dsp复习

连续时间信号的采样

周期采样

$x[n]=x_c(nT)$x[n]=xc​(nT)

采样的频域表示

$X_s(j\Omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_c(j\Omega-kj\Omega_s)$Xs​(jΩ)=Ts​1​∑k=−∞+∞​Xc​(jΩ−kjΩs​)
不发生混叠的条件：$\Omega_s>2\Omega_N$Ωs​>2ΩN​
采样信号的恢复：一个增益为T的理想滤波器，且满足$\Omega_N<\Omega_c<\Omega_s-\Omega_N$ΩN​<Ωc​<Ωs​−ΩN​
奈奎斯特率：$2\Omega_N$2ΩN​
离散频率与连续频率的映射关系:$\omega=\Omega T$ω=ΩT

由样本重构带限信号

假定$\Omega_c=\frac{\Omega_s}{2}=\frac{\pi}{T}$Ωc​=2Ωs​​=Tπ​
重构滤波器：$h_r(t)=\frac{sin\frac{\pi t}{T}}{\frac{\pi t}{T}}$hr​(t)=Tπt​sinTπt​​
重构信号在各采样时刻点与原连续信号有着相同的值

连续时间信号的离散时间处理

$H_{eff}(j\Omega)=H(e^{j\Omega T })$Heff​(jΩ)=H(ejΩT) $|\Omega|<\frac{\pi}{T}$∣Ω∣<Tπ​

脉冲响应不变

$h[n]=Th_c(nT)$h[n]=Thc​(nT)
$H(e^{j\omega})=TH(\frac{j\omega}{T})$H(ejω)=TH(Tjω​) $|\omega|\le\pi$∣ω∣≤π

离散时间信号的连续时间处理

实际使用较少，一般用在非整数延迟
$H(e^{j\omega})=H_c(j\frac{\omega}{T})$H(ejω)=Hc​(jTω​) $|\omega|\le\pi$∣ω∣≤π

降采样

M倍降采样：$X_d(e^{j\omega})=\frac{1}{M}\sum_{i=0}^{M-1}X(e^{j(\frac{\omega-2\pi i}{M})})$Xd​(ejω)=M1​∑i=0M−1​X(ej(Mω−2πi​))
需满足$\omega_NM<\pi$ωN​M<π,否则就会混叠
需要在降采样操作前加一个离散时间滤波器

升采样

$X_e(e^{j\omega})=X(e^{j\omega L})$Xe​(ejω)=X(ejωL)
升采样会产生镜像
镜像滤波器：增益为L，截止频率$\frac{\pi}{L}$Lπ​

采样率按非整数因子变换

线性时不变系统的变换分析

LTI系统的频率响应

$Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})$Y(ejω)=H(ejω)X(ejω)
幅度和相位满足：
$|Y(e^{j\omega})|=|H(e^{j\omega})||X(e^{j\omega})|$∣Y(ejω)∣=∣H(ejω)∣∣X(ejω)∣
$arg Y(e^{j\omega})=arg H(e^{j\omega}) +argX(e^{j\omega})$argY(ejω)=argH(ejω)+argX(ejω)

理想选频滤波器

LPF:$h[n]=\frac{sin\omega_c n}{\pi n}$h[n]=πnsinωc​n​
HPF:$h[n]=\delta[n]-\frac{sin\omega_c n}{\pi n}$h[n]=δ[n]−πnsinωc​n​

群延迟

$\tau(w)=-\frac{d}{d\omega}{grd[H(e^{j\omega})]}$τ(w)=−dωd​grd[H(ejω)]

线性常系数差分方程表征的系统函数

稳定性：收敛域包括单位圆
因果性：右边序列

逆系统

$H_i(z)=\frac{1}{H(z)}$Hi​(z)=H(z)1​
逆系统的收敛域必须与原系统有公共部分

如果要求因果稳定系统的逆系统也因果稳定，则所有的零点和极点都必须在单位圆内（最小相位系统）

IIR和FIR

IIR系统：H(z)至少有一个非零极点
FIR系统：没有0和无穷以外的极点

幅度与相位之间的关系

$|H(e^{j\omega})|^2=H(e^{j\omega})H^*(e^{j\omega})=H(z)H^*(\frac{1}{z^*})$∣H(ejω)∣2=H(ejω)H∗(ejω)=H(z)H∗(z∗1​)

