GCC-PHAT算法

GCC-PHAT是一个计算AOA的算法。

这里的AOA是指信号入射到与阵列垂直的线的夹角。
画个图做个示意：

这里AB为两个microphone, 虚线为入射信号，这里计算AOA的前提是信号是平面波，即两个虚线是平行的。
那么AOA即为$\theta$θ, 范围为[-90,90]. 与AB垂直时，角度为0.

这里AB的距离为L，$\tau$τ 为到达时间差，c为声音速度。

假设到达两个microphone的信号为：

1. 用cross-correlation计算$\tau$τ
   
2. 计算AOA$\beta$β
   
   这里有一个问题，就是当信噪比低时用cross-correlation直接计算得到的D不是太准。那么有一种方法，就是可以用PSD去做一个weight，效果会好很多。

我们知道信号相关与PSD是一个傅里叶变换对，那么先求PSD:

1. 求PSD
   
2. normalize PSD，再做傅里叶变换得到weight后的相关
   
   3.求D
   
   实践证明这种方式效果更好。需要注意的是，这里得到的只是AOA, 并不是对于平面上的旋转角和仰角。这个角的名字叫broadside angle of arrival, 三个角中，知道两个才能求另外一个，详情可以看这里。

只有两个microphone只能求AOA，但是三个不共线的microphone就可以求其他的角度了。

对于任意一对麦克风k,j,有：

这里u是信号传播的单位向量。通过三对麦克风我们就可以求出u, 当然，如果你的麦克风数量更多，可以用最小二乘算出更精确的值；那么最后就可以求出旋转角和仰角：

这里α 是旋转角， θ 是仰角。

最后聊一下AOA的精度：
前面有

也就是说$\beta=arcsin(\frac{c\tau}{L})$β=arcsin(Lcτ​)

那么$\tau$τ最小为$\frac{1}{f}$f1​, 那么

$\beta=arcsin(\frac{c}{Lf})$β=arcsin(Lfc​)

这里取c=340m/s, L=0.065m,f=44100Hz，得到

$\beta=6.812$β=6.812°

参考：Generalized cross-correlation