信号与系统-＞基本概念
基本概念
重点框架
本课程主要研究电信号随时间变化
重要定义
分类概念
连续时间信号：信号在连续时间内都有定义（只要求定义域连续）
离散信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号
功率信号和能量信号
能量信号：能量有界，功率一定为0，离散变求和
功率信号：功率有界，E=∞，离散变求和
典型信号及阶跃、冲激、冲激偶
典型确定性信号：直流，单位斜坡，指数，正余弦，复指数，抽样
阶跃函数、冲激函数、冲击偶
ε
(
t
)
=
∫
−
∞
t
δ
(
τ
)
d
τ
δ
(
t
)
=
d
ε
(
t
)
d
t
\varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau \quad \delta(t)=\frac{d \varepsilon(t)}{d t}
ε(t)=∫−∞tδ(τ)dτδ(t)=dtdε(t)
冲激函数的取样性
δ
(
t
)
f
(
t
)
=
δ
(
t
)
f
(
0
)
∫
−
∞
+
∞
δ
(
t
)
f
(
t
)
d
t
=
f
(
0
)
\begin{array}{l} \delta(t) f(t)=\delta(t) f(0) \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) f(t) d t=f(0) \end{array}
δ(t)f(t)=δ(t)f(0)∫−∞+∞δ(t)f(t)dt=f(0)
冲激偶（冲激函数的导数）
三个重要的性质
f
(
t
)
δ
′
(
t
)
=
f
(
0
)
δ
′
(
t
)
−
f
′
(
0
)
δ
(
t
)
f(t) \delta^{\prime}(t)=f(0) \delta^{\prime}(t)-f^{\prime}(0) \delta(t)
f(t)δ′(t)=f(0)δ′(t)−f′(0)δ(t)
∫ − ∞ ∞ δ ′ ( t ) f ( t ) d t = − f ′ ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} \delta^{\prime}(t) f(t) d t=-f^{\prime}(0) ∫−∞∞δ′(t)f(t)dt=−f′(0)
∫
−
∞
t
δ
′
(
t
)
d
t
=
δ
(
t
)
\int_{-\infty}^{t} \delta^{\prime}(t) d t=\delta(t)
∫−∞tδ′(t)dt=δ(t)
比例性
δ
(
a
t
)
=
1
∣
a
∣
δ
(
t
)
\delta(a t)=\frac{1}{|a|} \delta(t)
δ(at)=∣a∣1δ(t)
题型
判断能量信号和功率信号
1).
x
(
t
)
=
{
e
−
t
,
t
≥
0
0
,
t
<
0
x(\mathrm{t})=\left\{\begin{array}{ll}e^{-t}, & t \geq 0 \\ 0, & t<0\end{array}\right.
x(t)={e−t,0,t≥0t<0
2).
x
(
n
)
=
{
1
,
n
≥
0
0
,
n
<
0
x(\mathrm{n})=\left\{\begin{array}{ll}1, & n \geq 0 \\ 0, & n<0\end{array}\right.
x(n)={1,0,n≥0n<0
1).
E
=
∫
−
∞
∞
∣
x
(
t
)
∣
2
d
t
=
∫
0
∞
e
−
2
t
d
t
=
1
2
\quad E\\ =\int_{-\infty}^{\infty}|x(\mathrm{t})|^{2} d t\\ =\int_{0}^{\infty} e^{-2 t} d t\\ =\frac{1}{2}
E=∫−∞∞∣x(t)∣2dt=∫0∞e−2tdt=21
能量信号
2).
P
=
lim
N
→
∞
1
2
N
+
1
∑
n
=
−
N
N
∣
x
(
n
)
∣
2
=
lim
N
→
∞
1
2
N
+
1
∑
n
=
0
N
1
=
lim
N
→
∞
N
+
1
2
N
+
1
=
1
2
\quad P\\ =\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2 N+1} \sum\limits_{n=-N}^{N}|x(\mathrm{n})|^{2}\\ =\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2 N+1} \sum\limits_{n=0}^{N} 1\\ =\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{N+1}{2 N+1}\\ =\frac{1}{2} \quad
P=N→∞lim2N+11n=−N∑N∣x(n)∣2=N→∞lim2N+11n=0∑N1=N→∞lim2N+1N+1=21
功率信号
方程和框图互相转化
连续系统
根据方程画框图
①左侧写激励，右侧写响应
②根据最高次数中间补对应数量的积分器，左侧补加法器
u
C
′
′
(
t
)
+
R
L
u
C
′
(
t
)
+
1
L
C
u
C
(
t
)
=
1
L
C
u
S
(
t
)
u_{C}^{\prime \prime}(t)+\frac{R}{L} u_{C}^{\prime}(t)+\frac{1}{L C} u_{C}(t)=\frac{1}{L C} u_{S}(t)
uC′′(t)+LRuC′(t)+LC1uC(t)=LC1uS(t)
y
′
′
(
t
)
+
a
y
′
(
t
)
+
b
y
(
t
)
=
c
f
(
t
)
y^{\prime \prime}(t)+a y^{\prime}(t)+b y(t)=c f(t)
y′′(t)+ay′(t)+by(t)=cf(t)
a
=
R
L
b
=
1
L
C
c
=
1
L
C
a=\frac{R}{L} \quad b=\frac{1}{L C} \quad c=\frac{1}{L C}
a=LRb=LC1c=LC1
y
′
′
(
t
)
=
−
a
y
′
(
t
)
−
b
y
(
t
)
+
c
f
(
t
)
y^{\prime \prime}(t)=-a y^{\prime}(t)-b y(t)+c f(t)
y′′(t)=−ay′(t)−by(t)+cf(t)
根据框图画方程
①设置中间变量，左边高次，右边低次
②列写两个加法器
左边加法器
x
′
′
(
t
)
=
−
a
2
x
′
(
t
)
−
a
1
x
(
t
)
+
f
(
t
)
x^{\prime \prime}(t)=-a_{2} x^{\prime}(t)-a_{1} x(t)+f(t)
x′′(t)=−a2x′(t)−a1x(t)+f(t)
x
′
′
(
t
)
+
a
2
x
′
(
t
)
+
a
1
x
(
t
)
=
f
(
t
)
x^{\prime \prime}(t)+a_{2} x^{\prime}(t)+a_{1} x(t)=f(t)
x′′(t)+a2x′(t)+a1x(t)=f(t)
右边加法器
y
(
t
)
=
b
2
x
′
′
(
t
)
+
b
1
x
′
(
t
)
+
x
(
t
)
a
1
y
(
t
)
=
b
2
a
1
x
′
′
(
t
)
+
b
1
a
1
x
′
(
t
)
+
a
1
x
(
t
)
a
2
y
′
(
t
)
=
b
2
(
a
2
x
′
′
(
t
)
)
′
+
b
1
(
a
2
x
′
(
t
)
)
′
+
a
2
x
′
(
t
)
y
′
′
(
t
)
=
b
2
(
x
′
′
(
t
)
)
′
′
+
b
1
(
x
′
(
t
)
)
′
′
+
x
′
′
(
t
)
y(t)=b_{2} x^{\prime \prime}(t)+b_{1} x^{\prime}(t)+x(t)\\ a_{1} y(t)=b_{2} a_{1} x^{\prime \prime}(t)+b_{1} a_{1} x^{\prime}(t)+a_{1} x(t) \\ a_{2} y^{\prime}(t) =b_{2}\left(a_{2} x^{\prime \prime}(t)\right)^{\prime}+b_{1}\left(a_{2} x^{\prime}(t)\right)^{\prime}+a_{2} x^{\prime}(t) \\ y^{\prime \prime}(t) =b_{2}\left(x^{\prime \prime}(t)\right)^{\prime \prime}+b_{1}\left(x^{\prime}(t)\right)^{\prime \prime}+x^{\prime \prime}(t)
y(t)=b2x′′(t)+b1x′(t)+x(t)a1y(t)=b2a1x′′(t)+b1a1x′(t)+a1x(t)a2y′(t)=b2(a2x′′(t))′+b1(a2x′(t))′+a2x′(t)y′′(t)=b2(x′′(t))′′+b1(x′(t))′′+x′′(t)
y
′
′
(
t
)
+
a
2
y
′
(
t
)
+
a
1