全通系统

零点和极点互为共轭倒数
$H(z)=\frac{z^{-1}-a^*}{1-az^{-1}}$H(z)=1−az−1z−1−a∗​
一般系统可分解为最小相位系统和全通系统的级联，由于全通系统的群延迟大于等于0，因此最小相位系统的群延迟也最小。

最小相位系统

最小相位和全通分解

假设零点$z=\frac{1}{c^*}$z=c∗1​在单位圆外
$H(z)=H_1(z)(1-cz^{-1})\frac{z^{-1}-c^*}{1-cz^{-1}}$H(z)=H1​(z)(1−cz−1)1−cz−1z−1−c∗​

频率响应的补偿

$H_d(z)=H_{dmin}(z)H_{ap}(z)$Hd​(z)=Hdmin​(z)Hap​(z)
补偿系统函数$H_c(z)=\frac{1}{H_{dmin}(z)}$Hc​(z)=Hdmin​(z)1​

最小相位系统的性质

最小相位滞后，最小群延迟，最小能量延迟

广义线性相位的线性系统

线性相位系统

即理想群延迟
$H_{id}(e^{j\omega})=e^{-j\omega\alpha}$Hid​(ejω)=e−jωα $|\omega|<\pi$∣ω∣<π
$\alpha$α是实数但不一定是整数

广义线性相位

$H(e^{j\omega})=A(e^{j\omega})e^{-j\alpha\omega+j\beta}$H(ejω)=A(ejω)e−jαω+jβ
序列必须对称

因果广义线性相位系统

第I类：M为偶数，偶对称
第II类：M为奇数，偶对称（-1）
第III类：M为偶数，奇对称（-1，1）
第IV类：M为奇数，奇对称（1）

离散时间系统结构

方框图表示

三种基本运算：相加，相乘

IIR

直接I型
直接II型：延迟单元合并
级联型
并联型

FIR

直接型
并联型
线性相位

滤波器设计方法

脉冲响应不变法

$h[n]=T_dh_c(nT_d)$h[n]=Td​hc​(nTd​)
$H(e^{j\omega})=H_c(j\frac{\omega}{T_d})$H(ejω)=Hc​(jTd​ω​) $|\omega|\le\pi$∣ω∣≤π
$\omega=\Omega T_d$ω=ΩTd​
连续域的极点$s_k$sk​映射到离散域为$e^{s_kT}$esk​T
能保证线性关系，但可能会混叠，不能用于设计高通滤波器等

双线性变换法

$s=\frac{2}{T_d}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$s=Td​2​1+z−11−z−1​
$\Omega=\frac{2}{T_d}\tan\frac{\omega}{2}$Ω=Td​2​tan2ω​
避免了混叠，但是会产生畸变

窗函数法

本质：利用时域乘积，频域卷积的性质
先由最大误差确定窗的种类，再根据主瓣宽度确定窗长

矩形窗可以得到最小的均方逼近

离散傅里叶变换

离散傅里叶级数

$\widetilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{x}[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$X[k]=∑n=0N−1​x[n]e−jN2π​kn=$\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{x}[n]W_{N}^{kn}$∑n=0N−1​x[n]WNkn​
$x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\widetilde{X}[k]W_{N}^{-kn}$x[n]=N1​∑k=0N−1​X[k]WN−kn​

离散傅里叶级数的性质

线性
$\widetilde{x}[n-m]:W_{N}^{km}\widetilde{X}[k]$x[n−m]:WNkm​X[k]
$W_{N}^{-nl}\widetilde{x}[n]:\widetilde{X}[k-l]$WN−nl​x[n]:X[k−l]
对偶性
$\widetilde{X}[n]:N\widetilde{x}[-k]$X[n]:Nx[−k]
周期卷积
$\sum_{m=0}^{N-1}\widetilde{x_1}[m]\widetilde{x_2}[n-m]:\widetilde{X_1}[k]\widetilde{X_2}[k]$∑m=0N−1​x1​​[m]x2​​[n−m]:X1​​[k]X2​​[k]
$\widetilde{x_1}[n]\widetilde{x_2}[n]:\frac{1}{N}\sum_{l=0}^{N-1}\widetilde{X_1}[l]\widetilde{X_2}[n-l]$x1​​[n]x2​​[n]:N1​∑l=0N−1​X1​​[l]X2​​[n−l]
共轭对称
$\widetilde{x^*}[n]:\widetilde{X^*}[k]$x∗[n]:X∗[k]
以及奇部和偶部的对称关系

