本文是 Bitcoin and Cryptocurrency Technologies 第一章 简介与加密货币技术的密码学底层原语(primitive) 的第一小节，主要简介密码学中的hash函数。介绍3个基本性质(与bitcoin相关的)， 冲突抵抗(collision-free)，隐藏(hiding)，puzzle-friendly（PS:不知咋译…）及其简单应用，然后介绍，在BTC中用的多的 SHA-256Hash函数

本文组织如下:

通用Hash 函数的3个基本性质

• 输入是任意长度的字符串
• 输出是一个固定长度的串，具体的，本书中是256-bits的串
• efficiently computable 计算高效。具体来说，对于一个输入为 n-bit的串计算时间应该是 O(n)$O(n)$

比如说我们用在构造hash table中的hash函数就满足这个性质，举个简单的例子是:

H1(x)=x%2256$H_1(x)=x\mathrm{\%}{2}^{256}$

当然在密码学中的hash函数必须要能有足够的密码安全性，因此还需满足如下3个性质(本书仅需如下3个性质):

• collision-free : 无冲突
• hiding: 隐藏
• puzzle-friendly

下面介绍这几个性质

collision-free 无冲突

他的完整定义是这样的:

给定一个hash函数 H(x)$H(x)$, 不可能找到(infeasible to find)x,y,s.t.x≠y,H(x)=H(y)$x,y,s.t.x\ne y,H(x)=H(y)$

需要注意的是这里说的是计算上的不可行，不是说没有，因为根据鸽巢原理 (PS:你并不需要知道他是什么)，输入的串的个数是远远大于输出的串的个数的，就像你把5个iphone 装入分给3个人，那么总有人会得到两个。

具体来说，如果我们暴力的跑2256+1$2^{256}+1$ 次，那么一定会找到x,y,x≠y,H(x)=H(y)$x,y,x\ne y,H(x)=H(y)$,更加直觉一点，如果你熟悉生日问题

对于一个来自输入为 n$n$种 输出为 m$m$种的系统，他们产生碰撞的概念大约是 [参考自维基百科]

也就是说如果 n=2130,N=2256$n=2^{130},N=2^{256}$, 这个值会达到 99%$99\mathrm{\%}$,可是计算时间上是不可行的

当然我们这里说的是暴力的计算方法，你或许会想，对于某些hash函数比如说举得第一个例子 H1$H_1$, 肯定可以很简单的找到。然而存在一些hash函数并没有这样直接的方法。密码学中使用的hash函数就满足这个性质。 比较interesting的是，并没有人证明这些在密码学中的hash函数就是 collison-free的，仅仅是对于人来说很难找到，也没有被找到过而已，这并不是说这些函数就是无冲突的。(就像没人找到过上帝，然而你不能说上帝不存在)

Application: 消息摘要(massage digest)

由于无冲突性，那么如果我们得到一对hash值H(x)=H(y)$H(x)=H(y)$,我们就可以相信，x=y$x=y$。举个简单的例子就是 MD5码(已被找到冲突)文件版本检测，试想你在互联网上下载了一个版本，怎样才能保证和下载的是一样的呢，一般他都会在旁边给个MD5码，那你下载下来之后不用去和原版本做对比，仅需对比你的MD5码和原来的MD5码就行了。你需要记忆的量就变小了。

Hiding 隐藏性

这个是说

给定一个hash函数H$H$, H$H$是隐藏的，如果从一个低信息量（min-entropy,信息论术语，也就是很随机的分布）的分布中找一个秘钥 key$key$, 那么给定 H(key||x)$H(key||x)$ , 不可能找到x$x$, ‘||’ 符号的意思是链接

简单的来说就是随机的选择这个 key$key$(信息论已证明，等概分布信息熵最大，即最混乱),然后和x$x$链接，计算出 y=H(key||x)$y=H(key||x)$,不可能找到x$x$.

Application:数字承诺(commitment)

下面以一个信封的例子来说明commitment 是什么意思

cmt: 你秘密的选一个值 val$val$， 装到一个信封里，将其密封，然后公布出去
verify：除了你以外没人知道信封里面的消息，而且你不能抵赖，也就是说，你不能欺骗别人，随便说一个消息，因为，打开信封的时候，都能知道里面是什么东西，就能够对你说的进行验证了

然后我们说一下，数字承诺:

可以看到这其实能够与将消息装入信封做出承诺类似的，主要包含两个部分，一个是做出承诺，一个是能验证。具体来说:

H(key||msg),key$H(key||msg),key$ 就相当于公开出去的信封，而msg就是隐藏在信封中的消息，只要自己不公开msg，没人能通过Hash值和key找到msg，但是一旦公布，别人就能验证，而且我们是不可抵赖的，因为由于无冲突性，我们不能找到第二个消息msg′$ms{g}^{\prime }$ 使得H(key|msg)=H(key|msg′)$H(key|msg)=H(key|ms{g}^{\prime })$

puzzle-friendly

如果 hash函数H$H$ 是puzzle-friendly ，那么，对于任意的n−bits$n-bits$ 的输出y$y$, k$k$ 来自于随机分布，H(k||x)=y$H(k||x)=y$, 我们不能找到一个x$x$ 在低于O(2n)$O(2^n)$ 的时间内

也就是说，我们找到x的方法除了暴力搜索整个解空间外，别无它法，或者说，没有比随机选择一个值x$x$ 更好的解决策略。

Application: 搜索谜题Search Puzzle

搜索谜题是这样描述的:

如果H$H$ 是puzzle-friendly 的那么不会有比随机选择x更好的策略。这里|Y|$|Y|$ （这个符号表示集合的元素个数）的大小决定了这个数学游戏的难度。如果Y$Y$包含了所有输出，那你随便找一个x$x$都行，如果，Y$Y$ 仅包含了一个值那么难度最大O(2n)$O(2^n)$ . 这一性质会在BTC挖矿中用到（bitcoin minning）

SHA-256

这是一个在密码学中用的很广的hash函数，现在还没有找到冲突。这里只简单说一下，不准备深入讲解，sha-2 想深入的可以看看这个Wikipedia。

其中的C是一个压缩函数，可以证明如果C是无冲突的那么SHA-256也是无冲突的。他将消息分成n∗512bits$n\ast 512bits$，每一块都进过C，最终得到hash值