y
(
t
)
=
b
2
(
x
′
′
(
t
)
+
a
2
x
′
(
t
)
+
a
1
x
(
t
)
)
′
′
+
b
1
(
x
′
′
(
t
)
+
a
2
x
′
(
t
)
+
a
1
x
(
t
)
)
′
+
x
′
′
(
t
)
+
a
2
x
′
(
t
)
+
a
1
x
(
t
)
=
b
2
f
′
′
(
t
)
+
b
1
f
′
(
t
)
+
f
(
t
)
y^{\prime \prime}(t)+a_{2} y^{\prime}(t)+a_{1} y(t) \\ =b_{2}(x^{\prime \prime}(t)+a_{2} x^{\prime}(t)+a_{1} x(t))^{\prime \prime}+b_{1}\left(x^{\prime \prime}(t)+a_{2} x^{\prime}(t)+a_{1} x(t)\right)^{\prime}+x^{\prime \prime}(t)+a_{2} x^{\prime}(t)+a_{1} x(t)\\ =b_{2} f^{\prime \prime}(t)+b_{1} f^{\prime}(t)+f(t)
y′′(t)+a2y′(t)+a1y(t)=b2(x′′(t)+a2x′(t)+a1x(t))′′+b1(x′′(t)+a2x′(t)+a1x(t))′+x′′(t)+a2x′(t)+a1x(t)=b2f′′(t)+b1f′(t)+f(t)
最终结果
y
′
′
(
t
)
+
a
2
y
′
(
t
)
+
a
1
y
(
t
)
=
b
2
f
′
′
(
t
)
+
b
1
f
′
(
t
)
+
f
(
t
)
y^{\prime \prime}(t)+a_{2} y^{\prime}(t)+a_{1} y(t) =b_{2} f^{\prime \prime}(t)+b_{1} f^{\prime}(t)+f(t)
y′′(t)+a2y′(t)+a1y(t)=b2f′′(t)+b1f′(t)+f(t)
离散系统
y
(
k
)
−
(
1
+
a
−
b
)
y
(
k
−
1
)
=
f
(
k
)
y(k)-(1+a-b) y(k-1)=f(k)
y(k)−(1+a−b)y(k−1)=f(k)
左边加法器
x
(
k
)
=
f
(
k
)
−
a
2
x
(
k
−
1
)
−
a
1
x
(
k
−
2
)
x(k)=f(k)-a_{2} x(k-1)-a_{1} x(k-2)
x(k)=f(k)−a2x(k−1)−a1x(k−2)
f
(
k
)
=
x
(
k
)
+
a
2
x
(
k
−
1
)
+
a
1
x
(
k
−
2
)
f(k)=x(k)+a_{2} x(k-1)+a_{1} x(k-2)
f(k)=x(k)+a2x(k−1)+a1x(k−2)
右边加法器
y
(
k
)
=
b
1
x
(
k
)
+
x
(
k
−
2
)
\mathrm{y}(\mathrm{k})=b_{1} \mathrm{x}(\mathrm{k})+\mathrm{x}(\mathrm{k}-2)
y(k)=b1x(k)+x(k−2)
a
2
y
(
k
−
1
)
=
b
1
a
2
x
(
k
−
1
)
+
a
2
x
(
k
−
3
)
a_{2} y(k-1)=b_{1} a_{2} x(k-1)+a_{2} x(k-3)
a2y(k−1)=b1a2x(k−1)+a2x(k−3)
a
1
y
(
k
−
2
)
=
b
1
a
1
x
(
k
−
2
)
+
a
1
x
(
k
−
4
)
a_{1} y(k-2)=b_{1} a_{1} x(k-2)+a_{1} x(k-4)
a1y(k−2)=b1a1x(k−2)+a1x(k−4)
y
(
k
)
+
a
2
y
(
k
−
1
)
+
a
1
y
(
k
−
2
)
=
b
1
[
x
(
k
)
+
a
2
x
(
k
−
1
)
+
a
1
x
(
k
−
2
)
]
+
[
x
(
k
−
2
)
+
a
2
x
(
k
−
3
)
+
a
1
x
(
k
−
4
)
]
=
b
1
f
(
k
)
+
f
(
k
−
2
)
y(k)+a_{2} y(k-1)+a_{1} y(k-2)\\ =b_{1}\left[x(k)+a_{2} x(k-1)+a_{1} x(k-2)\right]+\left[x(k-2)+a_{2} x(k-3)+a_{1} x(k-4)\right]\\ =b_{1} f(k)+f(k-2)
y(k)+a2y(k−1)+a1y(k−2)=b1[x(k)+a2x(k−1)+a1x(k−2)]+[x(k−2)+a2x(k−3)+a1x(k−4)]=b1f(k)+f(k−2)
y
(
k
)
+
a
2
y
(
k
−
1
)
+
a
1
y
(
k
−
2
)
=
b
1
f
(
k
)
+
f
(
k
−
2
)
y(k)+a_{2} y(k-1)+a_{1} y(k-2)=b_{1} f(k)+f(k-2)
y(k)+a2y(k−1)+a1y(k−2)=b1f(k)+f(k−2)
判断线性系统
1.判断分解特性（写出两种输入相加）
2.判断零状态响应，零输入响应线性特征
(
1
)
y
(
t
)
=
f
(
t
)
+
3
x
(
0
)
f
(
t
)
+
6
x
(
0
)
+
5
(
2
)
y
(
t
)
=
5
∣
f
(
t
)
∣
+
6
x
(
0
)
\begin{array}{ll}(1) y(t)=f(t)+3 x(0) f(t)+6 x(0)+5 & (2) y(t)=5|f(t)|+6 x(0)\end{array}
(1)y(t)=f(t)+3x(0)f(t)+6x(0)+5(2)y(t)=5∣f(t)∣+6x(0)
(3)
y
(
k
)
=
7
f
(
k
)
+
2
x
(
0
)
2
y(k)=7 f(k)+2 x(0)^{2}
y(k)=7f(k)+2x(0)2
（1）
y
z
i
(
t
)
=
6
x
(
0
)
+
5
y
z
s
(
t
)
=
f
(
t
)
+
5
y
(
t
)
≠
y
z
i
(
t
)
+
y
z
s
(
t
)
y_{z i}(t)=6 x(0)+5 \quad y_{z s}(t)=f(t)+5 \quad y(t) \neq y_{z i}(t)+y_{z s}(t) \quad
yzi(t)=6x(0)+5yzs(t)=f(t)+5y(t)=yzi(t)+yzs(t) 不满足分解特性，非线性系统
（2）
y
z
i
(
t
)
=
6
x
(
0
)
y
z
s
(
t
)
=
5
∣
f
(
t
)
∣
y
(
t
)
=
y
z
i
(
t
)
+
y
z
s
(
t
)
\begin{array}{lll}\text {} y_{z i}(t)=6 x(0) & y_{z s}(t)=5|f(t)| & y(t)=y_{z i}(t)+y_{z s}(t) & \text { }\end{array}
yzi(t)=6x(0)yzs(t)=5∣f(t)∣y(t)=yzi(t)+yzs(t) 满足分解特性
T
[
{
0
}
,
{
a
f
(
t
)
}
]
=
5
∣
a
f
(
t
)
∣
≠
a
y
z
s
(
t
)
T[\{0\},\{a f(t)\}]=5|a f(t)| \neq a y_{z s}(t) \quad
T[{0},{af(t)}]=5∣af(t)∣=ayzs(t) 不满足零状态响应线性特征, 非线性系统
（3）
y
z
i
(
t
)
=
2
x
(
0
)
2
y
z
s
(
t
)
=
7
f
(
k
)
y
(
t
)
=
y
z
i
(
t
)
+
y
z
s
(
t
)
\begin{array}{lll}\text { } y_{z i}(t)=2 x(0)^{2} & y_{z s}(t)=7 f(k) & y(t)=y_{z i}(t)+y_{z s}(t) & \text { }\end{array}
yzi(t)=2x(0)2yzs(t)=7f(k)y(t)=yzi(t)+yzs(t) 满足分解特性
T
[
{
a
x
(
0
)
}
,
{
0
}
]
=
2
(
a
x
(
0
)
)
2
≠
a
y
z
i
(
t
)
T[\{a x(0)\},\{0\}]=2(a x(0))^{2} \neq a y_{z i}(t) \quad
T[{ax(0)},{0}]=2(ax(0))2=ayzi(t) 不满足零输入响应线性特征, 非线性系统
判断时变系统
若激励之前有变系数, 或反转、展缩变换, 则系统为时变系统
1.输入激励
2.从响应式子中做周期推移
(
1
)
y
z
s
(
t
)
=
f
(
t
)
f
(
t
−
5
)
(
2
)
y
z
s
(
k
)
=
k
f
(
k
−
2
)
(
3
)
y
z
s
(
k
)
=
f
(
−
k
)
(
4
)
y
z
s
(
k
)
=
f
(
3
k
)
(1) y_{z s}(t)=f(t) f(t-5)(2) y_{z s}(k)=k f(k-2)(3) y_{z s}(k)=f(-k)(4) y_{z s}(k)=f(3 k)
(1)yzs(t)=f(t)f(t−5)(2)yzs(k)=kf(k−2)(3)yzs(k)=f(−k)(4)yzs(k)=f(3k)
