林轩田机器学习基石笔记（第25节）——VC Bound

在第23-24节我们已经找到了上限函数mH(N)$m_H(N)$，那么是否把它代入到霍夫丁不等式就OK了呢？答案是否定的，我们最终会经过一系列证明把霍夫丁不等式变成如下的样子：

上面的式子最后会变成如下：

以下是证明步骤：

第一步，把无限的Eout(N)$E_{out}(N)$变成有限个

在霍夫丁不等式中，我们知道Ein(N)$E_{in}(N)$是有限的，但是Eout(N)$E_{out}(N)$是无限的，这对我们的计算是极为不利的，所以我们要想办法把Eout(N)$E_{out}(N)$也变为有限多个，这样计算起来就简单很多了。

那么要怎么样才能使Eout(N)$E_{out}(N)$变成有限个呢？办法是有的，假设我们有一个测试集D′$D^{\prime }$，该测试集的数据量为有限的N个，那么原来的Eout(N)$E_{out}(N)$其实就相当于测试机的Ein$E_{in}$，此处我们为了方便区别，我们令为E′in$E_{in}^{\prime }$.那么这三者的关系可以用下图来表示：

从上图可以看出，如果Ein$E_{in}$离Eoout$E_{oout}$很远，则Ein$E_{in}$也离E′in$E_{in}^{\prime }$很远。

现在我们就可以用E′in$E_{in}^{\prime }$来代替Eout$E_{out}$了，但是要加入一些常数（如下图圈起部分），我们可以不管这些常数是怎么来的，因为展开讲会十分麻烦，所以先记住吧。

接下来的第二三步证明我这边也听不懂，这里就不进一步展开了，我们只要记住结论就好了，先跳过吧，知道的同学可以加群讨论。

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