浮点数规范（IEEE754）

  本文主要参考《IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic》

名词解释：
significand（有效位）：A component of a finite floating-point number containing its significant digits. The significand can be thought of as an integer, a fraction, or some other fixed-point form, by choosing an appropriate exponent offset. A decimal or subnormal binary significand can also contain leading zeros.

1. Floating-point formats

浮点数格式

1.1 Specification levels

规范等级

  浮点算术是对于实际算术的系统近似，如表1.1所示。浮点算术只能表示连续实数的一个有限子集。因此对于实数的某些属性（例如加法结合律（associativity of addition）），并不总是适用于浮点算术。

表1.1 规范化等级及其格式

Level 1	$\{-\infty \; \ldots \; 0 \; \ldots\; +\infty\}${−∞…0…+∞}	扩展实数
多对一 ↓↓	舍入 ↓↓	↑↑ 映射（除了NaN）
Level 2	$\{-\infty \ldots -0 \}\; \bigcup \; \{+0 \ldots +\infty \} \; \bigcup${−∞…−0}⋃{+0…+∞}⋃ NaN	浮点数据 - - 代数封闭的系统
一对多 ↓↓	规范化表示 ↓↓	↑↑ 多对一
Level 3	$(sign, exponent, significand) \; \bigcup \; \{-\infty,+\infty \} \; \bigcup$(sign,exponent,significand)⋃{−∞,+∞}⋃ qNaN $\bigcup$⋃ sNaN	浮点数据的表示
一对多 ↓↓	浮点数据的编码表示↓↓	↑↑ 多对一
Level 4	$0111000\ldots$0111000…	比特字符串（Bit strings）

   在该标准中，支持算术的数据格式是扩展实数，即实数集以及正负无穷（ $\{-\infty \ldots 0 \ldots+\infty\}${−∞…0…+∞}）。对于给定的格式，舍入过程（见后面第?节）将扩展的实数映射到该格式中的浮点数。浮点数据可以是带符号的零，有限的非零数字，带符号的无穷大或NaN，可以以一种格式映射到一个或多个浮点数据表示形式。

   浮点数据的表示格式（就是Level 3）包括以下3大部分：

• 三元组$(sign, exponent, significand)$(sign,exponent,significand)；
  对于基数$b$b，用三元组表示的浮点数就是 $\LARGE (-1)^{sign} {\times} b^{exponent}{\times}significand$(−1)sign×bexponent×significand
• $-\infty,+\infty$−∞,+∞
• qNaN（quiet，不抛异常），sNaN（signaling，抛异常）

  encoding将浮点数据的表示映射为比特字符串。encoding可能会将一些浮点数据映射到多个比特字符串。应该使用多个NaN比特字符串来存储回顾性诊断信息（见后面第?节）。

1.2 Sets of floating-point data

浮点数据集

  有限的浮点数集合可以用特定的格式表示，由以下整数参数决定:

• $\Large b$b：基数，2或者10。
• $\Large p$p：$significand$significand（有效位）中数字的个数。（precision精度）
• $\Large emax$emax：最大指数$e$e
• $\Large emin$emin：最小指数$e$e
  对于所有格式，$emin$emin 应为 $1-emax$1−emax

   对于每种基础格式，以上参数的值都在表1.2中给出了。

表1.2

	二进制格式（b=2）			十进制格式（b=10）
参数	二进制32	二进制64	二进制128	十进制64	十进制128
p	24	53	113	16	34
emax	+127	+1023	+16383	+384	+6144

   浮点数据统一表示形式：

• 有符号和非零的浮点数格式为 $\LARGE (-1)^{s} \times b^e \times m$(−1)s×be×m ，其中
  • $s$s是0或者1
  • $e$e是任意整数，$emin \leqslant e \leqslant emax$emin⩽e⩽emax
  • $m$m是一个数字，用一个比特字符串表示，该字符串格式如下：
    $d_0\cdot d_1d_2...d_{p-1}$d0​⋅d1​d2​...dp−1​，其中$d_i$di​是一个整数数字满足$0 \leqslant d_i <b$0⩽di​<b（因此$0 \leqslant m <b$0⩽m<b）这里其实我不太懂
• 两个无限值，$+\infty$+∞和$-\infty$−∞
• 两个 NaNs，qNaN和sNaN

   m为整数时：

  在上述描述中，符号$m$m被视为一种科学形式，小数点紧接在第一个数字之后。为了某些目的，把 $significand$significand 看作一个整数也很方便，在这种情况下有限浮点数的表示如下：

