关于CTFT、DTFT、DFT的一点想法

关于CTFT、DTFT、DFT、DFS等概念的理解一直是模模糊糊、似是而非的，近日忽然就咂摸到了一点滋味，简单记录一下，正确性不敢保证。

考虑到 计算机只能处理时域离散、频域离散的信号，因此时域连续或频域连续的信号，计算机无法直接处理（这是大前提），因此需要对连续的信号进行离散处理，这就需要用到冲激串了（冲激串的傅里叶变换也是一个冲激串）。

通过 在时域上让连续信号与冲激串相乘获得获得离散信号，相当于在频域上令连续信号的频谱与冲激串卷积。如果频域上的信号是连续的，同样需要 在频域上让连续信号与冲激串相乘获得获得离散信号，相当于在时域上让信号与冲激串卷积。 这里的卷积处理就相当于周期延拓 的过程，也 印证了离散和周期相对应的关系。

DTFT是CTFT在时域采样（离散化）后的表示，频域上还是连续的；DFT是DTFT在频率上采样（离散化）后的表示；因此， DFT在频域和时域上都是离散的，从而能够使用计算机进行处理。

信号的抽样（时域抽样引起频域周期延拓）与重建（频域是周期信号，需要取出一个周期，对应时域卷积处理）也遵循类似的思路。

• 在一个域上相乘等于在另一个域上卷积
• 与冲激函数进行卷积后，在每个冲激的位置上将产生一个波形的镜像
  
  
  
  
  
  在上图中，抽样、截短、取一个周期等操作均是对应某一个域的相乘操作，在另一个域对应的都是卷积操作，只不过，有时卷积会以周期延拓的形式显示出来。