1.概念

1.1算法的概念

算法是独立存在的一种解决问题的方法和思想。

算法的五大特性

1. 输入: 算法具有0个或多个输入
2. 输出: 算法至少有1个或多个输出
3. 有穷性: 算法在有限的步骤之后会自动结束而不会无限循环，并且每一个步骤可以在可接受的时间内完成
4. 确定性：算法中的每一步都有确定的含义，不会出现二义性
5. 可行性：算法的每一步都是可行的，也就是说每一步都能够执行有限的次数完成

1.2算法效率衡量

执行时间反应算法效率：

实现算法程序的执行时间可以反应出算法的效率，即算法的优劣。

单靠时间值绝对可信吗？

单纯依靠运行的时间来比较算法的优劣并不一定是客观准确的！

时间复杂度与“大O记法”

“大O记法”：对于单调的整数函数f，如果存在一个整数函数g和实常数c>0，使得对于充分大的n总有f(n)<=c*g(n)，就说函数g是f的一个渐近函数（忽略常数），记为f(n)=O(g(n))。也就是说，在趋向无穷的极限意义下，函数f的增长速度受到函数g的约束，亦即函数f与函数g的特征相似。

时间复杂度：假设存在函数g，使得算法A处理规模为n的问题示例所用时间为T(n)=O(g(n))，则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，记为T(n)

 

最坏时间复杂度

分析算法时，存在几种可能的考虑：

• 算法完成工作最少需要多少基本操作，即最优时间复杂度
• 算法完成工作最多需要多少基本操作，即最坏时间复杂度
• 算法完成工作平均需要多少基本操作，即平均时间复杂度

对于最优时间复杂度，其价值不大，因为它没有提供什么有用信息，其反映的只是最乐观最理想的情况，没有参考价值。

对于最坏时间复杂度，提供了一种保证，表明算法在此种程度的基本操作中一定能完成工作。

对于平均时间复杂度，是对算法的一个全面评价，因此它完整全面的反映了这个算法的性质。但另一方面，这种衡量并没有保证，不是每个计算都能在这个基本操作内完成。而且，对于平均情况的计算，也会因为应用算法的实例分布可能并不均匀而难以计算。

因此，我们主要关注算法的最坏情况，亦即最坏时间复杂度。

 

时间复杂度的几条基本计算规则

1. 基本操作，即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)
2. 顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
3. 循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
4. 分支结构，时间复杂度取最大值
5. 判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略
6. 在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

空间复杂度

类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。

空间复杂度(SpaceComplexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度。

 

1.3算法分析：

1.第一次尝试的算法核心部分

时间复杂度：T(n) = O(n*n*n) = O(n^3)

 

2.第二次尝试的算法核心部分

 

时间复杂度：T(n) = O(n*n*(1+1)) = O(n*n) = O(n^2)

由此可见，我们尝试的第二种算法要比第一种算法的时间复杂度好的多。

 

1.4 常见时间复杂度

 

常见时间复杂度之间的关系

所消耗的时间从小到大

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

 

 

1.5 Python内置类型性能分析

timeit模块

timeit模块可以用来测试一小段Python代码的执行速度。

class timeit.Timer(stmt='pass', setup='pass', timer=<timer function>)

Timer是测量小段代码执行速度的类。

stmt参数是要测试的代码语句（statment）；

setup参数是运行代码时需要的设置；

timer参数是一个定时器函数，与平台有关。

timeit.Timer.timeit(number=1000000)

Timer类中测试语句执行速度的对象方法。number参数是测试代码时的测试次数，默认为1000000次。方法返回执行代码的平均耗时，一个float类型的秒数。

 

list的操作测试

测试几种列表的构造方式，比较方式的快慢。

import timeit


def t1():
    li = []
    for i in range(1000):
        li.append(i)


def t2():
    li = []
    for i in range(1000):
        li = li + [i]



def t3():
    li = [i for i in range(1000)]


def t4():
    li = list(range(1000))


timer1 = timeit.Timer("t1()", "from __main__ import t1")
timer2 = timeit.Timer("t2()", "from __main__ import t2")
timer3 = timeit.Timer("t3()", "from __main__ import t3")
timer4 = timeit.Timer("t4()", "from __main__ import t4")
print("append方法: %f" % timer1.timeit(number=1000))
print("列表相加: %f" % timer2.timeit(number=1000))
print("列表推导式: %f" % timer3.timeit(number=1000))
print("list函数转换: %f" % timer4.timeit(number=1000))

 由于输出结果不唯一，我只截取一次的结果。

由此得出结论，对于不同的构造方法，对应的运行效率确实是有差异存在的。

然而，不仅仅是构造的方式，而且对于列表的内置函数之前的效率也是有区别的。

下面我就用列表内置的pop方法来测试下从列表头部尾部删除元素的时间效率。

pop的操作测试

import timeit
# 导入timeit模块


def p1():    # 定义从头部删除列表元素的函数
    li = [i for i in range(10000)]  # 利用列表推导式创建个新列表
    for i in li:
        li.pop(0)    # 利用for循环一个个删除头部元素


def p2():    # 定义从尾部删除列表元素的函数
    li = [i for i in range(10000)]
    for i in li:
        li.pop()


pop_zero = timeit.Timer("p1()", "from __main__ import p1")
# 用timeit模块中的Timer类来封装测试方法，由于Timer类在执行timeit进行测试的时候，
# 实际上是另外开辟空间来测试的，所以这里我们要用__main__调用自身的模块名
print("头部删除: %f" % pop_zero.timeit(number=1000))
# 这里调用了上文提出的Timer类中测试语句执行速度的对象方法。
pop_end = timeit.Timer("p2()", "from __main__ import p2")
print("尾部删除: %f" % pop_end.timeit(number=1000))

由于输出结果不唯一，我只截取一次的结果。

由此可见，从列表尾部删除元素比从头部速率要快的多。

 

 

1.6 数据结构

概念

数据是一个抽象的概念，将其进行分类后得到程序设计语言中的基本类型。如：int，float，char等。数据元素之间不是独立的，存在特定的关系，这些关系便是结构。数据结构指数据对象中数据元素之间的关系。

Python给我们提供了很多现成的数据结构类型，这些系统自己定义好的，不需要我们自己去定义的数据结构叫做Python的内置数据结构，比如列表、元组、字典。而有些数据组织方式，Python系统里面没有直接定义，需要我们自己去定义实现这些数据的组织方式，这些数据组织方式称之为Python的扩展数据结构，比如栈，队列等。

算法与数据结构的区别

数据结构只是静态的描述了数据元素之间的关系。

高效的程序需要在数据结构的基础上设计和选择算法。

程序 = 数据结构 + 算法

总结：算法是为了解决实际问题而设计的，数据结构是算法需要处理的问题载体

 

抽象数据类型(Abstract Data Type)

抽象数据类型(ADT)的含义是指一个数学模型以及定义在此数学模型上的一组操作。即把数据类型和数据类型上的运算捆在一起，进行封装。引入抽象数据类型的目的是把数据类型的表示和数据类型上运算的实现与这些数据类型和运算在程序中的引用隔开，使它们相互独立。

最常用的数据运算有五种：

• 插入
• 删除
• 修改
• 查找
• 排序