• 有符号和非零的浮点数格式为 $\Large (-1)^{s} \times b^q \times c$(−1)s×bq×c ，其中
  • $s$s是0或者1
  • $q$q是任意整数，$emin \leqslant q+p-1 \leqslant emax$emin⩽q+p−1⩽emax
  • $c$c是一个数字，用一个比特字符串表示，该字符串格式如下：
    $d_0d_1d_2...d_{p-1}$d0​d1​d2​...dp−1​，其中$d_i$di​是一个整数数字满足$0 \leqslant d_i <b$0⩽di​<b（因此$c$c是一个整数，$0 \leqslant c <b^p$0⩽c<bp）

  这种表示把 $significand$significand 当做一个整数 $c$c，对应的 $exponent$exponent 为 $q$q。（对于有限浮点数，$e=q+p-1$e=q+p−1，$m=c\times b^{1-p}$m=c×b1−p）

  最小的正normal（正规数）浮点数是 $b^{emin}$bemin ，最大的是 $b^{emax}\times (b-b^{1-p})$bemax×(b−b1−p) 。对于这种格式化的非零浮点数，量级小于$b^{emin}$bemin的被称为subnormal（次正规数），因为它的量级在零和最小正规数的量级之间。他们的有效位数（$significand$significand digits）通常比 $p$p 要少。每一个有限浮点数字都是最小次正规数的整数倍 $b^{emin}\times b^{1-p}$bemin×b1−p。

  对于值为0的浮点数，符号位 $s$s 提供了额外的信息位。尽管所有格式对 $+0$+0 和 $-0$−0 都有不同的表示，但 $0$0 的符号在某些情况下很重要，比如 $0$0 除以xxx，但在其他情况下则不重要(后面再讲)。二进制转换格式对于 $+0$+0 和 $-0$−0 只有一种表示，但是十进制格式有很多。在此标准中，当符号不重要时，$0$0 和 $\infty$∞ 不带符号。

1.3 Binary interchange format encodings

二进制转换格式编码

  每个浮点数只有一种二进制交换格式的编码。为了使编码具有唯一性，对于1.2中的参数，通过减小 $e$e 使有效位（significand）$m$m 的值最大化，直到 $e=emin$e=emin 或 $m\geqslant1$m⩾1。这个过程完成后，如果 $e=emin$e=emin 且 $0<m<1$0<m<1 ，则浮点数为次正规数（subnormal）。次正规数（以及零）用一个表留的偏置指数值来编码。（Subnormal numbers (and zero) are encoded with a reserved biased exponent value）

  浮点数的二进制形式由 $k$k 个比特的编码表示，主要有3个部分：

1. 1个比特，符号位S
2. w个比特，偏置的指数（biased exponent），$E=e+bias$E=e+bias
3. （t=p-1）个比特，尾部有效位（trailing significand field）数字字符串 $T=d_1d_2...d_{p-1}$T=d1​d2​...dp−1​ ；

  二进制转换格式的 $k, \; p,\; t,\; w,\; bias$k,p,t,w,bias 的值如表1.3所示

表1.3 二进制交换格式的参数

参数	二进制16	二进制32	二进制64	二进制128	二进制$k$k $(k\geqslant128)$(k⩾128)
$k$k，数据宽度	16	32	64	128	32的倍数
$p$p，精度	11	24	53	113	$k-round(4\times log_2(k))+13$k−round(4×log2​(k))+13
$emax$emax，指数$e$e的最大值	15	127	1023	16383	$2^{(k-p-1)}-1$2(k−p−1)−1
–	–	–	–	–	–
$bias$bias，$E-e$E−e	15	127	1023	16383	$emax$emax
符号位	1	1	1	1	1
$w$w，指数位的宽度	5	8	11	15	$round(4\times log_2(k))-13$round(4×log2​(k))−13
$t$t，尾部有效位的宽度	10	23	52	112	$k-w-1$k−w−1
$k$k，数据宽度	16	32	64	128	$1+w+t$1+w+t

