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傅里叶级数和傅里叶变换都是十分重要的数学工具.但是学习起来也有一定的难度.写本文的目的是想以一种更为直观的角度来理解这种变换.我们采用的观点是来自于线性代数的.所以我们有必要从线性代数开始.

基本定义

在线性代数中,有一个非常重要的概念叫做正交.比如$(1,0,0)$(1,0,0)与$(0,1,0)$(0,1,0)就是互相正交的向量.而正交向量的点积为0.也就是说$(1,0,0)\cdot (0,1,0)=0$(1,0,0)⋅(0,1,0)=0.
我们可以看到正交的概念十分简单明了.但是实际上正交的概念更为普遍,不只是线性代数中才有的概念.更为抽象的定义是如果你定义某种操作函数K,如果$K(a,b)=0$K(a,b)=0,我们就可以称为a,b正交.所以我们可以在三角函数中定义正交的概念.

三角函数中的正交

这里我们先列出来正交的三角函数有$1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x),\cdots, cos(nx), sin(nx), \cdots$1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),⋯,cos(nx),sin(nx),⋯.这些函数在$[-\pi, \pi]$[−π,π]上正交.也就是说,

$\int_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)dx}=0$∫−ππ​cos(nx)dx=0 $\int_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)dx}=0$∫−ππ​sin(nx)dx=0
$\int_{-\pi}^{\pi}{sin(kx)cos(nx)dx}=0$∫−ππ​sin(kx)cos(nx)dx=0
$\int_{-\pi}^{\pi}{sin(kx)sin(nx)dx}=0,(k\neq n)$∫−ππ​sin(kx)sin(nx)dx=0,(k​=n)
$\int_{-\pi}^{\pi}{cos(kx)cos(nx)dx}=0,(k\neq n)$∫−ππ​cos(kx)cos(nx)dx=0,(k​=n)

我们来看看类比,对于向量$\mathbf{a}=\left( \begin{array}{cccc} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{array} \right),\mathbf{b}=\left( \begin{array}{cccc} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{array} \right)$a=(a1​​a2​​⋯​an​​),b=(b1​​b2​​⋯​bn​​)我们定义的K操作为$K(a,b)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$K(a,b)=a1​b1​+a2​b2​+⋯+an​bn​.那么对于三角函数而言,K操作定义为
$K(cos(kx),sin(nx))=\int_{-\pi}^{\pi}{cos(kx)sin(nx)dx}$K(cos(kx),sin(nx))=∫−ππ​cos(kx)sin(nx)dx
所以我们可以对于三角函数建立正交关系.我们来类比一下.

向量空间 vs 三角函数的正交空间

• 基向量

  • 向量空间中(假如这个空间的维度为n),我们把这个空间称为A
    我们可以定义基向量为 $e_1=(1,0,\cdots,0)$e1​=(1,0,⋯,0)
    $e_2=(0,1,\cdots,0)$e2​=(0,1,⋯,0) $\vdots$⋮ $e_n=(0,0,\cdots,1)$en​=(0,0,⋯,1)

  • 对于三角函数的空间里面我们可以定义的一组基为,我们也把这个空间称为B
    $n_1=1$n1​=1 $n_2=cos(x)$n2​=cos(x) $n_3=cos(2x)$n3​=cos(2x) $\vdots$⋮
    $n_n=cos((n-1)x)$nn​=cos((n−1)x) 由这些基组成的空间,它是一个n维的三角函数空间

• 空间中任意一个向量

  • n维向量空间A $v=k_1e_1+k_2e_2+\cdots+k_ne_n$v=k1​e1​+k2​e2​+⋯+kn​en​

  • 刚才提到的三角函数空间B $f=k_01+k_1c_1+\cdots+k_{n-1}c_{n-1}$f=k0​1+k1​c1​+⋯+kn−1​cn−1​
    $f=k_0+k_1cos(x)+k_2cos(2x)+\cdots+k_{n-1}cos((n-1)x)$f=k0​+k1​cos(x)+k2​cos(2x)+⋯+kn−1​cos((n−1)x)

如何求系数

• 向量空间中如何求坐标.也就是基向量的系数.比如
  $v=k_1e_1+k_2e_2+\cdots+k_ne_n$v=k1​e1​+k2​e2​+⋯+kn​en​
  这个向量的系数(坐标)是多少呢?通过上式你可以很容易观察得到坐标为$\left( k_1, k_2, \cdots, k_n \right)$(k1​,k2​,⋯,kn​).但是实际生活中,你并不知道上面的形式,你知道$v$v而不知道$v$v怎么由$\left( e_1, e_2, \cdots, e_n \right)$(e1​,e2​,⋯,en​)构成的.

