进一步优化梯度下降

现在我们要讨论用于进一步优化梯度下降的各种算法。

1. 动量梯度下降法（Momentum）

SGD方法中的高方差振荡使得网络很难稳定收敛，所以有研究者提出了一种称为动量（Momentum）的技术，通过优化相关方向的训练和弱化无关方向的振荡，来加速SGD训练。换句话说，这种新方法将上个步骤中更新向量的分量’γ’添加到当前更新向量。

V(t)=γV(t−1)+η∇(θ).J(θ)

最后通过θ=θ−V(t)来更新参数。

动量项γ通常设定为0.9，或相近的某个值。

 

这里的动量与经典物理学中的动量是一致的，就像从山上投出一个球，在下落过程中收集动量，小球的速度不断增加。

在参数更新过程中，其原理类似：

1)使网络能更优和更稳定的收敛；

2)减少振荡过程。

当其梯度指向实际移动方向时，动量项γ增大；当梯度与实际移动方向相反时，γ减小。这种方式意味着动量项只对相关样本进行参数更新，减少了不必要的参数更新，从而得到更快且稳定的收敛，也减少了振荡过程。

2. 加速梯度下降法（Nesterov Momentum）

一位名叫Yurii Nesterov研究员，认为动量方法存在一个问题：

如果一个滚下山坡的球，盲目沿着斜坡下滑，这是非常不合适的。一个更聪明的球应该要注意到它将要去哪，因此在上坡再次向上倾斜时小球应该进行减速。

实际上，当小球达到曲线上的最低点时，动量相当高。由于高动量可能会导致其完全地错过最小值，因此小球不知道何时进行减速，故继续向上移动。

Yurii Nesterov在1983年发表了一篇关于解决动量问题的论文，因此，我们把这种方法叫做Nestrov梯度加速法。

在该方法中，他提出先根据之前的动量进行大步跳跃，然后计算梯度进行校正，从而实现参数更新。这种预更新方法能防止大幅振荡，不会错过最小值，并对参数更新更加敏感。

Nesterov梯度加速法（NAG）是一种赋予了动量项预知能力的方法，通过使用动量项γV(t−1)来更改参数θ。通过计算θ−γV(t−1)，得到下一位置的参数近似值，这里的参数是一个粗略的概念。因此，我们不是通过计算当前参数θ的梯度值，而是通过相关参数的大致未来位置，来有效地预知未来：

V(t)=γV(t−1)+η∇(θ)J( θ−γV(t−1) )，

然后使用θ=θ−V(t)来更新参数。

现在，我们通过使网络更新与误差函数的斜率相适应，并依次加速SGD，也可根据每个参数的重要性来调整和更新对应参数，以执行更大或更小的更新幅度。

3. Adagrad方法

Adagrad方法是通过参数来调整合适的学习率η，对稀疏参数进行大幅更新和对频繁参数进行小幅更新。因此，Adagrad方法非常适合处理稀疏数据。

在时间步长中，Adagrad方法基于每个参数计算的过往梯度，为不同参数θ设置不同的学习率。

先前，每个参数θ(i)使用相同的学习率，每次会对所有参数θ进行更新。在每个时间步t中，Adagrad方法为每个参数θ选取不同的学习率，更新对应参数，然后进行向量化。为了简单起见，我们把在t时刻参数θ(i)的损失函数梯度设为g(t,i)。

图3：参数更新公式

Adagrad方法是在每个时间步中，根据过往已计算的参数梯度，来为每个参数θ(i)修改对应的学习率η。

Adagrad方法的主要好处是，不需要手工来调整学习率。大多数参数使用了默认值0.01，且保持不变。

Adagrad方法的主要缺点是，学习率η总是在降低和衰减。

因为每个附加项都是正的，在分母中累积了多个平方梯度值，故累积的总和在训练期间保持增长。这反过来又导致学习率下降，变为很小数量级的数字，该模型完全停止学习，停止获取新的额外知识。

因为随着学习速度的越来越小，模型的学习能力迅速降低，而且收敛速度非常慢，需要很长的训练和学习，即学习速度降低。

另一个叫做Adadelta的算法改善了这个学习率不断衰减的问题。

4. AdaDelta方法

这是一个AdaGrad的延伸方法，它倾向于解决其学习率衰减的问题。Adadelta不是累积所有之前的平方梯度，而是将累积之前梯度的窗口限制到某个固定大小w。

与之前无效地存储w先前的平方梯度不同，梯度的和被递归地定义为所有先前平方梯度的衰减平均值。作为与动量项相似的分数γ，在t时刻的滑动平均值Eg⊃2;仅仅取决于先前的平均值和当前梯度值。

Eg⊃2;=γ.Eg⊃2;+(1−γ).g⊃2;(t)，其中γ设置为与动量项相近的值，约为0.9。

Δθ(t)=−η⋅g(t,i).

