毕奥·萨伐尔定律

公式汇总：

一般公式：
$dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec{dl}\times\vec{r}}{r^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idlsin\alpha}{r^2}$dB=4πμ0​​r3Idl×r​=4πμ0​​r2Idlsinα​
$\vec{B}=\int d\vec{B}=\int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec{dl}\times\vec{r}}{r^3}$B=∫dB=∫4πμ0​​r3Idl×r​
载流直导线的磁场：$B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(cos\alpha_1-cos\alpha_2)$B=4πaμ0​I​(cosα1​−cosα2​)
无限长载流直导线：$B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}$B=2πaμ0​I​
载流圆线圈轴上的磁场：$B=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}$B=2(R2+x2)23​μ0​IR2​
圆心处：$x=0,B_0=\frac{\mu_0I}{2R}$x=0,B0​=2Rμ0​I​
通电螺线管：$B=\frac{\mu_0nI}{2}(\frac{x_2}{\surd{x_2^2+R^2}}-\frac{x_1}{\surd{x_1^2+R^2}})$B=2μ0​nI​(√x22​+R2x2​​−√x12​+R2x1​​)
对于无限长的螺线管：$B=\mu_0nI$B=μ0​nI

1. 磁现象

1. 一切磁现象都源于电荷的运动。
2. 一切磁力本质上都是电荷之间的作用力。

一切磁现象都源于电荷运动，磁相互作用的本质就是运动电荷（电流）之间的运动。

稳恒磁场：由稳恒电流激发的磁场。

2. 毕奥·萨伐尔定律

2.1 电流元

定义：$I\vec{dl}$Idl为电流元。大小为$Idl$Idl，$\vec{dl}$dl的方向由线元所在处电流的流向来确定。
目的：用积分法来求出任意形状的磁场分布。

2.2 电流元的磁场

大小：$dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec{dl}\times\vec{r}}{r^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idlsin\alpha}{r^2}$dB=4πμ0​​r3Idl×r​=4πμ0​​r2Idlsinα​
真空磁导率：$\mu_0=4\pi\times10^{-7}N\cdot A^{-2}$μ0​=4π×10−7N⋅A−2

运用积分：

$\vec{B}=\int d\vec{B}=\int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec{dl}\times\vec{r}}{r^3}$B=∫dB=∫4πμ0​​r3Idl×r​

• 说明：毕奥·萨伐尔定律只适用于恒定电流。
• 解题步骤：
  1. 建立坐标系。
  2. 分割电流元。
  3. 确定电流元的磁场。
  4. 坐标分解求$dB$dB的分量$dB_x$dBx​,$dB_y$dBy​,$dB_z$dBz​，然后统一积分变量求出$dB_x$dBx​,$dB_y$dBy​,$dB_z$dBz​。
  5. 由$\vec{B}=dB_x\vec{i}+dB_y\vec{j}+dB_z\vec{k}$B=dBx​i+dBy​j​+dBz​k，求总场。

毕奥·萨伐尔定律运用实例

1. 载流直导线的磁场
   $B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(cos\alpha_1-cos\alpha_2)$B=4πaμ0​I​(cosα1​−cosα2​)
   其中，a是点到导线的垂直距离。
   $\alpha_1$α1​是电流入端点与该点与待求点连线之间的夹角。

• 一般情况：$B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(cos\alpha_1-cos\alpha_2)$B=4πaμ0​I​(cosα1​−cosα2​)
• 无限长载流直导线：$\alpha_1=0，\alpha_2=\pi，B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}$α1​=0，α2​=π，B=2πaμ0​I​
• 半无限长载流直导线：(点与其入端平齐)$\alpha_1=\frac{\pi}{2}，\alpha_2=\pi，B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}$α1​=2π​，α2​=π，B=4πaμ0​I​
• 半无限长载流直导线：$\alpha_1=\beta，\alpha_2=\pi，B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}(cos\beta+1)$α1​=β，α2​=π，B=4πaμ0​I​(cosβ+1)
• 载流导线延长线上任意一点的磁场：$\vec{B}=0$B=0

2. 载流圆线圈轴上的磁场

$B=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}$B=2(R2+x2)23​μ0​IR2​
这里的x是待求点到圆线圈圆心处的距离。

圆心处：$x=0,B_0=\frac{\mu_0I}{2R}$x=0,B0​=2Rμ0​I​
如果是圆弧形的电流：$B_0=\frac{\mu_0I}{2R}\frac{\theta}{2\pi}$B0​=2Rμ0​I​2πθ​

3. 载流密绕直螺线管轴上的磁场

我当时上课的时候感觉很疑惑，这里的n匝线圈明明是串联的，为什么$dI=ndxI$dI=ndxI呢？
其实不需要管这里的电流是串联还是并联，因为我们在这里是要考虑电流产生的磁感性强度，所以n匝电流产生的是n倍，或者我们可以从上面讲的载流圆线圈的圆弧形式理解，$B_0=\frac{\mu_0I}{2R}\frac{\theta}{2\pi}$B0​=2Rμ0​I​2πθ​，绕两圈就是$\theta = 2\pi$θ=2π，以此类推。
回到上面的微元形式进行积分。
这里把P点看作是坐标原点，对dx进行积分得：$B=\frac{\mu_0nI}{2}(\frac{x_2}{\surd{x_2^2+R^2}}-\frac{x_1}{\surd{x_1^2+R^2}})$B=2μ0​nI​(√x22​+R2x2​​−√x12​+R2x1​​)
对于无限长的螺线管，$B=\mu_0nI$B=μ0​nI

4. 运动电荷产生的磁场
   运用公式：
   $\vec{B}=\int d\vec{B}=\int \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec{dl}\times\vec{r}}{r^3}$B=∫dB=∫4πμ0​​r3Idl×r​
   常见情况：
   1. 离散运动电荷已知速度，则对一个圆周进行积分，$I=\frac{q}{T}$I=Tq​，这里的T是电荷绕一圈的周期。
      例如：
      
      $-e$−e的原因是，I 的方向与负电荷运动方向相反。
   2. 带电圆环已知每秒绕N转，与之前类似，T=1/N。

3. 磁距

平面载流线圈的磁距：
$\vec{p}_m=I\vec{S}$p​m​=IS
$\vec{S}$S的方向就是法向量的方向。
载流线圈轴线上距圆心很远的场可表示为：
$B=\frac{\mu_0IR^2}{2x^3}=\frac{\mu_0I\pi R^2}{2\pi x^3}=\frac{\mu_0 I\vec{S}}{2\pi x^3}=\frac{\mu_0 p_m}{2\pi x^3}$B=2x3μ0​IR2​=2πx3μ0​IπR2​=2πx3μ0​IS​=2πx3μ0​pm​​
考虑方向：
$\vec{B}=\frac{\mu_0\vec{p}_m}{2\pi x^3}$B=2πx3μ0​p​m​​

当圆电流的半径很小或者讨论远离圆电流处的磁场分布时，把圆电流称作磁偶极子，产生的磁场称为磁偶极磁场。