电磁学乱七八糟的符号(三)

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author:何伟宝

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这里重点是针对各种入射反射折射,chapter5 电磁波的传播

review

1.上两张图说明一下极化是怎么回事


2.行波与驻波
1.驻波

每一个点都在等相位震荡

借了,平面电磁波,理想介质to理想导体,垂直入射 讲了一下
 
2.行波(没找到好一点的图,凑合着看吧)

每一个点都在等幅震荡
 

平面电磁波,理想介质to理想介质,垂直入射

这里借一个最普通的情况,说明基本概念:

反射系数R

$R=\frac {E^{-r}_{x0}}{E^{+i}_{x0}}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta2+\eta1}$R=Ex0+i​Ex0−r​​=η2+η1η2​−η1​​
定义为边界上反射波电场分量与入射波电场分量之比

折射系数T

$T=\frac {E^{+t}_{x0}}{E^{+i}_{x0}}=\frac{2\eta_2}{\eta2+\eta1}$T=Ex0+i​Ex0+t​​=η2+η12η2​​
定义为边界上折射波电场分量与入射波电场分量之比
可以观察到有:
$T-R=1$T−R=1

合成波场量

看书的图看书的图看书的图看书的图:
$E_{1x}(z)= E^{+i}_{xo}(1-R)e^{-jk_{1}z}+2RE^{+i}_{x0}cosk_{1}z$E1x​(z)=Exo+i​(1−R)e−jk1​z+2REx0+i​cosk1​z
$H_{1y}(z)=\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_1}(1-R)e^{jk_{1}z}+2R\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_1}e^{-j\frac{\pi}{2}}sink_1z$H1y​(z)=η1​Ex0+i​​(1−R)ejk1​z+2Rη1​Ex0+i​​e−j2π​sink1​z
对于折射波:
$E_{2x}(z)=TE^{+i}_{x0}e^{-jk_2 z}$E2x​(z)=TEx0+i​e−jk2​z
$E_{2y}(z)=T\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_2}e^{-jk_2 z}$E2y​(z)=Tη2​Ex0+i​​e−jk2​z

平面电磁波,理想介质to理想介质,斜入射

1.垂直极化波

1.垂直极化波:电场强度分量与入射角垂直的波称为垂直极化波

斯涅尔反射定律

$\theta_i=\theta_r$θi​=θr​

斯涅尔折射定律

$\frac {sin \theta_i}{sin \theta_t}=\frac{k_2}{k_1}=\frac{n_2}{n_1}$sinθt​sinθi​​=k1​k2​​=n1​n2​​
其中

折射指数,折射率

$n=c\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac c \omega k$n=cμε​=ωc​k

垂直极化波的反射系数和折射系数
$R_{\bot}=\frac{\eta_{2}cos\theta_{i}-{\eta_{1}cos\theta_{t}}}{\eta_{2}cos\theta_{i}+{\eta_{1}cos\theta_{t}}}$R⊥​=η2​cosθi​+η1​cosθt​η2​cosθi​−η1​cosθt​​
$T_{\bot}=\frac{2\eta_{2}cos\theta_{i}}{\eta_{2}cos\theta_{i}+{\eta_{1}cos\theta_{t}}}$T⊥​=η2​cosθi​+η1​cosθt​2η2​cosθi​​

对于非铁磁性媒质,$\mu_{1}\approx\mu_{2}\approx\mu_{0}$μ1​≈μ2​≈μ0​,则有$\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}}$η2​η1​​=ε2​ε1​​​和$sin\theta_{t}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}}$sinθt​=ε1​ε2​​​上式可改为

$R_{\bot}=\frac{cos\theta_{i}-\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}{cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$R⊥​=cosθi​+ϵ1​ϵ2​​−sin2θi​​cosθi​−ϵ1​ϵ2​​−sin2θi​​​

$T_{\bot}=\frac{2cos\theta_{i}}{cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$T⊥​=cosθi​+ϵ1​ϵ2​​−sin2θi​​2cosθi​​

