目录

https://blog.csdn.net/weixin_45792450/article/details/109314584

---

参数估计问题的重述

在上一节中，我们初步讨论了什么是参数估计问题，它是统计推断中的估计问题。

对统计参数进行估计，主要有两种方法：点估计和区间估计

点估计的核心思想可以概括为离散思想，区间估计的核心思想可以概括为连续思想。对点估计，利用样本的离散值进行参数估计；对区间估计，其利用了区间这一有效工具，通过特定的方法进行一个，在某些方面相对点估计更好的估计方式。

更具体的内容后面一步步展开，在此只是稍作提及。

点估计的认识

设 ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) ({X_1},{X_2},...,{X_n}) (X1​,X2​,...,Xn​)为来自总体 X X X的样本， ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ({x_1},{x_2},...,{x_n}) (x1​,x2​,...,xn​)为相应的样本值， θ \theta θ是总体分布中的未知参数， θ ∈ Θ \theta \in \Theta θ∈Θ.这里 Θ \Theta Θ表示 θ \theta θ的取值范围，称为参数空间。

尽管 θ \theta θ是未知的，但它的参数空间 Θ \Theta Θ是事先知道的.为了估计未知参数 θ \theta θ，我们构造一个统计量 H ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) H({X_1},{X_2},...,{X_n}) H(X1​,X2​,...,Xn​)然后用 H ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) H({X_1},{X_2},...,{X_n}) H(X1​,X2​,...,Xn​)的值 H ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) H({x_1},{x_2},...,{x_n}) H(x1​,x2​,...,xn​)来估计 θ \theta θ的真值。

称 H ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) H({X_1},{X_2},...,{X_n}) H(X1​,X2​,...,Xn​)为 θ \theta θ的估计量，记作 θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat \theta ({X_1},{X_2},...,{X_n}) θ^(X1​,X2​,...,Xn​)；称 H ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) H({x_1},{x_2},...,{x_n}) H(x1​,x2​,...,xn​)为 θ \theta θ的估计值，记作 θ ^ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \hat \theta ({X_1},{X_2},...,{X_n}) θ^(X1​,X2​,...,Xn​)。

在不会引起误会的场合，估计量与估计值统称为点估计，简称为估计，并简记为 θ ^ \hat \theta θ^。事实上， θ \theta θ的估计值是数轴上的一个点，用 θ \theta θ的估计值 θ ^ \hat \theta θ^作为 θ \theta θ的真值的近似值就相当于用一个点来估计8，因此得名为点估计。

注意，估计量是相对于某个具体的未知参数讨论的，不同的未知参数可能需要不同的估计量。

具体的例子：

点估计量的评价

对某一参数的点估计，可以选用不同的估计量，比如对总体 X X X的均值 E ( X ) E(X) E(X)的估计，可以构造估计量

X ˉ = ∑ i = 1 n X i n \bar X = {{\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} } \over n} Xˉ=ni=1∑n​Xi​​

该估计量就是之前我们学过的样本均值。显然， n n n可以任选，那么如何评价不同的估计量效果呢？

评价估计量的标准主要有三个：无偏性，有效性，一致性。具体介绍见下一节。