  我们的问题变成,已知$v$v,和$\left( e_1, e_2, \cdots, e_n \right)$(e1​,e2​,⋯,en​),求$v$v在$\left( e_1, e_2, \cdots, e_n \right)$(e1​,e2​,⋯,en​)这组基下面的坐标.在线性代数中,这个问题其实很简单.我们只需要用$e_i$ei​去点积$v$v即可.

  $k_i=v\cdot e_i$ki​=v⋅ei​

  这样就可以求出在$\left( e_1, e_2, \cdots, e_n \right)$(e1​,e2​,⋯,en​)下,$v$v的坐标.因为$e_i\cdot e_j=0,(i\neq j)$ei​⋅ej​=0,(i​=j)

• 三角函数空间

  类似的我们如果已知函数$f(x)$f(x)由如下的三角函数组成
  $1, cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),\cdots,cos(nx),sin(nx)$1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),⋯,cos(nx),sin(nx)

  但是你不知道$f(x)$f(x)对应这些三角函数的具体系数.你该如何做?类似于向量空间的方法,使用三角函数中定义的点积来求出对应系数$k_i$ki​

  比如我们要来求出$cos(ix)$cos(ix)的系数,我们可以使用
  $\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(ix)dx=k_i^{(cos)}\int_{-\pi}^{\pi}{cos(ix)cos(ix)dx}$∫−ππ​f(x)cos(ix)dx=ki(cos)​∫−ππ​cos(ix)cos(ix)dx

  这是应为正交的关系,所以只剩下一项了.又因为我们知道

  $\int_{-\pi}^{\pi}{cos^2(ix)dx}=\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{cos(2ix)+1}{2}dx}=\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{cos(2ix)}{2}dx}+\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}{dx}=\pi$∫−ππ​cos2(ix)dx=∫−ππ​2cos(2ix)+1​dx=∫−ππ​2cos(2ix)​dx+21​∫−ππ​dx=π
  由此可见 $k_i^{cos}=\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)cos(ix)dx}/\pi$kicos​=∫−ππ​f(x)cos(ix)dx/π

傅里叶级数

有了前面的知识,我们自然而然的就可以导出傅里叶级数了.我们先来看看傅里叶级数的定义.

如果$f(x)$f(x)是周期$2\pi$2π的函数.那么以下展开形式被称作傅里叶级数

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_kcos(kx)+b_ksin(kx))$f(x)=2a0​​+k=1∑∞​(ak​cos(kx)+bk​sin(kx))

其中, $a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)dx}$a0​=π1​∫−ππ​f(x)dx
$b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)sin(kx)dx}$bk​=π1​∫−ππ​f(x)sin(kx)dx
$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)cos(kx)dx}$ak​=π1​∫−ππ​f(x)cos(kx)dx

有了傅里叶级数的定义,我们来看看收敛定理.

设$f(x)$f(x)是周期为$2\pi$2π的周期函数,如果它满足:

• 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点.

• 在一个周期内至多只有有限个极值点

则$f(x)$f(x)的傅里叶级数收敛,且

• 当x是$f(x)$f(x)的连续点时,级数收敛于$f(x)$f(x).

