω)∣22N0​​
由于LTI系统的传输函数$H(\omega)$H(ω)，不是“白”的。

2.1限带白噪声

限带白噪声即，在一定的频带范围内，噪声功率谱是白的。而在其它频率范围内是0。

2.1.1低通白噪声

理想高斯白噪声通过理想低通滤波器后，得到低通白噪声。

低通白噪声的功率谱密度：
$G_X(\omega)=\left\{ \begin{array}{rcl} &\frac{N_0}{2}\quad&|\omega|\leq\omega_H\\ &0\quad &others \end{array} \right.$GX​(ω)={​2N0​​0​∣ω∣≤ωH​others​
自相关函数：
$R(\tau)=N_0 \omega_H \frac{\sin \omega_H \tau}{\omega_H \tau}$R(τ)=N0​ωH​ωH​τsinωH​τ​

2.1.2带通白噪声

理想高斯白噪声通过理想带通滤波器后，得到带通白噪声。

带通白噪声的功率谱密度：
$G_X(\omega)=\left\{ \begin{array}{rcl} &\frac{N_0}{2}\quad&\omega_c-\frac{B}{2}\leq|\omega|\leq\omega_c+\frac{B}{2}\\ &0\quad &others \end{array} \right.$GX​(ω)={​2N0​​0​ωc​−2B​≤∣ω∣≤ωc​+2B​others​
自相关函数：
$R(\tau)=N_0 B\cos\omega_c\tau \frac{\sin \pi B \tau}{\pi B \tau}$R(τ)=N0​Bcosωc​τπBτsinπBτ​

3.等效噪声带宽

3.1等效原则

依据噪声在频域内的功率相等进行等效。

将一定频带内非均匀功率谱等效为一定频带内的均匀功率谱。

3.2等效公式

$\Delta \omega_e=\frac{\int_0^\infty |H(\omega)|^2 d\omega}{|H(\omega_0)|^2}$Δωe​=∣H(ω0​)∣2∫0∞​∣H(ω)∣2dω​

其中$|H(\omega_0)|$∣H(ω0​)∣在$\omega_0$ω0​处取得最大值。$\Delta\omega_e$Δωe​是实际系统的噪声带宽。

在雷达接收机中，近似认为噪声带宽与系统的通频带带宽相等。