Simulink入门（三）
1.曲面图的绘制
•曲面图的绘制由surf指令完成，该指令的调用格式与mesh指令类似，具体如下：
•（1）surf (X,Y,Z)
•（2）surf (Z)
•（3）surf (X,Y,Z,C)
•（4）surf(X,Y,Z,’PropertyName’,PropertyValue,…)
•与mesh指令不同的是，mesh指令所绘制的图形是网格划分的曲面图，而surf指令绘制得到的是平滑着色的三维曲面图，着色的方式是在得到相应的网格点后，对每一个网格依据该网格所代表的节点的色值（由变量C控制）来定义这一网格的颜色。
•采用surf命令实现曲面的绘制，程序如下：
•clc,clear,closeall
•X = -10:1:10;
•Y = -10:1:10;
•[X,Y] = meshgrid(X,Y);
•Z = - X.^2 - Y.^2 + 10;
•surf(X,Y,Z)
•xlabel('x')
•ylabel('y')
•zlabel('z')
•axis tight
•colormap(jet)
•shading interp
•set(gca,'Ydir','reverse');
•set (gcf, 'color', 'w')
2. 特殊图形绘制
•MATLAB对于不同的三维曲面绘制，提供了不同的画图函数，例如slice切片函数、quiver3三维箭头标记函数、sphere等等，因此MATLAB丰富的图形可视化工具箱函数应用相当广泛。
•空间曲线及其运动方向的表现，编程如下：
•clc,clear,closeall
•t=0:0.1:1.5;
•Vx=2*t;
•Vy=2*t.^2;
•Vz=6*t.^3-t.^2;
•x=t.^2;
•y=(2/3)*t.^3;
•z=(6/4)*t.^4-(1/3)*t.^3; %由速度得到曲线
•plot3(x,y,z,'r.-'), %画飞行轨迹
•hold on
•%算数值梯度
•Vx=gradient(x);
•Vy=gradient(y);
•Vz=gradient(z);
•quiver3(x,y,z,Vx,Vy,Vz), %画速度矢量图
•grid on % 栅格化
•xlabel('x')
•ylabel('y')
•zlabel('z')
•
3.微积分问题的MATLAB求解
•符号变量在解决工程问题中应用较多，对于一个工程问题而言，一般首先从变量出发，把问题用符号变量表示出来（得到符号矩阵），然后通过符号变量求解得到一般表达式，根据该表达式，代入相应的初始条件，即可得到问题的具体的解。
1. 极限
•MATLAB提供了求极限函数limit()，函数调用格式为：y = limit(fun,x,x0)。
•其中，y为返回的函数极限值；
• fun为要求解的函数；
• x为函数自变量；
• x0位函数自变量的取值，x趋近于x0。
•MATLAB求解极限问题有专门的函数，编程如下：
•clc,clear,closeall
•symsx a
•I1=limit('(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)',x,0)
•I2=limit('(tan(x)-tan(a))/(x-a)',x,a)
•I3=limit('(3*x-5)/(x^3*sin(1/x^2))',x,inf)
•运行程序输出结果如下：
•I1 =
•-2
•
•I2 =
•tan(a)^2 + 1
•
•I3 =
•3
•
2.导数
•diff是求微分最常用的函数，其输入参数既可以是函数表达式，也可以是符号矩阵。
•MATLAB常用的格式是：diff(f, x, n)；
•其中，f关于x求n阶导数。
•MATLAB求解导数问题，编程如下：
•clc,clear,closeall
•symsx y
•f=sym('exp(-2*x)*cos(3*x^(1/2))')
•diff(f,x)
•g=sym('g(x,y)') %建立抽象函数。
•f=sym('f(x,y,g(x,y))') %建立复合抽象函数。
•diff(f,x)
•diff(f,x,2)
•运行程序输出结果如下：
•f =
•exp(-2*x)*cos(3*x^(1/2))
•
•ans=
•- 2*exp(-2*x)*cos(3*x^(1/2)) - (3*exp(-2*x)*sin(3*x^(1/2)))/(2*x^(1/2))
•
•
•g =
•g(x, y)
•
•f =
•f(x, y, g(x, y))
•
•ans=
•D([3], f)(x, y, g(x, y))*diff(g(x, y), x) + D([1], f)(x, y, g(x, y))
•
•ans=
•(D([3, 3], f)(x, y, g(x, y))*diff(g(x, y), x) + D([1, 3], f)(x, y, g(x, y)))*diff(g(x, y), x) + D([1, 3], f)(x, y, g(x, y))*diff(g(x, y), x) + D([3], f)(x, y, g(x, y))*diff(g(x, y), x, x) + D([1, 1], f)(x, y, g(x, y))
•数值求导指令diff，程序如下：
•clc,clear,closeall
•x=linspace(0,2*pi,50);
•y=sin(x);
•dydx=diff(y)./diff(x);
•plot(x(1:49),dydx),grid
•
•MATLAB int()函数是求积分最常用的函数，其输入参数可以是函数表达式。
•常用的格式是：int(f, r, x0, x1)。
•其中，f为所要积分的表达式；
•r为积分变量，若为定积分，则x0与x1为积分上下限。
•求解积分函数int，编写程序如下：
•clc,clear,closeall
•syms x y z
•I1=int(sin(x*y+z),z)
•I2=int(1/(3+2*x+x^2),x,0,1)
•I3=int(1/(3+2*x+x^2),x,-inf,inf)
•运行程序输出结果如下：
•I1 =
• -cos(z + x*y)
•I2 =