• 当x是$f(x)$f(x)的间断点时,级数收敛于 $\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$21​[f(x−)+f(x+)]

举例

傅里叶级数使用的互相正交的三角函数个数为无线个.也就是说这个三角函数空间为无线维的.但是我们可以在有限维度来观察福利叶级数的行为.我先来看看一个简单的例子比如函数,一个简单的连续函数.这个函数是周期为$2\pi$2π的函数,这个函数的在$[-\pi, \pi]$[−π,π]上面的定义为

$\left\{ \begin{aligned} x+\pi, (-\pi<x\leqslant 0)\\ -x+\pi, (0<x\leqslant \pi) \end{aligned} \right.${x+π,(−π<x⩽0)−x+π,(0<x⩽π)​

整个函数的图像如下图

我们这里不使用无线维的三角函数集合.而是使用有限维度的三角函数集合.会发生什么?比如我们使用

$1, cos(x),sin(x)$1,cos(x),sin(x)

按照我们刚开始的方法,也就是正交三角函数的系数求解方法.我们可以展开出这样的的形式

$\frac{4 \cos (x)}{\pi }+\frac{\pi }{2}$π4cos(x)​+2π​
这个函数在$[-\pi,\pi]$[−π,π]的图象为.这个图象看起来和我们原来的函数图象比较起来,一点儿也不像.但是通过我们以前的分析,可以知道我们的原函数实际上,是含有$\frac{4 \cos (x)}{\pi }$π4cos(x)​和$\frac{\pi }{2}$2π​,成分的.但是因为我们并没有把更为高频的成分加入进来.

这个图形只能说大体上和我们原函数相像而已.接下来我们试着加入更高频的成分.

\newpage
我们现在加入更高频的成分.

$1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), cos(3x),sin(3x)$1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),cos(3x),sin(3x)

我们求得的函数为

$\frac{4 \cos (x)}{\pi }+\frac{4 \cos (3 x)}{9 \pi }+\frac{\pi }{2}$π4cos(x)​+9π4cos(3x)​+2π​

图象为

人眼可以看出,这个函数与原函数越来越像了.接下来我们加入更为高频的成分.比如
$1,sin(x),cos(x),\cdots, sin(9x),cos(9x)$1,sin(x),cos(x),⋯,sin(9x),cos(9x)

我们求得的函数为
$\frac{4 \cos (x)}{\pi }+\frac{4 \cos (3 x)}{9 \pi }+\frac{4 \cos (5 x)}{25 \pi }+\frac{4 \cos (7 x)}{49 \pi }+\frac{4 \cos (9 x)}{81 \pi }+\frac{\pi }{2}$π4cos(x)​+9π4cos(3x)​+25π4cos(5x)​+49π4cos(7x)​+81π4cos(9x)​+2π​

图象为

\newpage
这个函数又更为接近原函数了.可见当我们添加更为高频的成分之后,函数越来越贴近原函数了.最后我们加入非常高的高平成分进去.

$1, sin(x), cos(x), \cdots, sin(99x), cos(99x)$1,sin(x),cos(x),⋯,sin(99x),cos(99x)

求得的函数我就不列出来了,因为很长很复杂了.但是我们可以把它的图像输出出来.

这下你凭借肉眼是看不出来这个函数和原函数的区别的.当我们将频率成分扩展到无限的时候.我们就能够得到一个傅里叶级数展开式组成的函数,它在数学上严格等于原函数.

一般周期傅里叶级数

如果一个函数的周期不是$2\pi$2π怎么办?假如一个函数的周期为$2l$2l.那么这下该怎么办呢?其实也很容易的.我们可以将$2l$2l周期的函数变为$2\pi$2π周期.如何做?换元法而已.我们来看看.如何使用换元法将一个周期为$2l$2l的函数换成一个周期为$2\pi$2π的函数.

$f(x+2l)=f(x)$f(x+2l)=f(x)

只需要进行变换一下自变量就行了.$x=\frac{l}{\pi}z$x=πl​z这样就可以了.然后我们可以换回来,就回到了原来的形式.这样我们可以得到如下的傅里叶系数展开式形式
$\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}(a_kcos(\frac{k\pi}{l}x)+b_ksin(\frac{k\pi}{l}x))$2a0​​+k=1∑​(ak​cos(lkπ​x)+bk​sin(lkπ​x))

其中, $a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}{f(x)dx}$a0​=l1​∫−ll​f(x)dx
$a_k=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}{f(x)cos(\frac{k\pi}{l}x)dx}$ak​=l1​∫−ll​f(x)cos(lkπ​x)dx
$b_k=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}{f(x)sin(\frac{k\pi}{l}x)dx}$bk​=l1​∫−ll​f(x)sin(lkπ​x)dx

