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正交多分辨分析2

分类: 文章 • 2023-11-24 22:57:16

正交多分辨分析2

4. 正交小波的构造

在正交多分辨分析1里我们基于尺度方程和小波方程的频域形式获得了低通滤波器H(w)H(w)和带通滤波器G(w)G(w)的性质，如下：

∣H(w)∣2+∣H(w+π)∣2=1|H(w)|^{2}+|H(w+\pi)|^{2}=1 ∣G(w)∣2+∣G(w+π)∣2=1|G(w)|^{2}+|G(w+\pi)|^{2}=1 H(w)G∗(w)+H(w+π)G∗(w+π)=0H(w)G^{*}(w)+H(w+\pi)G^{*}(w+\pi)=0

可以将上述三个性质归纳为两个位于信号空间L2(0,2π)×L2(0,2π)L^{2}(0,2\pi)\times L^{2}(0,2\pi)上的两个二维正交单位向量的关系:a⃗=(H(w),H(w+π))\vec{a}=\left ( H(w),H(w+\pi)\right )和b⃗=(G(w),G(w+π))\vec{b}=\left ( G(w),G(w+\pi)\right )，其中每一个维度取值于信号空间L2(0,2π)L^{2}(0,2\pi)。

∣a⃗∣=∣b⃗∣=1|\vec{a}|=|\vec{b}|=1 a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b}换句话讲，{a⃗,b⃗}\{\vec{a},\vec{b}\}构成信号空间L2(0,2π)×L2(0,2π)L^{2}(0,2\pi)\times L^{2}(0,2\pi)上的一组O.N.B，这一点也说明了由这组基组成的矩阵为酉矩阵。M(w)=[H(w)H(w+π)G(w)G(w+π)]\bf {M}(\it w)= \left[ \begin{matrix} H(w) & H(w+\pi) \\ G(w) & G(w+\pi) \end{matrix} \right ]
由滤波器性质可以得到：M(w)M∗(w)=[1001] \bf {M}(\it w) \bf {M^{*}}(\it w)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0& 1 \end{matrix} \right ]即M(w)\bf {M}(\it w)为酉矩阵。

由上述关系，我们可以由低通滤波器H(w)H(w)构造带通滤波器G(w)G(w)，一种构造方法是令：G(w)=e−iwH^(w+π)G(w)=e^{-iw}\hat{H}(w+\pi)容易验证上述构造方法满足上述酉矩阵的要求。进而通过小波方程来构造正交小波函数，这也就是MRA理论给出的一套系统的完整的构造正交小波的方法。归纳如下：

  1. 根据MRA的理论，需要先找到一个满足({Vj,j∈Z},ϕ(t))(\{V_{j},j\in \mathbb{Z}\},\phi(t))为L2(R)L^{2}(\mathbb{R})上的一个MRA的尺度函数ϕ(t)\phi(t)。
  2. 通过ϕ(t)\phi(t)在V1V_{1}的投影序列{hn;n∈Z}:hn=∫−∞∞ϕ(t)2ϕ∗(2t−n)dt\{h_{n};n\in \mathbb{Z}\}:h_{n}=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(t)\sqrt{2}\phi^{*}(2t-n)dt
  3. 求得低通滤波器H(w):H(w)=∑n∈Z12hne−inwH(w):H(w)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{\sqrt{2}}h_{n}e^{-inw}
  4. 然后通过上述构造方式求得带通滤波器G(w):G(w)=e−iwH^(w+π)G(w):G(w)=e^{-iw}\hat{H}(w+\pi)
  5. 求得带通滤波器的脉冲响应系数序列{gn;n∈Z}:gn=∫02πG(w)12einw\{g_{n};n\in \mathbb{Z}\}:g_{n}=\int_{0}^{2\pi}G(w)\frac{1}{\sqrt{2}}e^{inw}
  6. 利用{gn;n∈Z}\{g_{n};n\in \mathbb{Z}\}和小波方程求得小波函数：ψ(t)=∑n∈Zgn2ϕ(2t−n)\psi(t)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}g_{n}\sqrt{2}\phi(2t-n)
    接下来，我们将利用这种方法来构造Haar小波。

4.1 Haar小波的构造

按照上面提到的构造步骤：

  1. 构造MRA
    首先我们要构造尺度函数ϕ(t)\phi(t)，要求{ϕ(t−n);n∈Z}\{\phi(t-n);n\in\mathbb{Z}\}构成V0V_{0}的O.N.B。即找到一组基，它的整数平移与原函数相互正交，一个最直接的例子就是门函数，表示如下：ϕ(t)=g1(t−1/2)\phi(t)=g_{1}(t-1/2)非常直观的，{ϕ(t−n);n∈Z}\{\phi(t-n);n\in\mathbb{Z}\}构成O.N.S，定义V0={f(t)∈L2(R);∀k∈Z,f(t)=Ck,when  k<t<k+1}V_{0}=\{f(t)\in L^{2}(\mathbb{R});\forall k\in\mathbb{Z},f(t)=C_{k},when\;k<t<k+1\}，根据上述空间的定义，有∀f(t)∈V0,∃{Ck;∑k∣Ck∣2<∞;k∈Z},s.t.f(t)=∑kCkϕ(t−k)\forall f(t)\in V_{0},\exist \{C_{k};\sum\limits_{k}|C_{k}|^{2}<\infty;k\in\mathbb{Z}\},s.t.f(t)=\sum\limits_{k}C_{k}\phi(t-k)这表明{ϕ(t−n);n∈Z}\{\phi(t-n);n\in\mathbb{Z}\}构成V0V_{0}的O.N.B。
    定义Vj={f(2jt);f(t)∈V0},j∈ZV_{j}=\{f(2^{j}t);f(t)\in V_{0}\},j\in\mathbb{Z}，则容易验证({Vj,j∈Z},ϕ(t))(\{V_{j},j\in \mathbb{Z}\},\phi(t))为L2(R)L^{2}(\mathbb{R})上的一个正交多分辨分析。
  2. 求序列{hn;n∈Z}\{h_{n};n\in \mathbb{Z}\}
    这里可以比较容易求得：h0=h1=12h_{0}=h_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}且满足∑n∈Z∣hn∣2=1\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}|h_{n}|^{2}=1，因此序列{hn;n∈Z}\{h_{n};n\in \mathbb{Z}\}仅包含这两项。
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  3. 获得低通滤波器
    H(w)=∑n∈Z12hne−inw=12(1+e−iw)H(w)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{\sqrt{2}}h_{n}e^{-inw}\\=\frac{1}{2}(1+e^{-iw})低通滤波器的强度谱见下图：
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  4. 获得带通滤波器
    G(w)=e−iwH^(w+π)=12(−1+e−iw)G(w)=e^{-iw}\hat{H}(w+\pi)\\=\frac{1}{2}(-1+e^{-iw})带通滤波器的强度谱见下图：
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  5. 求序列{gn;n∈Z}\{g_{n};n\in \mathbb{Z}\}
    从上式中可以直接给出{gn;n∈Z}:g0=−g1=−12\{g_{n};n\in \mathbb{Z}\}:g_{0}=-g_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}
  6. 获得小波函数
    ψ(t)=∑n∈Zgn2ϕ(2t−n)=−ϕ(2t)+ϕ(2t−1)\psi(t)=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}g_{n}\sqrt{2}\phi(2t-n)\\=-\phi(2t)+\phi(2t-1)
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