• -(2^(1/2)*(atan(8^(1/2)/4) - atan(2^(1/2))))/2
•I3 =
• (pi*2^(1/2))/2
•
3. 微分方程的数值解
•求解微积分方程你的数值解常用的MATLAB函数调用如下：
•[t, x] = ode23(‘xprime’, t0, tf, x0, tol, trace)
•[t, x] = ode45(‘xprime’, t0, tf, x0, tol, trace)
•或
•[t, x] = ode23(‘xprime’, [t0, tf], x0, tol, trace)
•[t, x] = ode45(‘xprime’, [t0, tf], x0, tol, trace)
•说明：
•（1）两个指令的调用格式相同，均为Runge-Kutta法。
•（2）该指令是针对一阶常微分设计的。因此，假如待解的是高阶微分方程，那么它必修先演化为形如 的一阶微分方程组，即“状态方程”。
•（3）’xprime’是定义 的函数名。该函数文件必须以 为一个列向量输出，以 为输入参量（注意输入变量之间的 关系，先“时间变量”后“状态变量”）。
•（4）输入参量 和 分别是积分的起始值和终止值。
•（5）输入参量 为初始状态列向量。
•（6）输出参量 和 分别给出“时间”向量和相应的状态向量。
•（7）tol控制解的精度，可缺省。缺省时，ode23默认tol=1.e-3；ode23默认tol=1.e-6。
•（8）输入参量trace控制求解的中间结果是否显示，可缺省，缺省时，默认为tol=0，不显示中间结果。
•（9）一般地，两者分别采用自适应变步长（即当解的变化较慢时采用较大的步长，从而使得计算速度快；当解的变化速度较快时步长会自动地变小，从而使得计算精度更高）的二、三阶Runge-Kutta算法和四、五阶Runge-Kutta算法，ode45比ode23的积分分段少，而运算速度快。
•
•
•建立方程组的函数文件如下：
•function dz=dzdx1(x,z)
•dz(1)=z(2);
•dz(2)=z(3);
•dz(3)=z(3)*x^(-1)-3*x^(-2)*z(2)+2*x^(-3)*z(1)+9*x^3*sin(x);
•dz=[dz(1);dz(2);dz(3)];
•end
•编写主程序如下：
•clc,clear,closeall
•H=[0.1,60];
•z0=[1;1;1];
•[x,z]=ode15s('dzdx1',H,z0);
•plot(x,z(:,1),'g--',x,z(:,2),'b*--',x,z(:,3),'mp--')
•xlabel('轴\it x');
•ylabel('轴\it y')
•grid on
•legend('方程解z1的曲线','方程解z2的曲线', '方程解z3的曲线')
•
4 龙贝格积分法微积分运算
•在MATLAB中编程实现的龙贝格积分法的函数为：[I,step]=Roberg(f,a,b,eps)。
•功能：龙贝格积分法求函数的数值积分。
•调用格式：[I,step]=Roberg(f,a,b,eps)。
•其中，I:积分值；
•step: 积分划分的子区间次数；
•f: 函数名；
•a: 积分下限；
•b: 积分上限；
•eps: 积分精度；
•
5. 有限差分方法求边值问题
•在MATLAB中编程实现的有限差分方法的函数为：
•[k,A,B1,X,Y,y,wucha,p]=yxcf(q1,q2,q3,a,b,alpha,beta,h)
•功能：有限差分方法求函数的边值问题。
•调用格式：[k,A,B1,X,Y,y,wucha,p]=yxcf(q1,q2,q3,a,b,alpha,beta,h)。
•其中，q1、q2、q3：方程系数；
•a为方程y的初始化值x0；
•b为方程y的区间终值xn；
•alpha为y(a)对应的值；
•beta为y(b)对应的值；
•h为求解步长；
•k为计算迭代步数；
•A为矩阵系数；
•B1为矩阵系数；
•Y为矩阵向量；
•y为求解目标方程的边值；
•wucha为求解误差；
•p等于[k',X',y,wucha']，为一个矩阵；
•
6. 样条函数求积分
•MATLAB中的样条工具箱中提供了求样条函数的积分的函数fnint。函数fnint的常见用法如下：
•q=fnint(Y)
•它表示求取样条函数Y的积分。
•在用函数fnint求积分之前，必须用样条工具箱中的函数csape对被积分函数进行样条插值拟合。
•
7. 常微分方程符号解
•MATLAB常微分方程符号解的语法是：
•dsolve('equation','condition')
•其中，equation代表常微分方程式即y'= g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y'，D2y代表二阶微分项y''，condition则为初始条件。
•函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。
•dsolve的调用格式如下：
•（1）dsolve('equation') %给出微分方程的解析解，表示为t的函数；
•（2）dsolve('equation', 'condition') %给出微分方程初值问题的解，表示为t的函数；
•（3）dsolve('equation', 'v') %给出微分方程的解析解，表示为v的函数；
•（4）dsolve('equation', 'condition', 'v') %给出微分方程初值问题的解，表示为v的函数。
•
8.非线性方程组求解
•函数：fsolve
•格式如下：
•x = fsolve(fun,x0) %用fun定义向量函数，其定义方式为：先定义方程函数function F = myfun(x)。
•F =[表达式1；表达式2；…表达式m] %保存为myfun.m，并用下面方式调用：x = fsolve(@myfun,x0)，x0为初始估计值。
•x = fsolve(fun,x0,options)
•[x,fval] = fsolve(…) %fval=F(x)，即函数值向量
•[x,fval,exitflag] = fsolve(…)