周期信号

$X(e^{j\omega})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{2\pi}{N}\widetilde{X}[k]\delta(\omega-\frac{2\pi k}{N})$X(ejω)=∑k=−∞+∞​N2π​X[k]δ(ω−N2πk​)

有限长序列的离散傅里叶变换

$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$X[k]=∑n=0N−1​x[n]e−jN2π​kn=$\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{N}^{kn}$∑n=0N−1​x[n]WNkn​
$x[n]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}X[k]W_{N}^{-kn}$x[n]=N1​∑n=0N−1​X[k]WN−kn​

离散傅里叶变换的性质

线性
循环移位 $x[((n-m))_N]:W_{N}^{mk}X[k]$x[((n−m))N​]:WNmk​X[k]
对偶性 $X[n]:x[((-k))_N]$X[n]:x[((−k))N​]
对称性 $x^*[n]:X^*[((-k))_N]$x∗[n]:X∗[((−k))N​]
循环卷积 $\sum_{m=0}^{N-1}x_1[m]x_2[((n-m))_N]:X_1[k]X_2[k]$∑m=0N−1​x1​[m]x2​[((n−m))N​]:X1​[k]X2​[k]
$x_1[n]x_2[n]:\frac{1}{N}\sum_{l=0}^{N-1}X_1[l]X_2[((k-l))_N]$x1​[n]x2​[n]:N1​∑l=0N−1​X1​[l]X2​[((k−l))N​]

离散傅里叶变换实现线性卷积

DFT点数大于线性卷积序列长度

DFT实现LTI系统

假定脉冲响应$h[n]$h[n]长度为P，$x[n]$x[n]的长度远大于P，可以分成长度为L的小段，
重叠相加：
直接将每一段$x_k[n]$xk​[n]补零到L+P-1

重叠保留：每段向前补P-1个点，输入L-P+1个新点

离散傅里叶变换的计算（FFT）

复数乘法：$\frac{N}{2}log_2N$2N​log2​N
复数加法： $Nlog_2N$Nlog2​N
蝶形数目：$\frac{N}{2}$2N​
级数：$log_2N$log2​N

按时间抽取的FFT算法

推导过程
$X[k]=\sum_{n为偶数}x[n]W_N^{kn}+\sum_{n为奇数}x[n]W_N^{kn}$X[k]=∑n为偶数​x[n]WNkn​+∑n为奇数​x[n]WNkn​
$=\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x[2r]W_N^{2rk}+W_{N}^{k}\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x[2r+1]W_N^{2rk}$=∑r=02N​−1​x[2r]WN2rk​+WNk​∑r=02N​−1​x[2r+1]WN2rk​
$=G[k]+W_{N}^{k}H[k]$=G[k]+WNk​H[k]
可以分解为两个新的$\frac{N}{2}$2N​点序列
蝶形图：

倒序输入，顺序输出（标准情形下，实际可能有变化）

按频率抽取的FFT算法

$X[2r]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{2rn}$X[2r]=∑n=0N−1​x[n]WN2rn​
$=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x[n]W_N^{2rn}+\sum_{n=\frac{N}{2}}^{N-1}x[n]W_N^{2rn}$=∑n=02N​−1​x[n]WN2rn​+∑n=2N​N−1​x[n]WN2rn​
$=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}(x[n]+x[n+\frac{N}{2}])W_{\frac{N}{2}}^{rn}$=∑n=02N​−1​(x[n]+x[n+2N​])W2N​rn​
同理可得
$X[2r+1]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{2rn}W_N^n$X[2r+1]=∑n=0N−1​x[n]WN2rn​WNn​
$=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}(x[n]-x[n+\frac{N}{2}])W_{\frac{N}{2}}^{rn}W_N^n$=∑n=02N​−1​(x[n]−x[n+2N​])W2N​rn​WNn​
蝶形图：

恰好为DIT-FFT的转置

顺序输入，倒序输出

利用离散傅里叶变换的信号傅里叶分析

$\Omega_k=\frac{2\pi k}{NT}$Ωk​=NT2πk​