这里$round$round表示四舍五入

  编码中偏置的指数项 $E$E 应该包括：

• 包含 $[1,2^w-2]$[1,2w−2] 的每个整数，用于编码规范数（normal numbers）
• 保留值 $0$0 ，用于编码 $\pm0$±0 和次规范数（subnormal numbers）
• 保留值 $2^w-1$2w−1 ，用于编码 $\pm\infty$±∞ 和 NaNs

  浮点数据的表示形式 $r$r ，以及浮点数据代表的值 $v$v ，由组合字段推断出来，如下所示：

（a） 如果 $E=2^w-1$E=2w−1，并且 $T\neq0$T​=0 ， 则 $r$r 就是 qNaN 或者 sNaN，$v$v 就是 NaN（无论符号位）

（b） 如果 $E=2^w-1$E=2w−1，并且 $T=0$T=0 ， 则 $r$r 和 $v$v 都是 $\large(-1)^S\times(+\infty)$(−1)S×(+∞)

（c） 如果 $1\leqslant E \leqslant2^w-2$1⩽E⩽2w−2，则 $r$r 就是 $\large(S, (E-bias),(1+2^{1-p}\times T))$(S,(E−bias),(1+21−p×T))
对应的浮点数的值$\large v=(-1)^S\times 2^{E-bias}\times(1+2^{1-p}\times T)$v=(−1)S×2E−bias×(1+21−p×T)

（d） 如果 $E=0$E=0，并且 $T\neq0$T​=0，则$r$r就是$\large(S, emin,(0+2^{1-p}\times T))$(S,emin,(0+21−p×T))，
对应的浮点数的值$\large v=(-1)^S\times 2^{emin}\times(0+2^{1-p}\times T)$v=(−1)S×2emin×(0+21−p×T)

（e） 如果 $E=0$E=0，并且 $T=0$T=0，则 $r$r 就是$\large(S,emin,0)$(S,emin,0)，$v$v就是 $\large v=(-1)^S\times (+0)$v=(−1)S×(+0)

注意， 当$k$k是64或以上（32的倍数）时，下面的式子成立：
$k=1+w+t=w+p=32\times ceiling((p+round(4\times log_2(p+round(4\times log_2(p))-13))-13)/32)$k=1+w+t=w+p=32×ceiling((p+round(4×log2​(p+round(4×log2​(p))−13))−13)/32)
$w=k-t-1=k-p=round(4\times log_2(k))-13$w=k−t−1=k−p=round(4×log2​(k))−13
$t=k-w-1=p-1=k-round(4\times log_2(k))+12$t=k−w−1=p−1=k−round(4×log2​(k))+12
$p=k-w=t+1=k-round(4\times log_2(k))+13$p=k−w=t+1=k−round(4×log2​(k))+13
$emax=bias=2^{(w-1)}-1$emax=bias=2(w−1)−1
$emin=1-emax=2-2^{(w-1)}$emin=1−emax=2−2(w−1)

1.4 Decimal interchange format encodings

十进制转换格式编码

有空再说

1.5 Extended and extendable precisions

扩展的和可扩展的精度

有空再说

2. 举个例子

2.1 编码的浮点数转十进制小数

  假设内存中存了一个32位浮点数，十六进制：0x40680000，二进制：0b01000000011010000000000000000000
  图示如下：

根据上面的 [表1.3] 可得：
$p=24$p=24，$bias=127$bias=127，$w=8$w=8，$t=23$t=23

这里$E$E是二进制的10000000，即十进制的128，满足$1\leqslant E \leqslant2^w-2$1⩽E⩽2w−2，可以套公式$\large v=(-1)^S\times 2^{E-bias}\times(1+2^{1-p}\times T)$v=(−1)S×2E−bias×(1+21−p×T)

即$\large v=(-1)^0\times 2^{128-127}\times(1+2^{1-24}\times 11010000000000000000000)$v=(−1)0×2128−127×(1+21−24×11010000000000000000000)

由于这里是二进制，乘以$2^n$2n就是小数点向右移动$n$n个位，若$n$n是负数则向左移动$n$n个位。

于是$\large v=1 \times 2 \times(1+0.101)=1 \times 2 \times1.1101)=11.101$v=1×2×(1+0.101)=1×2×1.1101)=11.101

再转为十进制：$\large v=2^1+2^0+2^{-1}+2^{-3}=3.625$v=21+20+2−1+2−3=3.625