啤酒厂提高亩产问题

t检验历史问题

问题分析

啤酒，主要原料是大麦，啤酒厂肯定是希望尽力提高亩产。

健力士公司有下面两块麦田：

麦田A采用传统A工艺进行种植，平均每株大麦可以结100粒穗子。

麦田B采用改进过的B工艺种植，健力士公司想知道“B工艺是否提高了产量”。

公司从B工艺的麦田中采样了5株大麦，样本均值为120粒穗子。

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假设检验

• 假设：B工艺没有提高产量，即AB下的麦穗服从同一分布。

因此，要进行检验的是样本均值为120的概率高还是不高？

首先可以知道的：

• A工艺下的单株麦穗个数服从：$X\sim(\mu=100,\sigma^2)$X∼(μ=100,σ2)，即已知期望，未知方差。
• B工艺下的麦田样本均值$\overline x = 120$x=120，采样了5株。

根据正态分布图像性质：

• 跨度是由标准差$\sigma$σ决定。

令A的正态分布$X\sim(\mu=100,\sigma^2)$X∼(μ=100,σ2)中标准差$\sigma=2$σ=2：

随机选取五个样本令其平均值为120，、

可见该分布下平均值为120的概率是非常低的。

• 也就是说AB服从同一个分布的可能性很低。
• 我们有很大把握可以认为B工艺真正提高了产量。

增加其跨度，再随机选取五个样本：

可见该分布下平均值为120的概率并不低。

• 也就是说AB服从同一个分布的可能性并不低。
• 我们没有十足的把握可以认为B工艺真正提高了产量。

总结：除了最初的比较两个均值的差$\overline x -\mu_0$x−μ0​，还有标准差$\sigma $造成了影响。与此同时，样本数也会影响结果（大数定律）。

但是A田的标准差$\sigma$σ未知，我们假设AB同分布，即用样本标准差$S$S。

综合考虑三个量$S、\overline X、n$S、X、n，构造了统计量：
$t=\frac{\overline x -\mu_0}{s/\sqrt{n}}$t=s/n​x−μ0​​
那么该统计量则说明了AB工艺导致的差别越大，越有可能说明B工艺提高了产量。

$t$t是服从自由度为$n-1$n−1的$t$t分布的。

假设检验中很重要的一个量-p值便是指求出来的t之后的曲线面积：

如图中所示，t求出来为4，则p值为t=4后的曲线面积。查表得到p=0.01。

此时，如果我们要求5%的显著水平的话（$\alpha=5$α=5，表示原假设为正确时人们却把它拒绝了的概率），那么就可以拒绝原假设AB同分布，也就是拒绝没有提高产量这个假设。

参考资料：马同学高等数学公众号内容
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyMTU0NDMyNA==&mid=2247489064&idx=1&sn=fe18d9755e80b8deb34c72b060315d80&chksm=e83a7cc3df4df5d5e925741941fa1027e602f0af0284a651f0bd5431b24b78e0be65cb2903d0&scene=21#wechat_redirect p值相关