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主要针对希赛出版的架构师考试教程《系统架构设计师教程（第4版）》，作者“希赛教育软考学院”。完成相关的读书笔记以便后期自查，仅供个人学习使用，不得用于任何商业用途。

第四节 关系代数

关系代数的基本运算主要有并、交、差、笛卡尔积、选择、投影、连接和除法运算。

并

计算两个关系在集合理论上的并集，即给出关系 R 和 S（两者有相同元/列数），R∪S 的元组包括 R 和 S 所有元组的集合，形式定义如下：

式中 t 是元组变量（下同）。显然，R∪S=S∪R。

差

计算两个关系的区别的集合，即给出关系 R 和 S（两者有相同元/列数），R-S的元组包括 R 中有而 S 中没有的元组的集合，形式定义如下：

显然，R∩S = R-(R-S) 和 R∩S = S-(S-R)成立。

笛卡尔积

计算两个关系的笛卡尔乘积，令 R 为有 m 元的关系，S 为有 n 元的关系，则 R×S 是 m+n 元的元组的集合，其前 m 个元素来自 R 的一个元组，而后 n 个元素来自 S 的一个元组。形成定义如下：

若 R 有 u 个元组，S 有 v 个元组，则 R×S 有 u×v 个元组。例如，有关系 R 与关系 S 如表 3-1 和表 3-2 所示。

​ 对 R 与 S 做笛卡尔积运算，其结果有 4+2＝6 列，元组数量有 3*2＝6 条。如表 3-3 所示。

投影

从一个关系中抽取指明的属性（列）。令 R 为一个包含属性 A 的关系，则

例如，对表 3-1 关系 R 做投影操作， p1,2(R)，则结果如表 3-4 所示。

​ 注意：在关系代数操作中涉及的数字代表的是列号，， p1,2(R)操作是对第 1 列与第 2 列做投影。

​ 其中 F 表示选择条件，是一个逻辑表达式（逻辑运算符+算术表达式）。选择运算是从元组（行）的角度进行的运算。

θ连接

θ连接从两个关系的笛卡儿积中选取属性之间满足一定条件的元组，记作：

​ 其中 A 和 B 分别为 R 和 S 上元数相等且可比的属性组。θ 为“=”的连接，称为等值连接，记作：

​ 如果两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中将重复的属性去掉，则称为自然连接，记作：

​ 例如，对表 3-1 关系 R 与表 3-2 关系 S 做自然连接操作。结果集如表 3-6 所示。

除

设有关系 R(X，Y)与关系 S(Z)，Y 和 Z 具有相同的属性个数，且对应属性出自相同域。关系 R(X，Y)÷S(Z)所得的商关系是关系 R 在属性 X 上投影的一个子集，该子集和 S(Z)的笛卡尔积必须包含在 R(X，Y)中，记为 R÷S，其具体计算公式为：

​ 例如，对表 3-1 的关系 R 与表 3-2 的关系 S 做除法运算。

​ 求解过程为：首先，按除运算定义要求，确定 X，Y，Z 属性集合。Y 是关系 R 中的属性集合，Z 是 S 中全部属性的集合，即 Z={U3，U4}，由于 Y=Z，因此，Y={U3，U4}， X={U1，U2}。也就是说，R÷S 结果集包含属性 U1 和 U2；然后，将关系 R 的 U1、U2(共有<a，b>、<c，a>两个元组)与关系 S 作笛卡尔积操作，结果如表 3-7 所示。

​ 通过检查表 3-7，可以发现元组<a，b>与 S(Z)的笛卡尔积被包含在 R(X，Y)中，而元组<c，a>与S(Z)的笛卡尔积有一个元组未被包含在 R(X，Y)中，所以，结果集中只有元组<a，b>。

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学渣。这点没看懂，先往下读，等第一遍扫完书再搞吧。头疼。。。