复数形式

傅里叶级数的复数形式和上面写出的三角函数形式没有本质区别.他们只是同样的数学概念的不同形式而已.可以互相转换.值得注意的是,我们讨论的$x$x自变量的取值范围属于$\Bbb{C}$C不仅限于$\Bbb{R}$R

下面我们就根据一般形式进行复数形式的推到,我们要用到的根据是欧拉公式

$e^{ix}=cos(x)+sin(x)i$eix=cos(x)+sin(x)i

那么我们可以根据欧拉公式进行转换

$cos(\frac{k\pi}{l}x)=(e^{\frac{k\pi x}{l}i}+e^{-\frac{k\pi x}{l}i})/2$cos(lkπ​x)=(elkπx​i+e−lkπx​i)/2
$sin(\frac{k\pi}{l}x)=-(e^{\frac{k\pi x}{l}i}-e^{-\frac{k\pi x}{l}i})i/2$sin(lkπ​x)=−(elkπx​i−e−lkπx​i)i/2
将上面的公式带入原来的级数里面我们整理可得.

$\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[ \frac{a_k-ib_k}{2}e^{\frac{k\pi x}{l}i} + \frac{a_k+ib_k}{2}e^{-\frac{k\pi x}{l}i}\right]$2a0​​+k=1∑∞​[2ak​−ibk​​elkπx​i+2ak​+ibk​​e−lkπx​i]

你可以假设$c_0=\frac{a_0}{2},c_{n}=\frac{a_k-ib_k}{2},c_{-n}=\frac{a_k+ib_k}{2}$c0​=2a0​​,cn​=2ak​−ibk​​,c−n​=2ak​+ibk​​,并化简可得
$c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(x)e^{-\frac{k\pi x}{l}}dx}$cn​=2l1​∫−ll​f(x)e−lkπx​dx
$c_{-n}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(x)e^{\frac{k\pi x}{l}}dx}$c−n​=2l1​∫−ll​f(x)elkπx​dx
由此可见系数的形式可以统一为
$c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(x)e^{-i \frac{k\pi x}{l}}dx},(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$cn​=2l1​∫−ll​f(x)e−ilkπx​dx,(k=0,±1,±2,⋯)

如此以来,傅里叶级数就可以变为更为简单的形式

$\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{\frac{k\pi x}{l}i}$−∞∑∞​cn​elkπx​i

补充

1. 刚才的例子里面并不含sin函数成分.是因为巧合.如果我们的函数更为一般些.图象更为复杂的话.里面一般都会含有sin函数成分.当然这是和函数$f(x)$f(x)的奇偶性有关的.

2. 傅里叶级数的展开式所含有的频率成分是固定的,而且是离散的.他们分别是.

3. 对于有个函数,比如只有一个区域有定义,切满足傅里叶级数的收敛性质的函数.可以做延拓.也就是重复那个区段,就可以把它变成周期函数.然后进行傅里叶级数的变换.

$\frac{1}{2\pi},\frac{1}{\pi},\frac{3}{2\pi},\frac{2}{\pi},\frac{5}{2\pi}, \cdots, \frac{n}{2\pi},\cdots$2π1​,π1​,2π3​,π2​,2π5​,⋯,2πn​,⋯

傅里叶变换

有了傅里叶级数的基础最好趁热打铁,学习傅里叶变换.傅里叶级数有什么缺点呢?还是有的,比如对于定义在全数域上而没有周期的函数怎么办?接下来我们看看如何从傅里叶级数慢慢的导出傅里叶变换.
$c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(x)e^{-i \frac{n\pi x}{l}}dx},(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$cn​=2l1​∫−ll​f(x)e−ilnπx​dx,(n=0,±1,±2,⋯)
$\sum_{-\infty}^{\infty}c_ne^{\frac{k\pi x}{l}i}$−∞∑∞​cn​elkπx​i
对于一般周期的傅里叶级数,变换后的频率成分主要是

$\frac{\pi}{l},\frac{2\pi}{l},\cdots, \frac{k\pi}{l}, \cdots$lπ​,l2π​,⋯,lkπ​,⋯

对于不同的周期$l$l,频率成分不一样.那么我们来举例看看.根据不同的$l$l来看看不同的傅里叶级数所含有的频率成分.