(1)
令
g
(
t
)
=
f
(
t
−
t
d
)
,
令g(t)=f\left(t-t_{d}\right),
令g(t)=f(t−td), 则
T
[
{
0
}
,
{
g
(
t
)
}
]
=
g
(
t
)
g
(
t
−
5
)
=
f
(
t
−
t
d
)
f
(
t
−
t
d
−
5
)
T[\{0\},\{g(t)\}]=g(t) g(t-5)=f\left(t-t_{d}\right) f\left(t-t_{d}-5\right)
T[{0},{g(t)}]=g(t)g(t−5)=f(t−td)f(t−td−5)
y
z
s
(
t
−
t
d
)
=
f
(
t
−
t
d
)
f
(
t
−
t
d
−
5
)
T
[
{
0
}
,
{
f
(
t
−
t
d
)
}
]
=
y
z
s
(
t
−
t
d
)
y_{z s}\left(t-t_{d}\right)=f\left(t-t_{d}\right) f\left(t-t_{d}-5\right) T\left[\{0\},\left\{f\left(t-t_{d}\right)\right\}\right]=y_{z s}\left(t-t_{d}\right)
yzs(t−td)=f(t−td)f(t−td−5)T[{0},{f(t−td)}]=yzs(t−td) 所以是时不变系统
(2)
令
g
(
k
)
=
f
(
k
−
k
d
)
,
{\text { 令}} g(k)=f\left(k-k_{d}\right),
令g(k)=f(k−kd), 则
T
[
{
0
}
,
{
g
(
k
)
}
]
=
k
g
(
k
−
2
)
=
k
f
(
k
−
k
d
−
2
)
T[\{0\},\{g(k)\}]=k g(k-2)=k f\left(k-k_{d}-2\right)
T[{0},{g(k)}]=kg(k−2)=kf(k−kd−2)
y
z
s
(
k
−
k
d
)
=
(
k
−
k
d
)
f
(
k
−
k
d
−
2
)
T
[
{
0
}
,
{
f
(
k
−
k
d
)
}
]
≠
y
z
s
(
k
−
k
d
)
y_{z s}\left(k-k_{d}\right)=\left(k-k_{d}\right) f\left(k-k_{d}-2\right) T\left[\{0\},\left\{f\left(k-k_{d}\right)\right\}\right] \neq y_{z s}\left(k-k_{d}\right)
yzs(k−kd)=(k−kd)f(k−kd−2)T[{0},{f(k−kd)}]=yzs(k−kd) 所以是时变系统
(3)
令
g
(
k
)
=
f
(
k
−
k
d
)
,
令 g(k)=f\left(k-k_{d}\right), \quad
令g(k)=f(k−kd), 则
T
[
{
0
}
,
{
g
(
k
)
}
]
=
g
(
−
k
)
=
f
(
−
k
−
k
d
)
T[\{0\},\{g(k)\}]=g(-k)=f\left(-k-k_{d}\right)
T[{0},{g(k)}]=g(−k)=f(−k−kd)
y
z
s
(
k
−
k
d
)
=
f
(
−
(
k
−
k
d
)
)
T
[
{
0
}
,
{
f
(
k
−
k
d
)
}
]
≠
y
z
s
(
k
−
k
d
)
y_{z s}\left(k-k_{d}\right)=f\left(-\left(k-k_{d}\right)\right) \quad T\left[\{0\},\left\{f\left(k-k_{d}\right)\right\}\right] \neq y_{z s}\left(k-k_{d}\right)
yzs(k−kd)=f(−(k−kd))T[{0},{f(k−kd)}]=yzs(k−kd)
所以是时变系统
(4)
令
g
(
k
)
=
f
(
k
−
k
d
)
,
令g(k)=f\left(k-k_{d}\right),
令g(k)=f(k−kd), 则
T
[
{
0
}
,
{
g
(
k
)
}
]
=
g
(
3
k
)
=
f
(
3
k
−
k
d
)
T[\{0\},\{g(k)\}]=g(3 k)=f\left(3 k-k_{d}\right)
T[{0},{g(k)}]=g(3k)=f(3k−kd)
y
z
s
(
k
−
k
d
)
=
f
(
3
(
k
−
k
d
)
)
T
[
{
0
}
,
{
f
(
k
−
k
d
)
}
]
≠
y
z
s
(
k
−
k
d
)
y_{z s}\left(k-k_{d}\right)=f\left(3\left(k-k_{d}\right)\right) \quad T\left[\{0\},\left\{f\left(k-k_{d}\right)\right\}\right] \neq y_{z s}\left(k-k_{d}\right) \quad
yzs(k−kd)=f(3(k−kd))T[{0},{f(k−kd)}]=yzs(k−kd) 所以是时变系统
判断因果系统
1.令
t
<
t
0
时
f
(
t
)
=
0
t<t_{0}时f{(t})=0
t<t0时f(t)=0
2.将
t
0
t_0
t0代入式中
若
t
<
t
0
(
t<t_{0}\left(\right.
t<t0( 或
k
<
k
0
)
\left.k<k_{0}\right)
k<k0) 时,
\quad
激励
f
(
t
)
(
f(\mathrm{t}) \quad(
f(t)( 或
f
(
k
)
)
=
0
,
f(\mathrm{k}))=0,
f(k))=0, 则当
t
<
t
0
(
t<t_{0} \quad\left(\right.
t<t0( 或
k
<
k
0
)
\left.k<k_{0}\right)
k<k0) 时,
y
z
s
(
t
)
=
0
(
\mathrm{y}_{\mathrm{zs}}(\mathrm{t})=0\left(\right.
yzs(t)=0( 或
y
z
s
(
k
)
=
0
)
\left.\mathrm{y}_{\mathrm{zs}}(\mathrm{k})=0\right)
yzs(k)=0)
(1)
y
z
s
(
t
)
=
f
(
t
−
1
)
y_{z s}(t)=f(t-1)
yzs(t)=f(t−1)
(2)
y
z
s
(
t
)
=
f
(
t
+
1
)
y_{z s}(t)=f(t+1)
yzs(t)=f(t+1)
(3)
y
z
s
(
t
)
=
f
(
2
t
)
y_{z s}(t)=f(2 t)
yzs(t)=f(2t)
(1) 若
t
<
t
0
时,
f
(
t
)
=
0
,
有
y
z
s
(
t
0
)
=
f
(
t
0
−
1
)
=
0
,
是因果系统
\begin{array}{ll}\text { (1) 若 } t<t_{0} \text { 时, } f(\mathrm{t})=0, & \text { 有 } \mathrm{y}_{\mathrm{zs}}\left(\mathrm{t}_{0}\right)=f\left(\mathrm{t}_{0}-1\right)=0, \text { 是因果系统 }\end{array}
(1) 若 t<t0 时, f(t)=0, 有 yzs(t0)=f(t0−1)=0, 是因果系统
(2) 若
t
<
t
0
时,
f
(
t
)
=
0
,
有
y
z
s
(
t
0
)
=
f
(
t
0
+
1
)
≠
0
,
是非因果系统
\begin{array}{ll}\text { (2) 若 } t<t_{0} \text { 时, } f(\mathrm{t})=0, & \text { 有 } \mathrm{y}_{\mathrm{zs}}\left(\mathrm{t}_{0}\right)=f\left(\mathrm{t}_{0}+1\right) \neq 0, \text { 是非因果系统 }\end{array}
(2) 若 t<t0 时, f(t)=0, 有 yzs(t0)=f(t0+1)=0, 是非因果系统
(3) 若
t
<
t
0
时,
f
(
t
)
=
0
,
有y
z
s
(
t
0
)
=
f
(
2
t
0
)
≠
0
,
是非因果系统
\begin{array}{ll}\text { (3) 若 } t<t_{0} \text { 时, } f(\mathrm{t})=0, & \text { 有y }_{\mathrm{zs}}\left(\mathrm{t}_{0}\right)=f\left(2\mathrm{t}_{0}\right) \neq 0, \text { 是非因果系统 }\end{array}
(3) 若 t<t0 时, f(t)=0, 有y zs(t0)=f(2t0)=0, 是非因果系统 （因为是
1
2
t
0
到
t
0
之
间
\frac{1}{2}t_0到t_0之间
21t0到t0之间?）
查缺补漏
信号
信号的定义
信号是信息的物理表现和传偷載体，它一般是一种随时间变化而变化的物理量. 根据物理属性，信号可以分为电信号和非电信号。
电信号：随时间变化的电压或电流.
