通信电子电路（二十三）习题讲解 第五章

第五章

调制信号含有两个频率，是多音的FM调制
我们直接上公式：）
$u_{FM}(t)=U_{cm}cos(\omega_c t+m_{f1}sin\Omega_1 t+m_{f2}sin\Omega_2 t)$uFM​(t)=Ucm​cos(ωc​t+mf1​sinΩ1​t+mf2​sinΩ2​t)

其中：

• $\omega_c=2\pi f_c=6.28\times10^8rad/s$ωc​=2πfc​=6.28×108rad/s
• $\Omega_1=2000\pi$Ω1​=2000π
• $\Omega_2=1000\pi$Ω2​=1000π

而又因为两种频率分量的频偏相同，即频偏公式为：
$\Delta f_{max}=\Delta f_{max1}=\Delta f_{max2}=\frac{m_f\Omega}{2\pi}=20KHz$Δfmax​=Δfmax1​=Δfmax2​=2πmf​Ω​=20KHz
因此$m_{f1}=\frac{2\pi \times \Delta f_{max1}}{\Omega_1}=20$mf1​=Ω1​2π×Δfmax1​​=20
$m_{f2}=\frac{2\pi \times \Delta f_{max2}}{\Omega_2}=40$mf2​=Ω2​2π×Δfmax2​​=40
代入公式得到FM表达式：
$u_{FM}(t)=5cos(2\pi\times10^8t+20sin2\pi\times10^3t+40sin2\pi\times500t)$uFM​(t)=5cos(2π×108t+20sin2π×103t+40sin2π×500t)

(1)我们知道FM的原理是，将信号的幅度通过频率表达出来，比如这道题说"unit modulation voltage"，意思就是每1V的幅值变化，我通过1KHz的频率变化来表达，那么这道题的转换系数就是$1KHz/V$1KHz/V，幅值变化$0.1V$0.1V，调制信号频率$\Omega=1KHz$Ω=1KHz

所以最大频偏$\Delta f_{max}=m_f f_c=1KHz/V \times0.1V$Δfmax​=mf​fc​=1KHz/V×0.1V

然后我们上公式：
$\Delta f_{max}=\frac{K_fU_{\Omega m}}{2\pi}=m_f \Omega=1KHz/V \times0.1V$Δfmax​=2πKf​UΩm​​=mf​Ω=1KHz/V×0.1V
$K_f=2\pi\times1KHz/V\to m_f=0.1$Kf​=2π×1KHz/V→mf​=0.1
所以带宽可以通过公式求出：

• FM: $B_{FM}=2(m_f+1)\Omega=2.2\times10^3Hz$BFM​=2(mf​+1)Ω=2.2×103Hz
• AM: $B_{AM}=2\Omega=2KHz$BAM​=2Ω=2KHz

(2)其实套路差不多，就是幅值变了，对于AM，其带宽与调制信号幅度无关(不涉及幅度与频率互换)，所以：
$B_{AM}=2\Omega=2KHz$BAM​=2Ω=2KHz
而FM，套用前面公式：
$B_{FM}=2(m_f+1)\Omega=2\Delta'f_{max}+2\Omega=2\times20KHz+2\times 1KHz=42KHz$BFM​=2(mf​+1)Ω=2Δ′fmax​+2Ω=2×20KHz+2×1KHz=42KHz

(1)有前面两题铺垫，这里套公式就好：
$\Delta f_{max}=\frac{K_fU_{\Omega m}}{2\pi}=75KHz\to K_fU_{\Omega m}=150\pi\times10^3Hz\to m_f=250$Δfmax​=2πKf​UΩm​​=75KHz→Kf​UΩm​=150π×103Hz→mf​=250
$B_{FM}=2(m_f+1)F=150.6KHz$BFM​=2(mf​+1)F=150.6KHz

(2)由于（1）中的$K_fU_{\Omega m}=150\pi\times10^3Hz$Kf​UΩm​=150π×103Hz
$m_f=25$mf​=25
$B_{FM}=2(m_f+1)F=156KHz$BFM​=2(mf​+1)F=156KHz

(3)$m_f=5$mf​=5
$B_{FM}=2(m_f+1)F=180KHz$BFM​=2(mf​+1)F=180KHz

这道题是针对角度调制的，核心是利用调频系数$K_f$Kf​不变的特点，虽然调制系数$m_f$mf​和幅值变化了，还是可以求出来新的调制系数

不过角度调制旗下的调相（PM）和调频（FM）公式不一样 我们分开讨论：）

$U_{\Omega m}=2.4V, U_{\Omega m}'=3.2V, F=400Hz, F'=250Hz$UΩm​=2.4V,UΩm′​=3.2V,F=400Hz,F′=250Hz

• FM：$m_f=\frac{K_fU_{\Omega m}}{2\pi F}$mf​=2πFKf​UΩm​​
  $m_f'=\frac{K_fU_{\Omega m}'}{2\pi F'}$mf′​=2πF′Kf​UΩm′​​
  $m_f'=128$mf′​=128

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• AM：$m_p=K_pU_{\Omega m}$mp​=Kp​UΩm​
  $m_p'=K_pU_{\Omega m}'$mp′​=Kp​UΩm′​
  $m_p'=80$mp′​=80

这题补充一下：载波的频率$f_c$fc​以及载波幅值$U_{cm}$Ucm​，原始的调制信号幅值$U_{\Omega m}(t)$UΩm​(t)已知

（1）通过FM解调特性曲线fig5-1，我们可以看到一定范围内的线性的幅频变换，变换系数就是跨导（斜率）$k=g_d$k=gd​，公式：$\Delta U=g_d·\Delta f\to g_d=-0.01V/KHz$ΔU=gd​⋅Δf→gd​=−0.01V/KHz

（2）通过解调器输出，也就是原函数的公式，我们可以知道：
$U_{cm}=1V, F=2KHz$Ucm​=1V,F=2KHz，这里是单音调制，所以FM调制后信号函数为：

$u_{FM}(t)=U_{cm}cos(2\pi\times f_c t+m_fsin2\pi Ft)$uFM​(t)=Ucm​cos(2π×fc​t+mf​sin2πFt)

而通过最大频偏$\Delta f_{max}=\Delta u_{max}/g_d=m_f·F=-100KHz \to m_f=-50$Δfmax​=Δumax​/gd​=mf​⋅F=−100KHz→mf​=−50

所以：
$u_{FM}(t)=U_{cm}cos(2\pi\times f_c t-50sin4\pi \times 10^3t)$uFM​(t)=Ucm​cos(2π×fc​t−50sin4π×103t)
$u_{\Omega m}(t)=-U_{\Omega m}cos(4\pi\times10^3t)$uΩm​(t)=−UΩm​cos(4π×103t)