B题 “同心协力”策略研究

问题一

已知条件：项目所用排球的质量为$270g$270g。鼓面直径为 $40 cm$40cm，鼓身高度为 $22 cm$22cm，鼓的质量为 $3.6 kg$3.6kg。队员人数不少于 $8$8 人，队员之间的最小距离不得小于 $60 cm$60cm。项目开始时，球从鼓面中心上方 $40 cm$40cm 处竖直落下，球被颠起的高度应离开鼓面$40 cm 以上，如果低于 $40cm$40cm，则项目停止。项目的目标是使得连续颠球的次数尽可能多。

1.1 球的运动

$m_{b}\frac{d^{2}z}{dt^2}=-m_bg$mb​dt2d2z​=−mb​g
初始时刻：球在碰撞的位置，初速度为$v_b$vb​
$z(0)=0,z'(0)=v_b$z(0)=0,z′(0)=vb​球随时间的位移
$z(t)=v_b-\frac{1}{2}gt^2$z(t)=vb​−21​gt2球随时间的速度$v(t)=v_b-gt$v(t)=vb​−gt
球到最高点的时间
$t_b=\frac{v_b}{g}$tb​=gvb​​
最高高度
$h_b=\frac{v_b^2}{2g}$hb​=2gvb2​​
球回落到碰撞点所需要的时间
$T_b=\frac{2v_b}{g}=2t_b$Tb​=g2vb​​=2tb​
球反弹的高度$h_b$hb​给定，球反弹时的速度
$v_b=\sqrt{2gh_b}$vb​=2ghb​​
球回落到碰撞点的速度
$v_b'=-v_b=-\sqrt{2gh_b}$vb′​=−vb​=−2ghb​​

1.2 球与鼓的碰撞

假设为完全弹性碰撞
假设碰撞前的速度是带$'$′的，碰撞后的速度是不带$'$′的
动量守恒定量
$m_bv_b'+m_dv_d'=m_bv_b+m_dv_d$mb​vb′​+md​vd′​=mb​vb​+md​vd​
能量守恒定律
$\frac{1}{2}m_bv_b'^2+\frac{1}{2}m_dv_d'^2=\frac{1}{2}m_bv_b^2+\frac{1}{2}m_dv_d^2$21​mb​vb′2​+21​md​vd′2​=21​mb​vb2​+21​md​vd2​
$v_b=\frac{(m_b-m_d)v_b'+2m_dv_d'}{m_b+m_d} \quad v_d=\frac{(m_d-m_b)v_d'+2m_bv_b'}{m_b+m_d}$vb​=mb​+md​(mb​−md​)vb′​+2md​vd′​​vd​=mb​+md​(md​−mb​)vd′​+2mb​vb′​​
引入
$k=\frac{m_d}{m_b}$k=mb​md​​
$v_b=\frac{(1-k)v_b'+2kv_d'}{k+1} \quad v_d=\frac{(k-1)v_d'+2v_b'}{k+1}$vb​=k+1(1−k)vb′​+2kvd′​​vd​=k+1(k−1)vd′​+2vb′​​
球从$h_b$hb​处自由落下时，球在碰撞前的速度
$v_b'=-\sqrt{2gh_b}$vb′​=−2ghb​​
要使得球反弹到原来的高度，$v_b=-v_b'=\sqrt{2gh_b}$vb​=−vb′​=2ghb​​，鼓在碰撞前应达到
$v_d'=\frac{v_b}{k}=\frac{\sqrt{2gh_b}}{k}$vd′​=kvb​​=k2ghb​​​

1.3 鼓的运动

假设每个队员的拉力大小均相等，则拉力垂直分量相等，所有队员的水平拉力之和为0。
球在竖直方向的速度为
$F_v=Fsin\theta=-F\frac{z}{l}$Fv​=Fsinθ=−Flz​
两阶线性方程，有两个初始条件和任意常数。
$m_d\frac{d^2z}{dt^2}=-nF\frac{z}{l}-m_dg$md​dt2d2z​=−nFlz​−md​g
令$f=\frac{nF}{m_d}$f=md​nF​
得$\frac{d^2z}{dt^2}=-\frac{f}{l}z-g$dt2d2z​=−lf​z−g
$z(0)=-h_d\quad z'(0)=0$z(0)=−hd​z′(0)=0
解得
$z(t)=(\frac{lg}{f}-h_d)cos(\sqrt{\frac{f}{l}t}-\frac{lg}{f})$z(t)=(flg​−hd​)cos(lf​t​−flg​)$v(t)=\sqrt{\frac{f}{l}}(h_d-\frac{lg}{f})sin(\sqrt{\frac{f}{l}}t)$v(t)=lf​​(hd​−flg​)sin(lf​​t)$v_{max}=\sqrt{\frac{f}{l}}(h_d-\frac{lg}{f})=v_d'$vmax​=lf​​(hd​−flg​)=vd′​$h_d=\sqrt{\frac{l}{f}}v_d'+\frac{lg}{f}=\frac{2t_dv_d'}{π}+\frac{4gt_d^2}{π^2}$hd​=fl​​vd′​+flg​=π2td​vd′​​+π24gtd2​​
为方便所有队员统一行动，要求所有队员看到球反弹至最高点处同时发力，即$t_d=t_b$td​=tb​
$f=\frac{π^2l}{4t_b^2}=\frac{π^2lg}{8h_b}$f=4tb2​π2l​=8hb​π2lg​
每个队员的拉力
$F=\frac{π^2lgm_d}{8nh_b}$F=8nhb​π2lgmd​​

1.4 结果分析

$m_d=3.6kg,l=2m,h_b=0.4m,n=8,g=9.8m/s^2$md​=3.6kg,l=2m,hb​=0.4m,n=8,g=9.8m/s2$F=27.2031(N)$F=27.2031(N)