无论是牛顿插值还是拉格朗日插值，都只能保证在节点处的函数值没有误差。hermite插值更加复杂，可以保证一阶导数也连续，目前常用的是三次样条插值

一、三次样条插值概念

• 不超过3次
• 节点处无误差
• 一阶导数和二阶导数节点处无误差

如果函数值和函数在点的倒数值是已知的，也就是我们有一下的已知条件

这不就是hermite插值的已知条件吗，我们可以利用Hermite插值先进行一次插值：

但是此时其实我们是不知道$m_i$mi​的值的，所以我们需要求出他，而现在我们只剩下了一个条件，端点处二阶导数连续：令$h_i$hi​表示$i-i+1$i−i+1区间的长度，将$s(x)$s(x)转化成下面的形式

然后我们求一个二阶导数：

因为我们的二阶导数需要在端点处连续，也就是说在$[x_i,x_{i-1}]$[xi​,xi−1​]区间的$s''(x_i)$s′′(xi​)要等于区间$[x_{i-1},x_i]$[xi−1​,xi​]上二阶导数的对$x_i$xi​的值，所以我们将上式的下标$i$i换成$i-1$i−1，

此时我们根据区间端点处二阶导数连续的定义，得到下面的等式：
变化不复杂，就是简单的移相合并而已

画圈的部分是我们必须化为1的部分，只有这样我们才能吧$m_i$mi​单独拿出来，进行一系列的化简：

这不就是一个关于$m_i$mi​的方程组????，把它写成下面的形式就更直观了：

共有???? + 1个未知数，???? − 1个方程，好像不能解，所以我们仍然需要其他的计算条件，不妨考虑一下边界（$x_0,x_n$x0​,xn​）的情况：（注意$m_i$mi​的定义，他表示的是一阶导数值），以下是可能给出的两种边界条件，只要有任意一种边界条件给出，我们就可以多出两个等式，就可以解了。tips：注意我们上面有两个二阶导数的公式，一个的参数是$x^-$x−，另一个是$x^+$x+，对$x_0$x0​而言我们要带入$s''(x_0^+)$s′′(x0+​)，只能在$x_0$x0​的右端点计算二阶导数。相反对于$x_n$xn​，我们只能带入$s''(x_n^-)$s′′(xn−​)也就是在左端点处计算二阶倒数。($x_n$xn​再往右就没有定义了)

具体带入的过程：

然后我们就能得到一个可解的方程组“

然后我们用 追赶法求解三对角方程组

算法总结