电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程主要讨论电信号，简称为信号。
信号的描述方法：
（1）数学函数表达式
（2）图形表达形式
按实际用途划分
电视信号
雷达信号
控制信号
通信信号
广播信号
按时间特性分为：
一维信号和多维信号
确定信号和随机信号
连续信号和离散信号
庄期信号和非周期信号
实信号和复信号
能量信号和功率信号
一维信号： 只由一个自变量描述的信号， 如语音信号
多维信号： 由多个自变量描述的信号， 如图徽信号
确定性信号
可用确定的时间函数表示的信号。
随机信号
取值具有未可预知的不确定性信号。
伪随机信号
看似随机但却道循一定规律的信号 ( 如伪随机码 )
连续时间信号 : 信号在连续时间内都有定义
用t表示连续时间变量
这里的 "连续” 指函数的定义域 - 时间是连续的，并不要求值域也连续，即信号可含间断点。
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。
周期信号
定义在
(
−
∞
,
∞
)
(-\infty, \infty)
(−∞,∞) 区间
,
,
, 每隔一定时间T (或整数
N
\mathrm{N}
N )，按相同规律重复变化的信号。
f
(
n
)
=
f
(
t
+
n
T
)
,
n
=
0
,
±
1
,
±
2
,
…
f
(
k
)
=
f
(
k
+
n
N
)
,
n
=
0
,
±
1
,
±
2
,
…
f(n)=f(t+n T), \quad n=0,\pm 1,\pm 2, \ldots\\ f(k)=f(k+n N), \quad n=0,\pm 1,\pm 2, \ldots
f(n)=f(t+nT),n=0,±1,±2,…f(k)=f(k+nN),n=0,±1,±2,…
满足上述关系的最小T（或整数N）称为该信号的周期。
非周期信号
不具有周期性的信号称为非周期信号。
能量信号和功率信号
连续信号下
给定信号
f
(
t
)
,
\mathrm{f}(\mathrm{t}),
f(t), 若其施加于
1
Ω
1 \Omega
1Ω 电阻上，它所消耗的瞬时功率为
∣
f
(
t
)
∣
2
,
|f(\mathrm{t})|^{2},
∣f(t)∣2, 则该信号在区间
(
−
∞
,
∞
)
(-\infty, \infty)
(−∞,∞) 的能量和平均功率定义如下
信号的能量
E
=
∫
−
∞
∞
∣
f
(
t
)
∣
2
d
t
\quad E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(\mathrm{t})|^{2} d t
E=∫−∞∞∣f(t)∣2dt
信号的功率
P
=
lim
T
→
+
∞
1
T
∫
−
T
/
2
T
/
2
∣
f
(
t
)
∣
2
d
t
\mathrm{P}=\lim\limits_{T \rightarrow+\infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2}|f(\mathrm{t})|^{2} d t
P=T→+∞limT1∫−T/2T/2∣f(t)∣2dt
能量信号
若
E
<
∞
,
E<\infty,
E<∞, 即信号的能量有界，则称信号
f
(
t
)
f(t)
f(t) 为能量信号。此时
p
=
0
p=0
p=0
功率信号
若
P
<
∞
P<\infty
P<∞, 即信号的功率有界，则称信号
f
(
t
)
f(t)
f(t) 为功率信号。此时
E
=
∞
E=\infty
E=∞
离散信号下
能量
E
=
∑
∣
f
(
k
)
∣
2
E=\sum|f(\mathrm{k})|^{2}
E=∑∣f(k)∣2
功率
P
=
lim
N
→
+
∞
1
N
∑
k
=
−
N
/
2
N
/
2
∣
f
(
k
)
∣
2
\mathrm{P}=\lim \limits_{N \rightarrow+\infty} \frac{1}{N} \sum_{k=-N / 2}^{N / 2}|f(\mathrm{k})|^{2}
P=N→+∞limN1∑k=−N/2N/2∣f(k)∣2
能量信号: 若
E
<
∞
,
E<\infty,
E<∞, 则为能量信号
功率信号: 若
P
<
∞
,
P<\infty,
P<∞, 则为功率信号
几种典型确定性信号
确定性信号：可用确定的时间函数表示的信号。
1.直流信号
x
(
t
)
=
C
,
−
∞
<
t
<
∞
x(t)=C, \quad-\infty<t<\infty
x(t)=C,−∞<t<∞
2.单位斜坡信号
单位指的是斜率为1
R
(
t
)
=
{
t
t
>
0
0
t
<
0
R(t)=\left\{\begin{array}{ll}t & t>0 \\ 0 & t<0\end{array}\right.
R(t)={t0t>0t<0
3.指数信号
双边指数信号
x
(
t
)
=
A
e
−
a
t
x(\mathrm{t})=A e^{-\mathrm{at}}
x(t)=Ae−at
单边指数信号
x
(
t
)
=
{
A
e
−
a
t
,
t
>
0
0
,
t
<
0
x(\mathrm{t})=\left\{\begin{array}{ll}A e^{-\mathrm{at}}, & t>0 \\ 0, & t<0\end{array}\right.
x(t)={Ae−at,0,t>0t<0
4.正余弦信号
x
(
t
)
=
A
cos
(
w
t
+
θ
)
=
A
cos
[
w
(
t
−
t
0
)
]
=
A
sin
w
t
+
θ
+
π
2
\quad x(\mathrm{t})\\ =A \cos (w t+\theta)\\ =A \cos [w(t-t_{0})] \\ =A \sin w t+\theta+\frac{\pi}{2}
x(t)=Acos(wt+θ)=Acos[w(t−t0)]=Asinwt+θ+2π
振幅：
A
A
A
周期
：
T
=
2
π
w
=
1
f
： T=\frac{2 \pi}{w}=\frac{1}{f}
：T=w2π=f1
频率：
f
f
f
角频率
：
w
=
2
π
f
： w=2 \pi f
：w=2πf
初相：
θ
\theta
θ
5.复指数信号
x
(
t
)
=
A
e
s
t
;
s
=
σ
+
j
w
=
A
e
σ
t
e
j
w
t
=
A
e
σ
t
(
cos
(
w
t
)
+
j
sin
(
w
t
)
)
讨论
:
[
σ
=
0
,
w
=
0
,
直流
σ
>
0
,
w
=
0
升指数信号
σ
<
0
,
w
=
0
衰减指数信号
σ
=
0
,
w
≠
0
,
等幅振荡
σ
>
0
,
w
≠
0
,
增幅振荡
σ
<
0
,
w
≠
0
,
衰减振荡
\begin{aligned} x(\mathrm{t})=& A \mathrm{e}^{s t} ; \quad s=\sigma+j w \\=& A e^{\sigma t} e^{j w t} \\=& A e^{\sigma t}(\cos (w t)+j \sin (w t)) \\ \text { 讨论 }: &\left[\begin{array}{ll}\sigma=0, w=0, & \text { 直流 } \\ \sigma>0, w=0 & \text { 升指数信号 } \\ \sigma<0, w=0 & \text { 衰减指数信号 } \\ \sigma=0, w \neq 0, & \text { 等幅振荡 } \\ \sigma>0, w \neq 0, & \text { 增幅振荡 } \\ \sigma<0, w \neq 0, & \text { 衰减振荡 }\end{array}\right.\end{aligned}
x(t)=== 讨论 :Aest;s=σ+jwAeσtejwtAeσt(cos(wt)+jsin(wt))⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡σ=0,w=0,σ>0,w=0σ<0,w=0σ=0,w=0,σ>0,w=0,σ<0,w=0, 直流 升指数信号 衰减指数信号 等幅振荡 增幅振荡 衰减振荡
6.抽样信号
x
(
t
)
=
S
a
(
t
)
=
sin
t
t
x(t)=S a(\mathrm{t})=\frac{\sin t}{t}
x(t)=Sa(t)=tsint
7.阶跃函数（冲激函数的积分）
单位阶跃函数
ε
(
t
)
=
{
0
,
t
<
0
0.5
,
t
=
0
1
,
t
>
0
\varepsilon(t)=\left\{\begin{array}{c}0, t<0 \\ 0.5, t=0 \\ 1, t>0\end{array}\right.
ε(t)=⎩⎨⎧0,t<00.5,t=01,t>0
对于t=0点不同学校定义可能不同，但无关紧要，阶跃函数可以变化出很多变种
8.冲激函数/狄拉克δ函数（阶跃函数的导数）
δ
(
t
)
=
0
,
t
≠
0
∫
−
∞
+
∞
δ
(
t
)
d
t
=
∫
0
−
0
+
δ
(
t
)
d
t
=
1
\delta(t)=0, t \neq 0 \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) d t=\int_{0_{-}}^{0_{+}} \delta(t) d t=1
δ(t)=0,t=0∫−∞+∞δ(t)dt=∫0−0+δ(t)dt=1
函数值只在
t
=
0
t=0
t=0 时不为零
积分面积为1
t=0时
,
δ
(
t
)
→
∞
,
, \delta(t) \rightarrow \infty,
