代数拓扑

(I). $\quad a_{1} b_{1} a_{1}^{-1} b_{1}^{-1} a_{2} b_{2} a_{2}^{-1} b_{2}^{-1} \cdots a_{n} b_{n} a_{n}^{-1} b_{n}^{-1}$a1​b1​a1−1​b1−1​a2​b2​a2−1​b2−1​⋯an​bn​an−1​bn−1​
(II). $\quad a_{1}^{2} a_{2}^{2} \cdots a_{m}^{2}$a12​a22​⋯am2​

知道I-型⽆同向对，表示的是可定向闭曲面$n \mathbb{T}$nT
II-型有同向对，表示不可定向的闭曲面$m \mathbb{R} \mathbb{P}^{2}$mRP2

常见几何图形的多边形表示：

$\mathbb{R} \mathbb{P}^{2}$RP2# $\mathbb{R} \mathbb{P}^{2}$RP2=$K$K

标准化表示的边数

边数$=l-2 v+2$=l−2v+2

欧拉示性数(Euler Characterisic)

欧拉示性数: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \math at position 1: \̲m̲a̲t̲h̲{X}= 顶点数-棱数+ 面数.

$\chi\left(S_{1} \# S_{2}\right)=\chi\left(S_{1}\right)+\chi\left(S_{2}\right)-2$χ(S1​#S2​)=χ(S1​)+χ(S2​)−2