MIT线性代数：9.线性相关性、基、维数
1.向量组的线性相关性
线性相关的定义：给定一组向量（x1,x2,x3...xn），除了他们系数等于0相加后值为0之外，如果还存在一组数使得他们相加等于0，那么称这组向量线性相关，否则线性无关。（也就是零空间N(A)中存在非0向量则为线性无关）
如果一组向量中包含0向量那么这组向量是线性相关的，因为我门可以取任意倍的0向量，其余向量系数取0，那么就可以得到0向量了。
一个二维空间中有三个不共线的向量，问这三个向量线性相关吗？答案是必然线性相关，因为二维空间两个不共线的向量就可以表示整个二维空间了，剩下那个向量肯定是前两个的线性组合，那么这三个向量必然线性相关。
如果一个m*n的矩阵所有列向量线性无关，那么这个矩阵的秩等于n，因为*列都是由主列组合而得到的。
2.向量组“生成”空间
设v1,v2,v3..vn向量生成一个空间，那么这个空间就是包含这些向量的所有线性组合。
如果向量生成空间S，则S 是包含这些向量组合的最小空间。
2.基，维数
如果一个矩阵的列向量既要能生成指定的空间，又要线性无关，那么向量的数量要适当。
基的定义：一组向量v1,v2,v3...vn，他们要满足两个条件：
- 他们是线性无关的，可逆。
- 他们能生成整个空间。
例子：
三维空间最易找到的基是单位阵。但并不是唯一一组。
结论：如果一个矩阵是N维的，那么一组基的向量个数就是N（无论是列空间还是零空间，基向量的个数总是为N）。
由此引出维数，一个空间的维数就是基向量的个数。
例子：
列空间：如图列出了矩阵A的列空间和零空间，那么可以快速发现矩阵A中最多只有两列线性无关，比如第一列和第二列，那么该矩阵的秩为2，也就是列空间的维数，我们可以定义矩阵的秩等于列空间的维数（注意不是矩阵的维数），并且头两列也是矩阵的基，但并是不唯一的，比如第一列和第三列也可以组成一组基，再比如我们自己从A中的列空间组合一个基：
该基是由列空间线性组合得到的，但是他们俩线性无关，所以也是一组基。
零空间：
如图，该矩阵的零空间是2维的，我们是通过给*变量赋值得到的零空间，所以零空间的维数是*变量的数目。
结论：m*n的矩阵，列空间的维数是r，零空间的维数是n-r。