应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析

实验目的

1、通过这一实验，能够熟练掌握快速离散傅里叶变换FFT的原理及其用 FFT 进行频谱分析的基本方法。

2、在通过计算机上用软件实现 FFT 及信号的频谱分析。

3、通过实验对离散傅里叶变换的主要性质及 FFT 在数字信号处理中的重要作用有进一步的了解。

实验原理

离散傅里叶变换（DFT）及其主要性质DFT 表示离散信号的离散频谱，DFT 的主要性质中有奇偶对称特性，虚实特性等。通过实验可以加深理解。

DFT 定义:

应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析

实序列的 DFT 具有偶对称的实部和奇对称的虚部，即应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析。

实序列 DFT 的这个特性，在本实验中可以通过实指数序列及三角序列看出来。

对于单一频率的三角序列来说它的 DFT 谱线也是单一的，这个物理意义我们可以从实

验中得到验证。

当周期减小时显然应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析的谱只应该在k= 3及k = N-3才有分量，实验者可以通过和上述相同的步骤加以理论证明。

由于应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析与相位差，所以它的 DFT 只包括实部而没有虚部，以上这些性质可在本实验中得到验证。

2、利用 DFT 对信号进行频谱分析

DFT 的重要应用之一是对时域连续信号的频谱进行分析，称为傅里叶分析，时域连续信号离散傅里叶分析的基本步骤如图所示。

应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析

因为DFT频率间隔为应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析，且模拟频率和数字频率间的关系为，所以离散的频率函数各频率点对应的模拟频率为：。

显然频率分辨率△f为：应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析

利用DFT计算频谱，只给出频谱应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析或的频率分量，即频率的采样值，而不可能得到连续的频谱函数。

如果在两个离散的谱线之间有一个特别大的频谱分量，就无法检测出来了。

为了在保持原来回频谱形状不变的情况下，使谱线加密，即使频域采样点数增加，从而使原来看不到的频谱分量变得可以看到，可以通过在信号数据的末端补加一些零值点，使DFT 计算周期内点数增加，但又不改变原有的记录数据的方法来实现。

实验内容

1、实验前学生应认真学习《数字信号处理》中有关章节的内容，掌握快速傅里叶变换的基本原理以及如何用 FFT 等计算信号频谱。

2、编程，上机独立调试，通过程序，并打印出X(k)或应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析的值，作出|X(k)|或的曲线。

(1) 周期为 N 的正弦序列应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析，且，，求N点DFT。

(2) 矩形序列应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析，N=8；求 N 点 DFT 和 2N 点 DFT。

(3) 有一调幅信号xa(t)=[1+cos(2π×100t)]cos(2π×600t)

用 DFT 做频谱分析，要求能分辨xa(t)的所有频率分量，若用fs=3kHz频率抽样，首先分析抽样数据为 N=120 点的频谱分析，求X(k)=DFT[x(n)]，N=120点，画出X(k)的幅频特性|X(k)|，标出主要点的坐标值。其次分析抽样数据为 N=128 点的频谱分析，求X(k)=DFT[x(n)]，N=128点，画出X(k)的幅频特性|X(k)|，标出主要点的坐标值。比较上述不同长度采样点情况下的实验结果，说明利用 DFT 对连续信号进行傅里叶分析可能造成哪些误差？

实验要求

1、实验要求及实验内容

2、简述实验原理，列出实验程序清单，并附上必要的程序说明。

3、记录调试运行情况及所遇问题的解决方法。

4、记录实验结果，实验后，对结果进行分析。

思考：利用 DFT 对连续信号进行傅里叶分析可能造成哪些误差？

实验结果

周期为 N 的正弦序列，且，，求N点DFT。

程序清单

%正弦序列DFT
clear all
close all
N=32;
n=0:N-1;
xn=sin(2*pi*n/32);
XK=fft(xn,N);
magXK=abs(XK);    %幅频特性
phaXK=angle(XK);   %相频特性
k=0:length(magXK)-1;
stem(k,magXK,'.');   %信号幅频特性曲线
xlabel('k');
ylabel('|X(k)|');
title('X(k) N=32')

(2)仿真图像

应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析

(3)结果分析

从图像中可以看出，当0≤n≤N-1，N=32时，当且仅当K=1和K=31时，|X(k)|=16，其余点的|X(k)|=0。这是因为：

应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析

当k-1=0即k=1时，应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析，所以X(k)=0.5×32=16；

同理，当k+1=32即k=31时，应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析，所以X(k)=0.5×32=16。

2、矩形序列应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析，N=8；求 N 点 DFT 和 2N 点 DFT。

(1)程序清单

%矩形序列DFT
N=8;
x=[ones(1,8),zeros(1,N-8)];
n=0:N-1;
X=dft(x,N);
magX=abs(X);
phaX=angle(X)*180/pi;
k=(0:length(magX)'-1)*N/length(magX);
subplot(2,2,1);
stem(n,x);
ylabel('x(n)');
subplot(2,2,2);
stem(k,magX,'.');
axis([0,10,0,8]);   %R8(n)N点幅频曲线图
ylabel('|X(k)| of N=8');
 
N=16;
x=[ones(1,8),zeros(1,N-8)];
n=0:N-1;
X=dft(x,N);
magX=abs(X);
phaX=angle(X)*180/pi;
k=(0:length(magX)'-1)*N/length(magX);
subplot(2,2,3);
stem(n,x,'.');
ylabel('x(n)');
subplot(2,2,4);
stem(k,magX,'.');
axis([0,15,0,8]);   %R8(n)2N点幅频曲线图
ylabel('|X(k)| of N=16');
 
%%%%%%%%%%%%%%用到的函数：

function[Xk]=dft(xn,N)
n=[0:1:N-1];
k=[0:1:N-1];
WN=exp(-j*2*pi/N);
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=xn*WNnk;

仿真图像

应用快速离散傅里叶变换(FFT)对信号进行频谱分析

结果分析

N 点 DFT的幅频曲线图中，0~7这8个点，只有当k=0时|X(k)|不为零，而2N点DFT的幅频曲线则不一样。这是因为，在同一个周期内，2N点的DFT比N点DFT要多取一些点，因此原本N点DFT没有显示的点将在2N点DFT中显示出来。而且，我们可以知道，取的点越多，幅频曲线图将会越精确。

3、有一调幅信号xa(t)=[1+cos(2π×100t)]cos(2π×600t)

程序清单

N3=120;
x3=0:1:N3-1;
%xn3=(1+cos(2*pi*100*x3)).*cos(2*pi*600*x3);
xn3=cos(2*pi*600/3000*x3)+0.5*cos(2*pi*700/3000*x3)+0.5*cos(2*pi*500/3000*x3);
subplot(3,1,1);
plot(x3,xn3);title('xn3');
 
XK3=fft(xn3,N3);
XK3=abs(XK3);
subplot(3,1,2);
stem(0:length(XK3)-1,XK3,'.');
title('XK3 N=120点DFT');
 
N30=128;
x30=0:1:N30-1;
%xn30=(1+cos(2*pi*100*x30)).*cos(2*pi*600*x30);
xn30=cos(2*pi*600/3000*x30)+0.5*cos(2*pi*700/3000*x30)+0.5*cos(2*pi*500/3000*x30);
XK30=fft(xn30,2*N30);
XK30=abs(XK30);
subplot(3,1,3);
stem(0:length(XK30)-1,XK30,'.');
title('XK3  N=128点DFT');