捷联惯导基础知识之万向节死锁/奇异点
背景知识
导航坐标系：东-北-天
载体坐标系：右-前-上
一、平衡环架
平衡环架（英语：Gimbal）为一具有枢纽的装置，使得一物体能以单一轴旋转。由彼此垂直的枢纽轴所组成的一组三只平衡环架，则可使架在最内的环架的物体维持旋转轴不变，而应用在船上的陀螺仪、罗盘、饮料杯架等用途上，而不受船体因波浪上下震动、船身转向的影响。
上图就是一个Gimbal装置了，它是一个陀螺仪。中间有一根竖轴，穿过一个金属圆盘。金属圆盘称为转子，竖轴称为旋转轴。转子用金属制成，应该是了增加质量，从而增大惯性。竖轴外侧是三层嵌套的圆环，它们互相交叉，带来了三个方向自由度的旋转。
看着不停转来转去，有点晕，接下来看两个静态的。这两张图来自百度百科。
其中Gimbal只代表陀螺仪装置中的平衡环，显然维基百科上将它解释成“平衡环架”更为合理。
二、陀螺仪
1、进动性：
2、定轴性：
三、万向节死锁：
空间中的任意两个矢量，都可以通过平动和转动得到；也即6个自由度；通常利用加速度计和陀螺仪来实现这种关系。以转动为例，三维空间中的一个矢量，经过三次坐标系基本旋转可以得到另外的一个矢量；其中，有12中旋转顺序：
首先旋转X、Y、Z轴任意一轴，有三种可能；然后旋转第一次为旋转的任意一轴，有两种可能；最后旋转除去第二次旋转轴，的任意一轴；总计：3*2*2=12种方式。
万向节死锁现象本质就是转动由3个自由度变为2个自由度！
通常对于飞控、惯性导航种的影响/考虑有几下几种：
（1）某一个轴向角度出现奇异点；
（2）是不是只有旋转矩阵相乘中会出现这种现象？
（3）“转动”中的描述方式，有几种？
（4）万向节死锁应该怎么避免？还是系统固有属性，无法避免？
（5）……
针对上面有可能的疑问，下面进行解读：
首先根据《捷联惯导算法与组合导航原理讲义》中的附录，给出两种欧拉角的定义：
定义1：欧拉角定义：3-1-2旋转，（航向角-俯仰角-滚转角）；
θ为俯仰角；γ为横滚角；ψ为航向角；
- 航向角北偏西为正，范围【-pi pi】；
- 俯仰角， 运载体抬头时角度定义为正，角度范围-90° ～90° ；
- 横滚角，运载体向右倾斜时角度定义为正，角度范围-180° ～180°
（1）其方向余弦矩阵为：
（2）根据方向余弦矩阵可以得出运载体的欧拉角：
定义2：欧拉角定义：3-1-3旋转，（航向角-俯仰角-航向角）；
θ为俯仰角；γ为横滚角；ψ为航向角；
- 航向角北偏西为正，范围【-pi pi】；
- 俯仰角， 运载体抬头时角度定义为正，角度范围-90° ～90° ；
（1）其方向余弦矩阵为：
（2）根据方向余弦矩阵可以得出运载体的欧拉角：
由于是3-1-3旋转，因此，所求欧拉角为：航向角、俯仰角、航向角；既：α、β、γ
角度求解：
可以看出，不存在奇异点！
但是，此种3-1-3旋转方式，没有明确的物理意义！
参考链接：
https://andrewfanchina.github.io/UnityLabs/Euler/
《捷联惯导算法与组合导航原理讲义》
《坐式垂直起降无人机的一种姿态解算算法的设计》