θ(t+1)=θ(t)+Δθ(t)

图4：参数更新的最终公式

AdaDelta方法的另一个优点是，已经不需要设置一个默认的学习率。

目前已完成的改进

1)为每个参数计算出不同学习率；

2) 也计算了动量项momentum；

3)防止学习率衰减或梯度消失等问题的出现。

还可以做什么改进？

在之前的方法中计算了每个参数的对应学习率，但是为什么不计算每个参数的对应动量变化并独立存储呢？这就是Adam算法提出的改良点。

Adam算法

Adam算法即自适应时刻估计方法（Adaptive Moment Estimation），能计算每个参数的自适应学习率。这个方法不仅存储了AdaDelta先前平方梯度的指数衰减平均值，而且保持了先前梯度M(t)的指数衰减平均值，这一点与动量类似：

M(t)为梯度的第一时刻平均值，V(t)为梯度的第二时刻非中心方差值。

图5：两个公式分别为梯度的第一个时刻平均值和第二个时刻方差

则参数更新的最终公式为：

图6：参数更新的最终公式

其中，β1设为0.9，β2设为0.9999，ϵ设为10-8。

在实际应用中，Adam方法效果良好。与其他自适应学习率算法相比，其收敛速度更快，学习效果更为有效，而且可以纠正其他优化技术中存在的问题，如学习率消失、收敛过慢或是高方差的参数更新导致损失函数波动较大等问题。

对优化算法进行可视化

图8：对鞍点进行SGD优化

从上面的动画可以看出，自适应算法能很快收敛，并快速找到参数更新中正确的目标方向；而标准的SGD、NAG和动量项等方法收敛缓慢，且很难找到正确的方向。

结论

我们应该使用哪种优化器？

在构建神经网络模型时，选择出最佳的优化器，以便快速收敛并正确学习，同时调整内部参数，最大程度地最小化损失函数。

Adam在实际应用中效果良好，超过了其他的自适应技术。

如果输入数据集比较稀疏，SGD、NAG和动量项等方法可能效果不好。因此对于稀疏数据集，应该使用某种自适应学习率的方法，且另一好处为不需要人为调整学习率，使用默认参数就可能获得最优值。

如果想使训练深层网络模型快速收敛或所构建的神经网络较为复杂，则应该使用Adam或其他自适应学习速率的方法，因为这些方法的实际效果更优。

希望你能通过这篇文章，很好地理解不同优化算法间的特性差异。

相关链接：

二阶优化算法：

https://web.stanford.edu/class/msande311/lecture13.pdf

Nesterov梯度加速法：http://cs231n.github.io/neural-networks-3/

================Adam部分说真的，看的还有点晕，数学底子不行啊，下次再补吧==============

简单解释Momentum,RMSprop,Adam优化算法，

看这篇文章，对Adam算法有个宏观的认识，但具体细节写的不好。

其中，RMSprop是一个未被发表的自适应学习率的算法，该算法由Geoff Hinton在其Coursera课堂的课程6e中提出。

RMSprop和Adadelta在相同的时间里被独立的提出，都起源于对Adagrad的极速递减的学习率问题的求解。2个人其实就是写法不一样，实际上2个公式是一样的。有些文章喜欢写成RMSprop代替Adadelta。2个最终的公式移项就是一个加法，一个写成减法

以下三篇写的很周到，尤其第3篇里面带参考链接

深度学习笔记：优化方法总结(BGD,SGD,Momentum,AdaGrad,RMSProp,Adam)

优化方法总结：SGD，Momentum，AdaGrad，RMSProp，Adam

梯度优化算法Adam

以下2篇专门讲Adam，

深度学习优化器 Adam 解析

深度学习最常用的学习算法：Adam优化算法