时域数据信号滑动处理（1）——滑动傅里叶变换SDFT

基本DFT变换公式：
（公式1）

然后算法优化上有FFT，即采用蝶形运算。这些可在其他网址上搜到，就不再累述。

下面主要讲一下，滑动DFT变换（SDFT）如何实现（目前网上还没有现成的，本来想自己推一遍的，后来发现有本书上有写，就稍作了一下总结。书名 《数字信号处理》[美] Richard G. Lyons 著 张建华 徐晓东 孙松林 等译）。
首先对DFT公式做了一下简单变换：
（公式2）
其中（1）m表示表示频域坐标，即对应公式1中的k;
（2）q表示第几个窗函数，即窗函数滑动了几次，q=0，1，2，3，…

ok，基本公式解释完毕，先上图理解滑动的含义

这张图是书上截图，横坐标按照时间系列顺次排列的采样点。其中（a）图上方括号表示当前时刻处理的时间窗，（b）图括号表示下一时刻要处理的时间窗。从a到b，就是在时间窗内出一个最前面的点（图中由黑点变为空心点），然后再在最后面加上一个新的点（图中由空心点变为黑点），其他点的相对位置都是不变的。令当前时刻的窗函数（a图）为第0个窗函数，即q=0，那么b图中的q就是1。
那么按照公式2的写法，任意时间窗q时，公式改写为：
（公式3）
再次变形，q时刻下一个q+1的公式为：
（公式4）
令 p=n+1，则
（公式5）

将公式5进行推导（Σ中，添加p=0项，移除p=N项）：
（公式6）
整理后得到最终迭代公式：
（公式7）

理论上，具体操作上，可以采用如下步骤计算SDFT：
（1）计算q=0的SDFT即DFT，可以自己写函数，或者调用库函数，甚至FFT
（2）在获得的频谱（复数谱）基础上，采用公式7进行迭代。
举例：
步骤（1）中获得m=0，…，9，共计10个频谱点，
第一个点就用公式7中m=0，即

如此循环10次，即可得到新的频谱图。迭代中注意去区分 频谱点X 和 时域点x 之前的区别即可。因为迭代中不会出现数字累计而后超过定义最大值（如int16，max=2^15）的问题，所以公式7直接可用。