2.平行极化波

2.平行极化波:电场强度分量与入射角平行的波称为平行极化波
平行极化波的发射系数和折射系数:
$R_{//}=\frac{\eta_{1}cos\theta_{i}-{\eta_{2}cos\theta_{t}}}{\eta_{1}cos\theta_{i}+{\eta_{2}cos\theta_{t}}}$R//​=η1​cosθi​+η2​cosθt​η1​cosθi​−η2​cosθt​​
$T_{//}=\frac{2\eta_{2}cos\theta_{i}}{\eta_{1}cos\theta_{i}+{\eta_{2}cos\theta_{t}}}$T//​=η1​cosθi​+η2​cosθt​2η2​cosθi​​

对于非铁磁性媒介,上两式可改写为
$R_{//}=\frac{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}-\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$R//​=(ε2​/ε1​)cosθi​+ϵ1​ϵ2​​−sin2θi​​(ε2​/ε1​)cosθi​−ϵ1​ϵ2​​−sin2θi​​​

$T_{//}=\frac{2\sqrt{{\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}}}cos\theta_{i}}{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$T//​=(ε2​/ε1​)cosθi​+ϵ1​ϵ2​​−sin2θi​​2ε2​/ε1​​cosθi​​

显然,斜入射就是可以分解成垂直极化波和水平极化波而被介绍.

3.全反射

当 |R|=1时,入射波全部反射走了:
显然让$R_{\bot} $和$和R_{//}$都等于1时会有全反射:
$sin \theta_i =\sqrt{\frac {\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} \tag {5,1}$sinθi​=ε1​ε2​​​(5,1)
对于非铁磁性媒质,$\mu_{1}\approx\mu_{2}\approx\mu_{0}$μ1​≈μ2​≈μ0​,有:
$sin \theta_i =\sqrt{\frac {\varepsilon_2}{\varepsilon_1}}sin\theta_t$sinθi​=ε1​ε2​​​sinθt​
显然当$\theta_t=\frac \pi 2$θt​=2π​时全反射,但这个不是重点,因为自变量是$\theta_i$θi​,所以这只是一个现象而已.
所以有:

临界角$\theta_c$θc​

满足1.1的$\theta_i$θi​记作$\theta_c$θc​有:
$\theta_c= arcsin \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}}$θc​=arcsinε1​ε2​​​
当$\theta_i =\theta_c 时有:sin\theta_c=1 ,\theta_t =\frac \pi 2$θi​=θc​时有:sinθc​=1,θt​=2π​

全内反射

当入射角大于临界角之后,可以求出:
$sin\theta_{3t}=\sqrt{\frac {\varepsilon_1}{\varepsilon_2}}sin\theta_{3i}>sin\theta_t=1$sinθ3t​=ε2​ε1​​​sinθ3i​>sinθt​=1
可以看出这个角用平面已经没办法解析了,应该放成复平面再用欧拉公式展开才能探看,但是所幸的是:
$cos\theta_{3t} =\sqrt{1-sin^2\theta_{3t}}=\pm j \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}sin^2\theta_{3i}-1}\\ \quad \quad=\pm j(\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2})^{\frac 12}\sqrt{sin^2\theta_{3i}-\varepsilon_2/\varepsilon_1}=\pm j a$cosθ3t​=1−sin2θ3t​​=±jε2​ε1​​sin2θ3i​−1​=±j(ε2​ε1​​)21​sin2θ3i​−ε2​/ε1​​=±ja
可以代入反射系数公式,还是可以得到$|R_{\bot}|=|R_{//}|=1$∣R⊥​∣=∣R//​∣=1,还是达到了全反射的条件
但是这个时候,可以代入折射系数可知,$T_{\bot}\neq 0 , T_{//}\neq 0$T⊥​̸​=0,T//​̸​=0,此时随便带入一个方向的折射波方程得(以垂直为例):
$\vec E^t(\vec r)=\vec a_y T_{\bot}E^{+i}_0 e^{-jk_2xsin\theta_{3t}}e^{-jk_2zcos\theta_{3t}}\\ \quad \vec a_y T_{\bot}E^{+i}_0e^{-az}e^{jk_2 xsin\theta_{3t}}$Et(r)=ay​T⊥​E0+i​e−jk2​xsinθ3t​e−jk2​zcosθ3t​ay​T⊥​E0+i​e−azejk2​xsinθ3t​
可以看到,此时的TEM波已经变成了
振幅往+z方向衰减,方向沿+x方向传播的非均匀平面波,综合反射折射来看,就可以说是很像光纤了