• $l=1$l=1
  

  \newpage

• $l=2$l=2

• $l=5$l=5

• $l=20$l=20

  

由此可见,当周期趋近于无穷大的时候.傅里叶级数将会包含所有的频率成分.变成一个连续的频率成分.我们看看如何将傅里叶级数变成连续的.
其实也不难,就是取极限.

$f(x)=\lim_{l\rightarrow \infty} \sum_{-\infty}^{\infty} \left[ c_ne^{\frac{k\pi x}{l}i} \right]$f(x)=l→∞lim​−∞∑∞​[cn​elkπx​i] 把$c_n$cn​也带入进去可得.
$f(x)=\lim_{l=\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \left[ (\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(t)e^{-i \frac{k\pi t}{l}}dt}) e^{\frac{k\pi x}{l}i} \right]$f(x)=l=∞lim​k=−∞∑∞​[(2l1​∫−ll​f(t)e−ilkπt​dt)elkπx​i] 进行化简

$f(x)=\lim_{l\rightarrow \infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(t)e^{\frac{(x-t)\pi k}{l}}dt} \right]$f(x)=l→∞lim​k=−∞∑∞​[2l1​∫−ll​f(t)el(x−t)πk​dt]

我们现在来看看引入一个变量$\lambda_k=\frac{k\pi}{l}$λk​=lkπ​.这个正是频率成分.$\Delta\lambda=\lambda_{n+1}-\lambda_n=\frac{\pi}{l}$Δλ=λn+1​−λn​=lπ​.我们带入上面的式子.

$f(x)=\lim _{l \rightarrow \infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{-l}^{l} f(t) e^{\lambda_{k} i(x-t)} d t\right] \Delta \lambda$f(x)=l→∞lim​k=−∞∑∞​[2π1​∫−ll​f(t)eλk​i(x−t)dt]Δλ

当$l \rightarrow \infty$l→∞.我们可以得
$f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i \lambda(x-t)} d t d \lambda$f(x)=2π1​∫−∞∞​∫−∞∞​f(t)eiλ(x−t)dtdλ
整理一下,我们可以得到下面的式子
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \lambda t} d t\right) e^{i \lambda x} d \lambda$f(x)=2π​1​∫−∞∞​(2π​1​∫−∞∞​f(t)e−iλtdt)eiλxdλ

我们把里面的一个部分
$\hat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i\lambda t}dt}$f^​(λ)=2π​1​∫−∞∞​f(t)e−iλtdt
叫做傅里叶变换

我们来比较一下在傅里叶级数中的$c_n$cn​和傅里叶变换中的$\hat{f}(\lambda)$f^​(λ)

• $c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(x)e^{-i \frac{n\pi x}{l}}dx},(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$cn​=2l1​∫−ll​f(x)e−ilnπx​dx,(n=0,±1,±2,⋯)

• $\hat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i\lambda t}dt}$f^​(λ)=2π​1​∫−∞∞​f(t)e−iλtdt

可见傅里叶级数中的系数在周期无穷大的情况下就会,变成傅里叶变换的形式.傅里叶变换的这个函数值代表的是什么意思?

$\hat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i\lambda t}dt}$f^​(λ)=2π​1​∫−∞∞​f(t)e−iλtdt

这个函数是一个以$\lambda$λ为自变量的一个函数.这个自变量就是代表的物理意义是频率.而函数求得值是什么呢?它是一个复数.复数怎么来解释?这个需要将复数形式还原为实数的形式.当我们的原函数$f(x)$f(x)是一个定义在实数域上的信号的时候.我们怎么来解释
$\hat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i\lambda t}dt}$f^​(λ)=2π​1​∫−∞∞​f(t)e−iλtdt
我们来看看如何重新根据$\hat{f}(\lambda)$f^​(λ)计算振幅和频率成分.