,δ(t)→∞, 为无界函数。
ε
(
t
)
=
∫
−
∞
t
δ
(
τ
)
d
τ
δ
(
t
)
=
d
ε
(
t
)
d
t
\varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau \quad \delta(t)=\frac{d \varepsilon(t)}{d t}
ε(t)=∫−∞tδ(τ)dτδ(t)=dtdε(t)
阶跃函数组成的函数求导，只在台阶处有值，且正负与台阶上升还是下降有关
冲激函数的性质
如果
f
(
t
)
f(t)
f(t) 在
t
=
0
t=0
t=0 处连续，且处处有界，则有
δ
(
t
)
f
(
t
)
=
δ
(
t
)
f
(
0
)
∫
−
∞
+
∞
δ
(
t
)
f
(
t
)
d
t
=
f
(
0
)
\begin{array}{l} \delta(t) f(t)=\delta(t) f(0) \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) f(t) d t=f(0) \end{array}
δ(t)f(t)=δ(t)f(0)∫−∞+∞δ(t)f(t)dt=f(0)
同理可得：
f
(
t
)
δ
(
t
−
t
0
)
=
f
(
t
0
)
δ
(
t
−
t
0
)
f(t) \delta\left(t-t_{0}\right)=f\left(t_{0}\right) \delta\left(t-t_{0}\right)
f(t)δ(t−t0)=f(t0)δ(t−t0)
∫ − ∞ + ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = f ( t 0 ) \int_{-\infty}^{+\infty} \delta\left(t-t_{0}\right) f(t) d t=f\left(t_{0}\right) ∫−∞+∞δ(t−t0)f(t)dt=f(t0)
冲激偶
三个重要的性质
f ( t ) δ ′ ( t ) = f ( 0 ) δ ′ ( t ) − f ′ ( 0 ) δ ( t ) f(t) \delta^{\prime}(t)=f(0) \delta^{\prime}(t)-f^{\prime}(0) \delta(t) f(t)δ′(t)=f(0)δ′(t)−f′(0)δ(t)
∫ − ∞ ∞ δ ′ ( t ) f ( t ) d t = − f ′ ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} \delta^{\prime}(t) f(t) d t=-f^{\prime}(0) ∫−∞∞δ′(t)f(t)dt=−f′(0)
∫ − ∞ t δ ′ ( t ) d t = δ ( t ) \int_{-\infty}^{t} \delta^{\prime}(t) d t=\delta(t) ∫−∞tδ′(t)dt=δ(t)
推导如下
f
(
t
)
δ
′
(
t
)
=
f
(
0
)
δ
′
(
t
)
−
f
′
(
0
)
δ
(
t
)
[
f
(
t
)
δ
(
t
)
]
′
=
f
(
t
)
δ
′
(
t
)
+
f
′
(
t
)
δ
(
t
)
f
(
t
)
δ
′
(
t
)
=
[
f
(
t
)
δ
(
t
)
]
′
−
f
′
(
t
)
δ
(
t
)
=
f
(
0
)
δ
′
(
t
)
−
f
′
(
0
)
δ
(
t
)
∫
−
∞
∞
δ
′
(
t
)
f
(
t
)
d
t
=
−
f
′
(
0
)
∫
−
∞
∞
δ
′
(
t
)
f
(
t
)
d
t
=
f
(
t
)
δ
(
t
)
∣
−
∞
∞
−
∫
−
∞
∞
f
′
(
t
)
δ
(
t
)
d
t
=
−
f
′
(
0
)
∫
−
∞
t
δ
′
(
t
)
d
t
=
δ
(
t
)
\begin{array}{c} f(t) \delta^{\prime}(t)=f(0) \delta^{\prime}(t)-f^{\prime}(0) \delta(t) \\ {[f(t) \delta(t)]^{\prime}=f(t) \delta^{\prime}(t)+f^{\prime}(t) \delta(t) \quad f(t) \delta^{\prime}(t)=[f(t) \delta(t)]^{\prime}-f^{\prime}(t) \delta(t)=f(0) \delta^{\prime}(t)-f^{\prime}(0) \delta(t)} \\ \int_{-\infty}^{\infty} \delta^{\prime}(t) f(t) d t=-f^{\prime}(0) \\ \int_{-\infty}^{\infty} \delta^{\prime}(t) f(t) d t=\left.f(t) \delta(t)\right|_{-\infty} ^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(t) \delta(t) d t=-f^{\prime}(0) \\ \int_{-\infty}^{t} \delta^{\prime}(t) d t=\delta(t) \end{array}
f(t)δ′(t)=f(0)δ′(t)−f′(0)δ(t)[f(t)δ(t)]′=f(t)δ′(t)+f′(t)δ(t)f(t)δ′(t)=[f(t)δ(t)]′−f′(t)δ(t)=f(0)δ′(t)−f′(0)δ(t)∫−∞∞δ′(t)f(t)dt=−f′(0)∫−∞∞δ′(t)f(t)dt=f(t)δ(t)∣−∞∞−∫−∞∞f′(t)δ(t)dt=−f′(0)∫−∞tδ′(t)dt=δ(t)
比例性质
δ ( a t ) = 1 ∣ a ∣ δ ( t ) \delta(a t)=\frac{1}{|a|} \delta(t) δ(at)=∣a∣1δ(t)
证明过程如下
p
(
t
)
\mathrm{p}(\mathrm{t})
p(t) 面积为1
,
δ
(
t
)
, \quad \delta(t)
,δ(t) 强度为1
p
(
a
t
)
\mathrm{p}(\mathrm{at})
p(at) 面积为
1
∣
a
∣
,
δ
(
a
t
)
\frac{1}{|a|}, \quad \delta(a t)
∣a∣1,δ(at) 强度为
1
∣
a
∣
\frac{1}{|a|}
∣a∣1
τ
→
0
\tau \rightarrow 0
τ→0 时
,
p
(
t
)
→
δ
(
t
)
,
p
(
a
t
)
→
1
∣
a
∣
δ
(
t
)
, p(t) \rightarrow \delta(t), p(a t) \rightarrow \frac{1}{|a|} \delta(t)
,p(t)→δ(t),p(at)→∣a∣1δ(t)
单位阶跃和单位脉冲序列
ε
(
k
)
=
{
1
,
k
≥
0
0
,
k
<
0
\varepsilon(k)=\left\{\begin{array}{l}1, k \geq 0 \\ 0, k<0\end{array}\right.
ε(k)={1,k≥00,k<0
δ
(
k
)
=
ε
(
k
)
−
ε
(
k
−
1
)
\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)
δ(k)=ε(k)−ε(k−1)
ε
(
k
)
=
∑
i
=
−
∞
k
δ
(
i
)
\varepsilon(k)=\sum_{i=-\infty}^{k} \delta(i)
ε(k)=∑i=−∞kδ(i)
δ
(
k
)
=
{
1
,
k
=
0
0
,
k
≠
0
\delta(k)=\left\{\begin{array}{l}1, k=0 \\ 0, k \neq 0\end{array}\right.
δ(k)={1,k=00,k=0
δ
(
k
)
f
(
k
)
=
δ
(
k
)
f
(
0
)
\delta(k) f(k)=\delta(k) f(0)
δ(k)f(k)=δ(k)f(0)
f
(
k
)
δ
(
k
−
k
0
)
=
f
(
k
0
)
δ
(
k
−
k
0
)
f(k) \delta\left(k-k_{0}\right)=f\left(k_{0}\right) \delta\left(k-k_{0}\right)
f(k)δ(k−k0)=f(k0)δ(k−k0)
∑
k
=
−
∞
∞
f
(
k
)
δ
(
k
)
=
f
(
0
)
\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} f(k) \delta(k)=f(0)
k=−∞∑∞f(k)δ(k)=f(0)
信号的运算
相加和相乘：同一瞬间/同一序列对应值相加/相乘。
平移：左加右减
反转：对折
没有对应的器件，但是数字信号处理有相应的概念，如退栈的先进后出
尺度变换：a大压缩，a小扩展（大小以1为对应）
对于离散信号，由于 f (ak) 仅在ak为整数时才有意义，进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
一般建议先平移，再尺度变换，再反转
只需要记住所有的变换都是对应自变量而言即可，可以取值验证
系统
由相互作用、相互联系的事物按一定规律组成的具有特定功能的整体，称为系统。手机电视都是系统。
连续系统：系统的激励是连续信号，响应也是连续信号。
离散系统：系统的激励是离散信号，响应也是离散信号。
混合系统：系统的激励是连续信号，响应是离散信号；或反之。
分析系统时，需要建立描述该系统的数学模型，求解，并对结果赋予实际意义。