画了个小图,自己了解一下.
从图都可以得出,反射和折射的表面波之间是存在光程差,也就存在着相移,考虑该波等相面:
$k_2 xsin\theta_{3t}-\omega t=C$k2​xsinθ3t​−ωt=C
求导得相速:

慢波&&表面波

$v_{px} = \frac{\omega}{k_2 sin\theta_{3t}}=\frac {v_p}{sin\theta_{3t}}&lt;v_p$vpx​=k2​sinθ3t​ω​=sinθ3t​vp​​<vp​
所以称该波为慢波,或者是表面波

建议看书P147-148

4.全折射

同理,入射波全部折射进理想介质2,但理论上我们只考虑$R_{//}=0$R//​=0具体原因可以看书!
整理得:

布儒斯特角&&极化角$\theta_b$θb​

$sin \theta_i =\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_2 +\varepsilon_1}$sinθi​=ε2​+ε1​ε2​​
当存在$\theta_i$θi​满足上式时,记作布儒斯特角$\theta_b$θb​:
$\theta_b=arcsin\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}}$θb​=arcsinε1​+ε2​ε2​​​
此时会有垂直极化分量剩余,也就是说,发生全折射的时候,会剩下垂直极化分量
所以这过程也会被称为极化滤波.所以布儒斯特角也称为极化角

平面电磁波,理想介质to理想导体,垂直入射

由于良导体存在趋肤效应,所以研究折射是没有意义的,所以这里只需要研究全反射条件.

由前文的垂直入射的反射系数和折射系数可以看到:
$R=-1 \quad \quad T=0$R=−1T=0
也可以由理想导体的边界中,电场强度切向连续得到,代入前面的垂直入射分析中得:
$\vec E_{1x}(z)=\vec E^{+i}_{x0}(e^{-jk_1 z}-e^{jk_1 z}) = -j2\vec E^{+i}_{x0}sink_1 z$E1x​(z)=Ex0+i​(e−jk1​z−ejk1​z)=−j2Ex0+i​sink1​z
$\vec E_{1y}(z)= \frac {\vec E^{+i}_{x0}}{\eta_1} (e^{-jk_1 z}+e^{jk_1 z}) = \frac 2{\eta_1} \vec E^{+i}_{x0}cosk_1 z$E1y​(z)=η1​Ex0+i​​(e−jk1​z+ejk1​z)=η1​2​Ex0+i​cosk1​z

改写成瞬时形式:
$E_{1x}(z,t)=Re[E_{1x}(z)e^{j\omega t}]=2E^{+i}_{x0} \quad \quad sink_1 z \quad \quad sin \omega t$E1x​(z,t)=Re[E1x​(z)ejωt]=2Ex0+i​sink1​zsinωt
$H_{1y}(z,t)=Re[H_{1y}(z)e^{j\omega t}]=\frac 2 {\eta_1}E^{+i}_{x0}\quad \quad cosk_1 z\quad\quad cos\omega t$H1y​(z,t)=Re[H1y​(z)ejωt]=η1​2​Ex0+i​cosk1​zcosωt

由公式可以看出:

1. 在固定一个x-y平面(z固定),波幅只会因为t而改变,这个改变是通过改变相位而来的
2. 在固定一个周期中(t固定), 相位不会因为z的传播而改变
3. 在固定一个周期中(t固定), 波幅会因为z的传播而震荡

直观一点来说,只要你固定x-y平面,固定看一个周期,想着z往着图里投射波形,就可以看见blog开头的

纯驻波

还可以在时均能流密度$S_{av}$Sav​中:
$\vec S_{av}=\frac12 Re[\vec a_zE_{1x}(z)\vec H^*_{1y}(z)] \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\frac 12Re[-\vec a_z j\frac {4|E^{+i}_{x0}|^2}{\eta_1}sink_1zcosk_1z]=0$Sav​=21​Re[az​E1x​(z)H1y∗​(z)]=21​Re[−az​jη1​4∣Ex0+i​∣2​sink1​zcosk1​z]=0
可以看出驻波并不会传输能量,只是周期地把电场能量和磁场能量交换了而已.