$\hat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i\lambda t}dt} \mapsto e^{i\lambda x}$f^​(λ)=2π​1​∫−∞∞​f(t)e−iλtdt↦eiλx
$\hat{f}(-\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{i\lambda t}dt} \mapsto e^{-i\lambda x}$f^​(−λ)=2π​1​∫−∞∞​f(t)eiλtdt↦e−iλx
将后面的项展开可得
$\hat{f}(\lambda)cos(\lambda x)+i\hat{f}(\lambda) sin(\lambda x)$f^​(λ)cos(λx)+if^​(λ)sin(λx)
$\hat{f}(-\lambda)cos(\lambda x)-i\hat{f}(-\lambda) sin(\lambda x)$f^​(−λ)cos(λx)−if^​(−λ)sin(λx)
合并同类项可得
$(\hat{f}(\lambda)+\hat{f}(-\lambda))cos(\lambda x)+i(\hat{f}(\lambda)-\hat{f}(-\lambda))sin(\lambda x)$(f^​(λ)+f^​(−λ))cos(λx)+i(f^​(λ)−f^​(−λ))sin(λx)
又因为
$\hat{f}(\lambda)+\hat{f}(-\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)cos(\lambda t)dt}$f^​(λ)+f^​(−λ)=2π​1​∫−∞∞​f(t)cos(λt)dt
$\hat{f}(\lambda)-\hat{f}(-\lambda)=-i\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)sin(\lambda t)dt}$f^​(λ)−f^​(−λ)=−i2π​1​∫−∞∞​f(t)sin(λt)dt
所以,我们可以最终得到一个不含虚数的展开式的两相.
$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)cos(\lambda t)dt}cos(\lambda x)+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)sin(\lambda t)dt} sin(\lambda x)$2π​1​∫−∞∞​f(t)cos(λt)dtcos(λx)+2π​1​∫−∞∞​f(t)sin(λt)dtsin(λx)
这就可以复原出两个频率相同的正余弦信号.

傅里叶变换举例

• $f(x)=sin(x)$f(x)=sin(x)

  1. 傅里叶变换的结果
     $\hat{f}(\lambda)=-i \sqrt{\frac{\pi }{2}} \delta (\lambda -1)+i \sqrt{\frac{\pi }{2}} \delta (\lambda +1)$f^​(λ)=−i2π​​δ(λ−1)+i2π​​δ(λ+1)

  2. 完整的$f(x)$f(x)形式为
     $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\left[-i \sqrt{\frac{\pi }{2}} \delta (\lambda -1)+i \sqrt{\frac{\pi }{2}} \delta (\lambda +1)\right]e^{i\lambda x}d\lambda}$f(x)=2π​1​∫−∞∞​[−i2π​​δ(λ−1)+i2π​​δ(λ+1)]eiλxdλ
     我们化一下简得 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ -i \sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{i \cdot 1 \cdot x}+i \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{i\cdot -1 \cdot x} \right]$f(x)=2π​1​[−i2π​​ei⋅1⋅x+i2π​​ei⋅−1⋅x] 再次化简可得 $f(x)=sin(x)$f(x)=sin(x)

  注意所谓的$\delta(x)$δ(x)是个什么函数.它的定义其实很简单.他的性质如下$\delta(x)=0, x\neq 0$δ(x)=0,x​=0时$\delta(x)=\infty, x=0$δ(x)=∞,x=0.另外$\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x)f(x)dx}=f(0)$∫−∞∞​δ(x)f(x)dx=f(0).

• $f(x)=x$f(x)=x

  • 傅里叶变换得
    $\hat{f}(\lambda)=i \sqrt{2 \pi } \delta '(\lambda )$f^​(λ)=i2π​δ′(λ)

  • 那么傅里叶逆变换的完整性时为
    $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{f}(x)e^{i\lambda x}d\lambda}$f(x)=2π​1​∫−∞∞​f^​(x)eiλxdλ

    积分过程如下

    • $\int_{-\infty}^{\infty} i \delta^{\prime}(\lambda) e^{i \lambda x} d \lambda$∫−∞∞​iδ′(λ)eiλxdλ

    • $i \left[ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(\lambda)e^{i\lambda x}d\lambda}-ix \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(\lambda)e^{i\lambda x}d\lambda} \right]$i[∫−∞∞​δ(λ)eiλxdλ−ix∫−∞∞​δ(λ)eiλxdλ]

    • $i(e^{0}-ixe^{0})=x$i(e0−ixe0)=x

  • 最终结果是 $f(x)=x$f(x)=x