连续系统：微分方程
依据基尔霍夫电压定律：
u
L
(
t
)
+
u
R
(
t
)
+
u
C
(
t
)
=
u
S
(
t
)
u_{L}(t)+u_{R}(t)+u_{C}(t)=u_{S}(t)
uL(t)+uR(t)+uC(t)=uS(t)
依据各元件的电压与电流关系：
u
L
(
t
)
=
L
i
′
(
t
)
u
R
(
t
)
=
R
i
(
t
)
i
(
t
)
=
C
u
C
′
(
t
)
u_{L}(t)=L i^{\prime}(t) u_{R}(t)=\mathrm{R} i(t) i(t)=C u_{C}^{\prime}(t)
uL(t)=Li′(t)uR(t)=Ri(t)i(t)=CuC′(t)
整理可得，
u
C
′
′
(
t
)
+
R
L
u
C
′
(
t
)
+
1
L
C
u
C
(
t
)
=
1
L
C
u
S
(
t
)
u_{C}^{\prime \prime}(t)+\frac{R}{L} u_{C}^{\prime}(t)+\frac{1}{L C} u_{C}(t)=\frac{1}{L C} u_{S}(t)
uC′′(t)+LRuC′(t)+LC1uC(t)=LC1uS(t)
上式即为描述该电路的微分方程。
响应一般写左侧，激励写右侧
框图描述
连续系统
根据方程画框图
①左侧写激励，右侧写响应
②根据最高次数中间补对应数量的积分器，左侧补加法器
u
C
′
′
(
t
)
+
R
L
u
C
′
(
t
)
+
1
L
C
u
C
(
t
)
=
1
L
C
u
S
(
t
)
u_{C}^{\prime \prime}(t)+\frac{R}{L} u_{C}^{\prime}(t)+\frac{1}{L C} u_{C}(t)=\frac{1}{L C} u_{S}(t)
uC′′(t)+LRuC′(t)+LC1uC(t)=LC1uS(t)
y
′
′
(
t
)
+
a
y
′
(
t
)
+
b
y
(
t
)
=
c
f
(
t
)
y^{\prime \prime}(t)+a y^{\prime}(t)+b y(t)=c f(t)
y′′(t)+ay′(t)+by(t)=cf(t)
a
=
R
L
b
=
1
L
C
c
=
1
L
C
a=\frac{R}{L} \quad b=\frac{1}{L C} \quad c=\frac{1}{L C}
a=LRb=LC1c=LC1
y
′
′
(
t
)
=
−
a
y
′
(
t
)
−
b
y
(
t
)
+
c
f
(
t
)
y^{\prime \prime}(t)=-a y^{\prime}(t)-b y(t)+c f(t)
y′′(t)=−ay′(t)−by(t)+cf(t)
根据框图画方程
①设置中间变量，左边高次，右边低次
左边加法器
x
′
′
(
t
)
=
−
a
2
x
′
(
t
)
−
a
1
x
(
t
)
+
f
(
t
)
x^{\prime \prime}(t)=-a_{2} x^{\prime}(t)-a_{1} x(t)+f(t)
x′′(t)=−a2x′(t)−a1x(t)+f(t)
x
′
′
(
t
)
+
a
2
x
′
(
t
)
+
a
1
x
(
t
)
=
f
(
t
)
x^{\prime \prime}(t)+a_{2} x^{\prime}(t)+a_{1} x(t)=f(t)
x′′(t)+a2x′(t)+a1x(t)=f(t)
右边加法器
y
(
t
)
=
b
2
x
′
′
(
t
)
+
b
1
x
′
(
t
)
+
x
(
t
)
a
1
y
(
t
)
=
b
2
a
1
x
′
′
(
t
)
+
b
1
a
1
x
′
(
t
)
+
a
1
x
(
t
)
a
2
y
′
(
t
)
=
b
2
(
a
2
x
′
′
(
t
)
)
′
+
b
1
(
a
2
x
′
(
t
)
)
′
+
a
2
x
′
(
t
)
y
′
′
(
t
)
=
b
2
(
x
′
′
(
t
)
)
′
′
+
b
1
(
x
′
(
t
)
)
′
′
+
x
′
′
(
t
)
y(t)=b_{2} x^{\prime \prime}(t)+b_{1} x^{\prime}(t)+x(t)\\ a_{1} y(t)=b_{2} a_{1} x^{\prime \prime}(t)+b_{1} a_{1} x^{\prime}(t)+a_{1} x(t) \\ a_{2} y^{\prime}(t) =b_{2}\left(a_{2} x^{\prime \prime}(t)\right)^{\prime}+b_{1}\left(a_{2} x^{\prime}(t)\right)^{\prime}+a_{2} x^{\prime}(t) \\ y^{\prime \prime}(t) =b_{2}\left(x^{\prime \prime}(t)\right)^{\prime \prime}+b_{1}\left(x^{\prime}(t)\right)^{\prime \prime}+x^{\prime \prime}(t)
y(t)=b2x′′(t)+b1x′(t)+x(t)a1y(t)=b2a1x′′(t)+b1a1x′(t)+a1x(t)a2y′(t)=b2(a2x′′(t))′+b1(a2x′(t))′+a2x′(t)y′′(t)=b2(x′′(t))′′+b1(x′(t))′′+x′′(t)
y
′
′
(
t
)
+
a
2
y
′
(
t
)
+
a
1
y
(
t
)
=
b
2
(
x
′
′
(
t
)
+
a
2
x
′
(
t
)
+
a
1
x
(
t
)
)
′
′
+
b
1
(
x
′
′
(
t
)
+
a
2
x
′
(
t
)
+
a
1
x
(
t
)
)
′
+
x
′
′
(
t
)
+
a
2
x
′
(
t
)
+
a
1
x
(
t
)
=
b
2
f
′
′
(
t
)
+
b
1
f
′
(
t
)
+
f
(
t
)
y^{\prime \prime}(t)+a_{2} y^{\prime}(t)+a_{1} y(t) \\ =b_{2}(x^{\prime \prime}(t)+a_{2} x^{\prime}(t)+a_{1} x(t))^{\prime \prime}+b_{1}\left(x^{\prime \prime}(t)+a_{2} x^{\prime}(t)+a_{1} x(t)\right)^{\prime}+x^{\prime \prime}(t)+a_{2} x^{\prime}(t)+a_{1} x(t)\\ =b_{2} f^{\prime \prime}(t)+b_{1} f^{\prime}(t)+f(t)
y′′(t)+a2y′(t)+a1y(t)=b2(x′′(t)+a2x′(t)+a1x(t))′′+b1(x′′(t)+a2x′(t)+a1x(t))′+x′′(t)+a2x′(t)+a1x(t)=b2f′′(t)+b1f′(t)+f(t)
最终结果
y
′
′
(
t
)
+
a
2
y
′
(
t
)
+
a
1
y
(
t
)
=
b
2
f
′
′
(
t
)
+
b
1
f
′
(
t
)
+
f
(
t
)
y^{\prime \prime}(t)+a_{2} y^{\prime}(t)+a_{1} y(t) =b_{2} f^{\prime \prime}(t)+b_{1} f^{\prime}(t)+f(t)
y′′(t)+a2y′(t)+a1y(t)=b2f′′(t)+b1f′(t)+f(t)
离散系统
响应左边激励右边
y
(
k
)
−
(
1
+
a
−
b
)
y
(
k
−
1
)
=
f
(
k
)
y(k)-(1+a-b) y(k-1)=f(k)
y(k)−(1+a−b)y(k−1)=f(k)
左边加法器
x
(
k
)
=
f
(
k
)
−
a
2
x
(
k
−
1
)
−
a
1
x
(
k
−
2
)
x(k)=f(k)-a_{2} x(k-1)-a_{1} x(k-2)
x(k)=f(k)−a2x(k−1)−a1x(k−2)
f
(
k
)
=
x
(
k
)
+
a
2
x
(
k
−
1
)
+
a
1
x
(
k
−
2
)
f(k)=x(k)+a_{2} x(k-1)+a_{1} x(k-2)
f(k)=x(k)+a2x(k−1)+a1x(k−2)
右边加法器
y
(
k
)
=
b
1
x
(
k
)
+
x
(
k
−
2
)
\mathrm{y}(\mathrm{k})=b_{1} \mathrm{x}(\mathrm{k})+\mathrm{x}(\mathrm{k}-2)
y(k)=b1x(k)+x(k−2)
a
2
y
(
k
−
1
)
=
b
1
a
2
x
(
k
−
1
)
+
a
2
x
(
k
−
3
)
a_{2} y(k-1)=b_{1} a_{2} x(k-1)+a_{2} x(k-3)
a2y(k−1)=b1a2x(k−1)+a2x(k−3)
a
1
y
(
k
−
2
)
=
b
1
a
1
x
(
k
−
2
)
+
a
1
x
(
k
−
4
)
a_{1} y(k-2)=b_{1} a_{1} x(k-2)+a_{1} x(k-4)
a1y(k−2)=b1a1x(k−2)+a1x(k−4)
y
(
k
)
+
a
2
y
(
k
−
1
)
+
a
1
y
(
k
−
2
)
=
b
1
[
x
(
k
)
+
a
2
x
(
k
−
1
)
+
a
1
x
(
k
−
2
)
]
+
[
x
(
k
−
2
)
+
a
2
x
(
k
−
3
)
+
a
1
x
(
k
−
4
)
]
=
b
1
f
(
k
)
+
f
(
k
−
2
)