平面电磁波,理想介质to理想导体,斜入射

跟之前是一样的,斜入射分成垂直极化波和水平极化波来分析
也是只研究全反射

垂直极化入射

垂直极化入射情况下的合成波:
$\vec E_{1}(\vec r)=\vec E^{i}(\vec r)+\vec E^{r}(\vec r)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ = -\vec{a}_{y}j2E^{+i}_{0}\quad sin(k_{1}zcos\theta_{i})\quad e^{-jk_{1}xsin\theta_{i}}$E1​(r)=Ei(r)+Er(r)=−ay​j2E0+i​sin(k1​zcosθi​)e−jk1​xsinθi​
$\vec H_{1}(\vec r)=\vec H^{I}(\vec r)+\vec H^{r}(\vec r)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=[-\vec{a_{x}}cos\theta_{i}cos(k_{1}zcos\theta_{i})-\vec{a_{z}}jsin\theta_{i}sin(k_{1}zcos_{\theta_{i}})]\frac{2E^{+i}_{0}}{\eta_{1}}e^{-jk_{1}xsin\theta_{i}}$H1​(r)=HI(r)+Hr(r)=[−ax​​cosθi​cos(k1​zcosθi​)−az​​jsinθi​sin(k1​zcosθi​​)]η1​2E0+i​​e−jk1​xsinθi​
可以看出(统一看电场,因为几乎所有定义都是用电场定义的):

x方向上的行波性

由$e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-\omega t)}$e−j(k1​xsinθi​−ωt)给出,而且传播相速为慢波:
$v_{px}=\frac{\omega}{k_1 sin\theta_i}=\frac{v_p}{sin \theta_i}&lt;v_p$vpx​=k1​sinθi​ω​=sinθi​vp​​<vp​

z方向上的驻波性

由$sin(k_{1}zcos\theta_{i})$sin(k1​zcosθi​)可以得到

振幅非均匀性

振幅往+z方向做周期性变化,方向沿+x方向等相面 传播的非均匀平面波

以上者三点都有点类似于全内反射

横电波性(TE波)

平行极化入射

$\vec E_1(\vec r)=-[\vec a_x jcos\theta_i sin(k_1 zcos\theta_i)+\vec a_z sin\theta_i cos(k_1 zcos\theta_i)] 2E_0^{+i}e^{-jk_1 xsin\theta_i}$E1​(r)=−[ax​jcosθi​sin(k1​zcosθi​)+az​sinθi​cos(k1​zcosθi​)]2E0+i​e−jk1​xsinθi​
$\vec H_1(\vec r)=\vec a_y 2\frac{E_0^{+i}}{\eta_1}cos(k_1 z cos\theta_i)e^{-jk_1 xcos\theta_i}$H1​(r)=ay​2η1​E0+i​​cos(k1​zcosθi​)e−jk1​xcosθi​
同上分析,依然有:

x方向上的行波性

行波因子$e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-{\omega}t)}$e−j(k1​xsinθi​−ωt)

由行波因子表示,而且传播相速为慢波:

$v_{px}=\frac{\omega}{k_1 sin\theta_i}=\frac{v_p}{sin \theta_i}&lt;v_p$vpx​=k1​sinθi​ω​=sinθi​vp​​<vp​

z方向上的驻波性

驻波因子$^{sin}_{cos}(k_{1}zcos\theta_{i})$cossin​(k1​zcosθi​)

由驻波因子表示

振幅非均匀性

振幅随z变化的非均匀平面波

*横磁波(TM波)

在x的传播方向上电场分量不为0,磁场分量为0

结语

第五章算是写完了,剩下的内容课上也没有介绍了,
开始从单纯的抄写公式到以公式入手理解意义了.也开始配了简单的图
但是万万不足的是,blog上大多其实还是结论,
真正要处理的波动方程除了难一点的之外都没有写出,还需要大家好好看书!
 
 

如果你想请我吃个南五的话