•[x,fval,exitflag,output] = fsolve(…)
•[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(…) % jacobian为解x处的Jacobian阵。
•
•MATLAB中利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值。
•函数：fminsearch
•格式如下：
•x = fminsearch(fun,x0) %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。
•x = fminsearch(fun,x0,options) % options查optimset
•[x,fval] = fminsearch(…) %最优点的函数值
•[x,fval,exitflag] = fminsearch(…) % exitflag与单变量情形一致
•[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(…) %output与单变量情形一致
•注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。
•
9.无约束最优化问题求解
•MATLAB中利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值。
•函数：fminsearch
•格式如下：
•x = fminsearch(fun,x0) %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。
•x = fminsearch(fun,x0,options) % options查optimset
•[x,fval] = fminsearch(…) %最优点的函数值
•[x,fval,exitflag] = fminsearch(…) % exitflag与单变量情形一致
•[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(…) %output与单变量情形一致
•注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。
•
10.线性规划问题.
•线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，在MATLAB 2013a版中，线性规划问题（Linear Programming）已用函数linprog取代了MATLAB 7.0版中的lp函数。当然，由于版本的向下兼容性，一般说来，低版本中的函数在高版中仍可使用。
•函数：linprog
•格式如下：
•x = linprog(f,A,b) %求min
•x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式约束，若没有不等式约束，则A=[ ]，b=[ ]。
•x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %指定x的范围，若没有等式约束 ，则Aeq=[ ]，beq=[ ]
•x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %设置初值x0
•x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数
•[x,fval] = linprog(…) % 返回目标函数最优值，即。
•[x,lambda,exitflag] = linprog(…) % lambda为解的Lagrange乘子。
•[x, lambda,fval,exitflag] = linprog(…) % 终止迭代的错误条件。
•[x,fval, lambda,exitflag,output] = linprog(…) % output为关于优化的一些信息
•说明：若表示函数收敛于解，表示超过函数估值或迭代的最大数字，表示函数不收敛于解；若lambda=lower表示下界，lambda=upper表示上界ub，lambda=ineqlin表示不等式约束，lambda=eqlin表示等式约束，lambda中的非0元素表示对应的约束是有效约束；output=iterations表示迭代次数，output=algorithm表示使用的运算规则，output=cgiterations表示PCG迭代次数。
•
11.二次型规划问题.
•MATLAB 2014a版中的函数quadprog用来解决二次规划问题（quadratic programming）问题，且已经取代了低版本MATLABqp函数。
•函数：quadprog
•格式如下：
•x = quadprog(H,f,A,b) %其中、、、为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。
•x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq, beq满足等约束条件。
•x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb, ub分别为解x的下界与上界。
•x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值
•x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数
•[x,fval] = quadprog(…) %fval为目标函数最优值
•[x,fval,exitflag] = quadprog(…) % exitflag与线性规划中参数意义相同
•[x,fval,exitflag,output] = quadprog(…) % output与线性规划中参数意义相同
•[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…) % lambda与线性规划中参数意义相同
•