y(k)+a_{2} y(k-1)+a_{1} y(k-2)\\ =b_{1}\left[x(k)+a_{2} x(k-1)+a_{1} x(k-2)\right]+\left[x(k-2)+a_{2} x(k-3)+a_{1} x(k-4)\right]\\ =b_{1} f(k)+f(k-2)
y(k)+a2y(k−1)+a1y(k−2)=b1[x(k)+a2x(k−1)+a1x(k−2)]+[x(k−2)+a2x(k−3)+a1x(k−4)]=b1f(k)+f(k−2)
y
(
k
)
+
a
2
y
(
k
−
1
)
+
a
1
y
(
k
−
2
)
=
b
1
f
(
k
)
+
f
(
k
−
2
)
y(k)+a_{2} y(k-1)+a_{1} y(k-2)=b_{1} f(k)+f(k-2)
y(k)+a2y(k−1)+a1y(k−2)=b1f(k)+f(k−2)
系统的分类
可从多角度观察和分析系统, 将系统分成多种类别。
连续与离散系统
线性与非线性系统
时变与时不变系统
因果与非因果系统
记忆与非记忆系统
稳定与发散系统
连续与离散系统
连续系统：系统的激励是连续信号，响应也是连续信号。
f
(
t
)
,
y
(
t
)
f(t), y(t)
f(t),y(t)
离散系统：系统的激励是离散信号，响应也是离散信号。
f
(
k
)
,
y
(
k
)
f(k), y(k)
f(k),y(k)
混合系统：系统的激励是连续信号, 响应是离散信号; 或反之。
线性与非线性系统（线性性质和分解特性）
满足线性性质（齐次性和可加性）和分解特性的系统为线性系统, 否则为非
线性系统。
f
(
⋅
)
→
系统
T
→
y
(
⋅
)
y
(
⋅
)
=
T
[
f
(
⋅
)
]
f
(
⋅
)
→
y
(
⋅
)
\begin{array}{l|l|rl} f(\cdot) \rightarrow& \text { 系统 } \mathbf{T} & \rightarrow y(\cdot) & \begin{array}{l} y(\cdot)=T[f(\cdot)] \\ f(\cdot) \rightarrow y(\cdot) \end{array} \end{array}
f(⋅)→ 系统 T→y(⋅)y(⋅)=T[f(⋅)]f(⋅)→y(⋅)
齐次性
f
(
⋅
)
→
y
(
⋅
)
aff
⋅
)
→
a
y
(
⋅
)
f(\cdot) \rightarrow y(\cdot) \quad \text { aff } \cdot) \rightarrow a y(\cdot)
f(⋅)→y(⋅) aff ⋅)→ay(⋅)
可加性
f
1
(
⋅
)
→
y
1
(
⋅
)
f
2
(
⋅
)
→
y
2
(
⋅
)
f
1
(
⋅
)
+
f
2
(
⋅
)
→
y
1
(
⋅
)
+
y
2
(
⋅
)
\quad f_{1}(\cdot) \rightarrow y_{1}(\cdot) \quad f_{2}(\cdot) \rightarrow y_{2}(\cdot) \quad f_{1}(\cdot)+f_{2}(\cdot) \rightarrow \mathrm{y}_{1}(\cdot)+\mathrm{y}_{2}(\cdot)
f1(⋅)→y1(⋅)f2(⋅)→y2(⋅)f1(⋅)+f2(⋅)→y1(⋅)+y2(⋅)
线性性质
a
f
1
(
⋅
)
+
b
f
2
(
⋅
)
→
a
y
1
(
⋅
)
+
b
y
2
(
⋅
)
a f_{1}(\cdot)+b f_{2}(\cdot) \rightarrow a y_{1}(\cdot)+b y_{2}(\cdot)
af1(⋅)+bf2(⋅)→ay1(⋅)+by2(⋅)
系统的响应取决于系统的激励
{
f
(
⋅
)
}
\{f(\cdot)\}
{f(⋅)} 和初始状态
{
x
(
0
)
}
,
\{\mathrm{x}(0)\},
{x(0)}, 系统的全响应为：
y
(
⋅
)
=
T
[
{
x
(
0
)
}
,
{
f
(
⋅
)
}
]
\mathrm{y}(\cdot)=T[\{\mathrm{x}(0)\},\{f(\cdot)\}]
y(⋅)=T[{x(0)},{f(⋅)}]
零输入响应
y
z
i
(
⋅
)
=
T
[
{
x
(
0
)
}
,
{
0
}
]
\quad y_{z i}(\cdot)=T[\{x(0)\},\{0\}] \quad
yzi(⋅)=T[{x(0)},{0}]
零状态响应
y
z
s
(
⋅
)
=
T
[
{
0
}
,
{
f
(
⋅
)
}
]
\quad y_{z s}(\cdot)=T[\{0\},\{f(\cdot)\}]
yzs(⋅)=T[{0},{f(⋅)}]
分解特性
y
(
⋅
)
=
y
z
i
(
⋅
)
+
y
z
s
(
⋅
)
\quad y(\cdot)=y_{z i}(\cdot)+y_{z s}(\cdot)
y(⋅)=yzi(⋅)+yzs(⋅)
零输入响应线性
T
[
{
a
x
1
(
0
)
+
b
x
2
(
0
)
}
,
{
0
}
]
=
a
T
[
{
x
1
(
0
)
}
,
{
0
}
]
+
b
T
[
{
x
2
(
0
)
}
,
{
0
}
]
\quad T\left[\left\{a x_{1}(0)+b x_{2}(0)\right\},\{0\}\right]=a T\left[\left\{x_{1}(0)\right\},\{0\}\right]+b T\left[\left\{x_{2}(0)\right\},\{0\}\right]
T[{ax1(0)+bx2(0)},{0}]=aT[{x1(0)},{0}]+bT[{x2(0)},{0}]
零状态响应线性
T
[
{
0
}
,
{
a
f
1
(
t
)
+
b
f
2
(
t
)
}
]
=
a
T
[
{
0
}
,
{
f
1
(
t
)
}
]
+
b
T
[
{
0
}
,
{
f
2
(
t
)
}
]
\quad T\left[\{0\},\left\{a f_{1}(t)+b f_{2}(t)\right\}\right]=a T\left[\{0\},\left\{f_{1}(t)\right\}\right]+b T\left[\{0\},\left\{f_{2}(t)\right\}\right]
T[{0},{af1(t)+bf2(t)}]=aT[{0},{f1(t)}]+bT[{0},{f2(t)}]
例题
(
1
)
y
(
t
)
=
f
(
t
)
+
3
x
(
0
)
f
(
t
)
+
6
x
(
0
)
+
5
(
2
)
y
(
t
)
=
5
∣
f
(
t
)
∣
+
6
x
(
0
)
\begin{array}{ll}(1) y(t)=f(t)+3 x(0) f(t)+6 x(0)+5 & (2) y(t)=5|f(t)|+6 x(0)\end{array}
(1)y(t)=f(t)+3x(0)f(t)+6x(0)+5(2)y(t)=5∣f(t)∣+6x(0)
(3)
y
(
k
)
=
7
f
(
k
)
+
2
x
(
0
)
2
y(k)=7 f(k)+2 x(0)^{2}
y(k)=7f(k)+2x(0)2
（1）$ y_{z i}(t)=6 x(0)+5 \quad y_{z s}(t)=f(t)+5 \quad y(t) \neq y_{z i}(t)+y_{z s}(t) \quad$ 不满足分解特性，非线性系统
（2）
y
z
i
(
t
)
=
6
x
(
0
)
y
z
s
(
t
)
=
5
∣
f
(
t
)
∣
y
(
t
)
=
y
z
i
(
t
)
+
y
z
s
(
t
)
\begin{array}{lll}\text {} y_{z i}(t)=6 x(0) & y_{z s}(t)=5|f(t)| & y(t)=y_{z i}(t)+y_{z s}(t) & \text { }\end{array}
yzi(t)=6x(0)yzs(t)=5∣f(t)∣y(t)=yzi(t)+yzs(t) 满足分解特性
T
[
{
0
}
,
{
a
f
(
t
)
}
]
=
5
∣
a
f
(
t
)
∣
≠
a
y
z
s
(
t
)
T[\{0\},\{a f(t)\}]=5|a f(t)| \neq a y_{z s}(t) \quad
T[{0},{af(t)}]=5∣af(t)∣=ayzs(t) 不满足零状态响应线性特征, 非线性系统
（3）
y
z
i
(
t
)
=
2
x
(
0
)
2
y
z
s
(
t
)
=
7
f
(
k
)
y
(
t
)
=
y
z
i
(
t
)
+
y
z
s
(
t
)
\begin{array}{lll}\text { } y_{z i}(t)=2 x(0)^{2} & y_{z s}(t)=7 f(k) & y(t)=y_{z i}(t)+y_{z s}(t) & \text { }\end{array}
yzi(t)=2x(0)2yzs(t)=7f(k)y(t)=yzi(t)+yzs(t) 满足分解特性
T
[
{
a
x
(
0
)
}
,
{
0
}
]
=
2
(
a
x
(
0
)
)
2
≠
a
y
z
i
(
t
)
T[\{a x(0)\},\{0\}]=2(a x(0))^{2} \neq a y_{z i}(t) \quad
T[{ax(0)},{0}]=2(ax(0))2=ayzi(t) 不满足零输入响应线性特征, 非线性系统
时变与时不变系统
如果激励
f
(
⋅
)
f(\cdot)
f(⋅) 作用于系统的响应为
y
z
s
(
⋅
)
,
y_{z s}(\cdot),
yzs(⋅), 那么当激励延迟一定的时间
t
d
t_{d}
td
(
\left(\right.
