深入理解计算机系统chapter2.4------整数的表示（无符号编码和补码编码）

1、什么是整数？

　　整数包含正整数，0，负整数。我们从小的数学常识，整数是无穷无尽的，即整数的大小没有限制。

　　但是在计算机中则不能这样理解，因为计算机是靠数字信号来表示数，计算机所能处理的整数的长度是由计算机的字长来决定的，所以，在计算机中，我们必须制定一个规则来表示整数。

2、C 语言中的整型数据类型

　　C 语言是支持多种整型数据类型的，下面我们看一下在 32 位机器和 64 位机器中，C 语言整型数据类型的取值范围。

　　

　　

　　我们可以看到：

　　①、C 语言数据类型是可以用来指定大小，同时还可以指示表示的数是非负数（声明为 unsigned），或者负数（默认）。

　　②、数据类型分配的字节数会根据机器的字长和编译器有所不同，不同的大小所表示的范围是不同的。上图唯一一个与机器有关的取值范围是 long 类型的，64位机器使用8个字节（264），而32位机器使用4个字节（232）。

　　③、负数的范围要比正数的范围大1。这是为什么呢，请接着往下面看。

　　下面我们看一下 C 语言标准所定义的每种数据类型所能表示的最小的取值范围。

　　

　　C 语言标准我们可以从上图得到：

　　①、正数和负数的取值范围是对称的。

　　②、int 数据类型可以用 2 个字节来实现。（216）

　　③、long 数据类型用4 个字节来实现。（232

3、无符号数的编码

　无符号数，在C语言中，即用 unsigned 声明的整数。

　　定义：假设对于一个w位的无符号整数，用二进制比特位可以表示为[xw-1 , xw-2 , … , x2 , x1 , x0]。那么我们可以用一个函数表示如下：

　　

　　这个函数可以举几个简单的例子来看：

　　

　　那么很显然，对于一个无符号编码的数，由 w 位的二进制序列构成，那么它的最小值，即所有位都为 0 ,用位向量表示即：【000......000】。

　　　　UMinw = 0

　　最大值即所有位都为 1，用位向量表示即：【111......111】

　　　　UMaxw = 1 * (1-2w) / 1 - 2 = 2w - 1

　　我们可以得出一个结论：无符号的二进制，对于任意一个w位的二进制序列，都存在唯一一个整数介于0 到 2w-1之间，与这个二进制序列对应。反过来，在0 到 2w-1之间的每一个整数，存在唯一的二进制序列与其对应。

4、补码编码

　　上面我们讲解了正整数的编码，那么在实际应用中，是存在负数的。而在计算机中，最常见的表示有符号的数就是补码。补码的定义如下：

　　

　　其中最高有效位 xw-1 也称为符号位，符号位为 1 时表示负数，当设置为 0 时，表示非负数。下面我们看几个例子：

　　

　　那么我们可以得出：当最高位为1，其余为全部是 0 的时候，即【1000......000】，表示补码格式的最小值：

　　　　TMinw = -2w-1

　当最高位为 0，其余为全部是 1 时，即【0111......111】，表示补码格式的最大值：

　　　　TMaxw = 1 * (1 - 2w-1) / 1 - 2 = 2w-1-1

　　通过上面的两个公式，我们就很好理解为什么上面C语言数据类型负数的范围要比正数的范围大1。

　　和上面无符号编码一样，我们对于补码格式编码也可以得到一个结论：

　　对于任意一个w位的二进制序列，都存在唯一一个介于-2w-1 到 2w-1-1的整数，与这个二进制序列对应。反过来，对于任意介于-2w-1 到 2w-1-1的整数，存在唯一的长度为w二进制序列与其对应。

　　那么你就应该明白了为什么十进制 -1，在计算机中二进制表示为 1111 1111，而不是1000 0001，因为计算机是以补码的形式表示的。

5、反码和原码

　　反码定义：除了最高有效位的权是-2w-1-1，而不是-2w-1其余的和补码表示方式一样

　　　　

　　原码定义：最高有效位是符号位，用来确定剩下的位是正还是负

　　　

　　我们可以和补码的定义进行对比：

　　　　

　　原码：一个整数，按照绝对值大小转换为二进制数，最高位为符号位。

　　反码：将原码除最高位(符号位)外，其余各位按位取反，所得到的二进制码。正数的反码为原码。

　　补码：反码最低位加1即为补码。

　　对于正整数，原码、反码、补码完全一样，即符号位固定为0，数值位相同。

　　对于负整数，原码和补码互相转换的简便方法：从数的右边往左开始数,遇到“0”不理它,直到遇到第一个“1”为止,以后的每一位数取反即是它的原码或补码,符号位不变,还是“1”（补码的补码是原码）。

　　比如：11010100 ----- 从右往左数,第一位是0,不理它,第二位还是0不理它,第三位是1,那么从此以后的每位取反,即为它的补码了.答案为：10101100

　　事实上，程序员如果希望代码具有最大的可移植性，能够在所有可能的机器上运行，就应该用补码的形式来表示有符号整数。虽然过去生产过基于反码表示的机器，但是几乎所有的现代机器都是使用补码。

　　注意：浮点数有使用原码编码。

　　关于整型数据类型的表示和取值范围，Java标准是非常明确的，它要求采用补码形式，取值范围和C语言在64位机器中的情况一样。在Java中，单字节数据类型称为 byte，而不是char,而且没有long long 数据类型。这些具体的要求都是为了保证无论在什么机器上，Java程序运行的表现都能完全一样。

6、有符号和无符号数之间的转换

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#include <stdio.h>

int main()

{

    char t = 0xFF;

    unsigned char u = (unsigned char)t;

    //%d把对应的整数按有符号十进制输出，%u把对应的整数按无符号十进制输出

    printf("t=%d,t2u=%u\n",t,u);

    return 0;//c标准规定建议main函数返回值为int

}

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#include <stdio.h>

int main()

{

    unsigned char u = 0xFF;

    char t = (char)u;

    //%d把对应的整数按有符号十进制输出，%u把对应的整数按无符号十进制输出

    printf("u=%u,u2t=%d\n",u,t);

    return 0;//c标准规定建议main函数返回值为int

}

　

深入理解计算机系统chapter2.4------整数的表示（无符号编码和补码编码）

1、什么是整数？

2、C 语言中的整型数据类型

3、无符号数的编码

4、补码编码

5、反码和原码

6、有符号和无符号数之间的转换

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