主轴定理（Principal axis theorem）

1，补充知识

1.1 欧式空间（Euclidean space）
直观感受：二维平面，三维立体，拓展到高维空间就对应着超平面。我们在初高中以及大学中的高等数学、线性代数遇到的都是欧几里得空间。

为了在数学上准确描述这个空间，需要定义距离、夹角、平移、旋转等概念。两个向量的内积通常会对应到欧几里得平面的一个点。

Euclidean plane was defined as a two-dimensional real vector space equipped with an inner product:
The vectors in the vector space correspond to the points of the Euclidean plane;
The addition operation in the vector space corresponds to translation;
The inner product implies notions of angle and distance, which can be used to define rotation.

1.2 笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）
即直角坐标系。

2，定义

主轴定理是指在几何学和线性代数中，与椭圆和双曲线的长轴和短轴有关的线。这些轴能够将椭圆和双曲线准确的描述出来，它们是正交的。

在代数上，主轴定理是完全平方公式的泛化。在线性代数和泛函分析中，它是谱定理的几何等价物。

3，一个简单的例子

3.1 在笛卡尔坐标系中$R^2$R2中，$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1对应着椭圆，\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=1对应着双曲线$9x2​+25y2​=1对应着椭圆，9x2​−25y2​=1对应着双曲线。

3.2 加入现在有一个新的二次方程$5x^2+8xy+5y^2=1$5x2+8xy+5y2=1，能否写成下列形式？
$f(x, y)^2+g(x,y)^2=1$f(x,y)2+g(x,y)2=1，（代表椭圆）
$f(x, y)^2-g(x,y)^2=1$f(x,y)2−g(x,y)2=1，（代表双曲线）

3.3 易得：

A为对称矩阵（根据谱定理，它有实数特征值，可以被正交矩阵对角化）。易求得A的特征值和特征向量分别为：
$\lambda_1=1, \lambda_2=9$λ1​=1,λ2​=9,

将特征向量化成标准正交基：

则A能够通过下列方式对角化：

原方程可以写成下列形式：

即$c_1^2+9c_2^2=1$c12​+9c22​=1。

上式可以看成是由新的坐标系c1和c2表示了原来的坐标系x和y，对应关系如下：

3.4 可以将该椭圆的图形在坐标系x和y中画出来（你将会发现从c1,c2到x,y实现了对椭圆的旋转）：

用R实现代码为：

c1 <- seq(-1, 1, 0.01)
c2 <- c(sqrt(1/9 - 1/9*c1^2), -sqrt(1/9 - 1/9*c1^2))
x <- sqrt(2)/2*(c1 + c2)
y <- sqrt(2)/2*(c2 - c1)
pdf(file = "ellipase.pdf", onefile = F)
plot(x, y)
dev.off()

4，正式定义

Reference

https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_axis_theorem