( 或
k
d
)
\left.k_{d}\right)
kd) 时, 其零状态响应也延迟同样的时间的系统为时不变系统, 反
之为时变系统。
T
[
{
0
}
,
{
f
(
t
−
t
d
)
}
]
=
y
z
s
(
t
−
t
d
)
T
[
{
0
}
,
{
f
(
k
−
k
d
)
}
]
=
y
z
s
(
k
−
k
d
)
T\left[\{0\},\left\{f\left(t-t_{d}\right)\right\}\right]=y_{z s}\left(t-t_{d}\right)\\ T\left[\{0\},\left\{f\left(k-k_{d}\right)\right\}\right]=y_{z s}\left(k-k_{d}\right)
T[{0},{f(t−td)}]=yzs(t−td)T[{0},{f(k−kd)}]=yzs(k−kd)
(
1
)
y
z
s
(
t
)
=
f
(
t
)
f
(
t
−
5
)
(
2
)
y
z
s
(
k
)
=
k
f
(
k
−
2
)
(
3
)
y
z
s
(
k
)
=
f
(
−
k
)
(
4
)
y
z
s
(
k
)
=
f
(
3
k
)
(1) y_{z s}(t)=f(t) f(t-5)(2) y_{z s}(k)=k f(k-2)(3) y_{z s}(k)=f(-k)(4) y_{z s}(k)=f(3 k)
(1)yzs(t)=f(t)f(t−5)(2)yzs(k)=kf(k−2)(3)yzs(k)=f(−k)(4)yzs(k)=f(3k)
(1)
令
g
(
t
)
=
f
(
t
−
t
d
)
,
令g(t)=f\left(t-t_{d}\right),
令g(t)=f(t−td), 则
T
[
{
0
}
,
{
g
(
t
)
}
]
=
g
(
t
)
g
(
t
−
5
)
=
f
(
t
−
t
d
)
f
(
t
−
t
d
−
5
)
T[\{0\},\{g(t)\}]=g(t) g(t-5)=f\left(t-t_{d}\right) f\left(t-t_{d}-5\right)
T[{0},{g(t)}]=g(t)g(t−5)=f(t−td)f(t−td−5)
y
z
s
(
t
−
t
d
)
=
f
(
t
−
t
d
)
f
(
t
−
t
d
−
5
)
T
[
{
0
}
,
{
f
(
t
−
t
d
)
}
]
=
y
z
s
(
t
−
t
d
)
y_{z s}\left(t-t_{d}\right)=f\left(t-t_{d}\right) f\left(t-t_{d}-5\right) T\left[\{0\},\left\{f\left(t-t_{d}\right)\right\}\right]=y_{z s}\left(t-t_{d}\right)
yzs(t−td)=f(t−td)f(t−td−5)T[{0},{f(t−td)}]=yzs(t−td) 所以是时不变系统
(2)
令
g
(
k
)
=
f
(
k
−
k
d
)
,
{\text { 令}} g(k)=f\left(k-k_{d}\right),
令g(k)=f(k−kd), 则
T
[
{
0
}
,
{
g
(
k
)
}
]
=
k
g
(
k
−
2
)
=
k
f
(
k
−
k
d
−
2
)
T[\{0\},\{g(k)\}]=k g(k-2)=k f\left(k-k_{d}-2\right)
T[{0},{g(k)}]=kg(k−2)=kf(k−kd−2)
y
z
s
(
k
−
k
d
)
=
(
k
−
k
d
)
f
(
k
−
k
d
−
2
)
T
[
{
0
}
,
{
f
(
k
−
k
d
)
}
]
≠
y
z
s
(
k
−
k
d
)
y_{z s}\left(k-k_{d}\right)=\left(k-k_{d}\right) f\left(k-k_{d}-2\right) T\left[\{0\},\left\{f\left(k-k_{d}\right)\right\}\right] \neq y_{z s}\left(k-k_{d}\right)
yzs(k−kd)=(k−kd)f(k−kd−2)T[{0},{f(k−kd)}]=yzs(k−kd) 所以是时变系统
(3)
令
g
(
k
)
=
f
(
k
−
k
d
)
,
令 g(k)=f\left(k-k_{d}\right), \quad
令g(k)=f(k−kd), 则
T
[
{
0
}
,
{
g
(
k
)
}
]
=
g
(
−
k
)
=
f
(
−
k
−
k
d
)
T[\{0\},\{g(k)\}]=g(-k)=f\left(-k-k_{d}\right)
T[{0},{g(k)}]=g(−k)=f(−k−kd)
y
z
s
(
k
−
k
d
)
=
f
(
−
(
k
−
k
d
)
)
T
[
{
0
}
,
{
f
(
k
−
k
d
)
}
]
≠
y
z
s
(
k
−
k
d
)
y_{z s}\left(k-k_{d}\right)=f\left(-\left(k-k_{d}\right)\right) \quad T\left[\{0\},\left\{f\left(k-k_{d}\right)\right\}\right] \neq y_{z s}\left(k-k_{d}\right)
yzs(k−kd)=f(−(k−kd))T[{0},{f(k−kd)}]=yzs(k−kd)
所以是时变系统
(4)
令
g
(
k
)
=
f
(
k
−
k
d
)
,
令g(k)=f\left(k-k_{d}\right),
令g(k)=f(k−kd), 则
T
[
{
0
}
,
{
g
(
k
)
}
]
=
g
(
3
k
)
=
f
(
3
k
−
k
d
)
T[\{0\},\{g(k)\}]=g(3 k)=f\left(3 k-k_{d}\right)
T[{0},{g(k)}]=g(3k)=f(3k−kd)
y
z
s
(
k
−
k
d
)
=
f
(
3
(
k
−
k
d
)
)
T
[
{
0
}
,
{
f
(
k
−
k
d
)
}
]
≠
y
z
s
(
k
−
k
d
)
y_{z s}\left(k-k_{d}\right)=f\left(3\left(k-k_{d}\right)\right) \quad T\left[\{0\},\left\{f\left(k-k_{d}\right)\right\}\right] \neq y_{z s}\left(k-k_{d}\right) \quad
yzs(k−kd)=f(3(k−kd))T[{0},{f(k−kd)}]=yzs(k−kd) 所以是时变系统
若激励之前有变系数, 或反转、展缩变换, 则系统为时变系统
因果与非因果系统
因果系统：当且仅当输入信号激励系统时, 系统才出现零状态响应输出的系统。即，系统的零状态响应不出现于激励之前。反之则为非因果系统。
1.令
t
<
t
0
时
f
(
t
)
=
0
t<t_{0}时f{(t})=0
t<t0时f(t)=0
2.将
t
0
t_0
t0代入式中
若
t
<
t
0
(
t<t_{0}\left(\right.
t<t0( 或
k
<
k
0
)
\left.k<k_{0}\right)
k<k0) 时,
\quad
激励
f
(
t
)
(
f(\mathrm{t}) \quad(
f(t)( 或
f
(
k
)
)
=
0
,
f(\mathrm{k}))=0,
f(k))=0, 则当
t
<
t
0
(
t<t_{0} \quad\left(\right.
t<t0( 或
k
<
k
0
)
\left.k<k_{0}\right)
k<k0) 时,
y
z
s
(
t
)
=
0
(
\mathrm{y}_{\mathrm{zs}}(\mathrm{t})=0\left(\right.
yzs(t)=0( 或
y
z
s
(
k
)
=
0
)
\left.\mathrm{y}_{\mathrm{zs}}(\mathrm{k})=0\right)
yzs(k)=0)
(1)
y
z
s
(
t
)
=
f
(
t
−
1
)
y_{z s}(t)=f(t-1)
yzs(t)=f(t−1)
(2)
y
z
s
(
t
)
=
f
(
t
+
1
)
y_{z s}(t)=f(t+1)
yzs(t)=f(t+1)
(3)
y
z
s
(
t
)
=
f
(
2
t
)
y_{z s}(t)=f(2 t)
yzs(t)=f(2t)
(1) 若
t
<
t
0
时,
f
(
t
)
=
0
,
有
y
z
s
(
t
0
)
=
f
(
t
0
−
1
)
=
0
,
是因果系统
\begin{array}{ll}\text { (1) 若 } t<t_{0} \text { 时, } f(\mathrm{t})=0, & \text { 有 } \mathrm{y}_{\mathrm{zs}}\left(\mathrm{t}_{0}\right)=f\left(\mathrm{t}_{0}-1\right)=0, \text { 是因果系统 }\end{array}
(1) 若 t<t0 时, f(t)=0, 有 yzs(t0)=f(t0−1)=0, 是因果系统
(2) 若
t
<
t
0
时,
f
(
t
)
=
0
,
有
y
z
s
(
t
0
)
=
f
(
t
0
+
1
)
≠
0
,
是非因果系统
\begin{array}{ll}\text { (2) 若 } t<t_{0} \text { 时, } f(\mathrm{t})=0, & \text { 有 } \mathrm{y}_{\mathrm{zs}}\left(\mathrm{t}_{0}\right)=f\left(\mathrm{t}_{0}+1\right) \neq 0, \text { 是非因果系统 }\end{array}
(2) 若 t<t0 时, f(t)=0, 有 yzs(t0)=f(t0+1)=0, 是非因果系统
(3) 若
t
<
t
0
时,
f
(
t
)
=
0
,
有y
z
s
(
t
0
)
=
f
(
2
t
0
)
≠
0
,
是非因果系统
\begin{array}{ll}\text { (3) 若 } t<t_{0} \text { 时, } f(\mathrm{t})=0, & \text { 有y }_{\mathrm{zs}}\left(\mathrm{t}_{0}\right)=f\left(2\mathrm{t}_{0}\right) \neq 0, \text { 是非因果系统 }\end{array}
(3) 若 t<t0 时, f(t)=0, 有y zs(t0)=f(2t0)=0, 是非因果系统 （因为是
1
2
t
0
到
t
0
之
间
\frac{1}{2}t_0到t_0之间
21t0到t0之间?）
记忆与非记忆系统
记忆系统又称为动态系统, 即系统的输出不仅与当前时刻的输入有关, 还
与过去/将来的输入相关。如, 含有电容、电感的系统
非记忆系统又称为即时系统, 即系统的输出仅与当前时刻的输入有关, 与
过去/将来的输入无关。如, 仅还有电阻的简单系统
稳定与发散系统（响应是否有界）
某系统对于有界激励
f
(
⋅
)
f(\cdot)
f(⋅) 产生的零状态响应
y
z
s
(
⋅
)
y_{z s}(\cdot)
yzs(⋅) 也是有界时，称该系统 为有界输入有界输出系统, 简称为稳定系统。即若
∣
f
(
⋅
)
∣
<
∞
,
|f(\cdot)|<\infty,
∣f(⋅)∣<∞, 有
∣
y
z
s
(
⋅
)
∣
<
∞
\left|y_{z s}(\cdot)\right|<\infty
∣yzs(⋅)∣<∞
的系统。否则，称为发散系统, 或不稳定系统。
y
(
t
)
=
f
(
t
−
1
)
+
f
(
t
+
2
)
y(t)=f(t-1)+f(t+2) \quad
y(t)=f(t−1)+f(t+2) 稳定系统
y
(
t
)
=
∫
−
∞
t
f
(
x
)
d
x
发散系统
y(t)=\int_{-\infty}^{t} f(x) d x \quad \text { 发散系统 }
y(t)=∫−∞tf(x)dx 发散系统
f
(
t
)
=
ε
(
t
)
f(t)=\varepsilon(t)
f(t)=ε(t) 有界,
y
(
t
)
=
t
ε
(
t
)
y(t)=t \varepsilon(t)
y(t)=tε(t) 无界