一般形式的加速度梯形算法

已知线段长度 $L$ ，起点速度 $v_0$ ，利用加速度梯形算法计算能达到的最大终点速度和最小终点速度。其中，最大加速度为 $a_m$ 。

计算能达到的最大终点速度 $v_m$

设加加速时最大加加速度为 $J_m$ ，减加速时最大加加速度为 $J'_m=\dfrac{J_m}{\alpha}$ 。

加速到最大加速度时运动的距离S

首先，计算按照最大加加速度，加速到最大加速度 $a_m$ 时运动的距离 $S$ ，其加速度变化示意图如下
一般形式的加速度梯形算法
计算运动的加速度
$\begin{aligned} a=\begin{cases} J_mt, &0\leqslant t\leqslant t_1, \\ a_m-\dfrac{J_m}{\alpha}t, &0\leqslant t\leqslant \alpha t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中， $t_1=\dfrac{a_m}{J_m}$ 。

计算运动的速度
$\begin{aligned} v=\begin{cases} v_0+\dfrac{1}{2}J_mt^2, &0\leqslant t\leqslant t_1, \\ v_1+a_mt-\dfrac{1}{2}\dfrac{J_m}{\alpha}t^2, &0\leqslant t\leqslant \alpha t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中， $v_1=v_0+\dfrac{1}{2}J_mt_1^2=v_0+\dfrac{1}{2}a_mt_1$ 。

计算运动的距离
$\begin{aligned} s=\begin{cases} v_0t+\dfrac{1}{6}J_mt^3, &0\leqslant t\leqslant t_1, \\ s_1+v_1t+\dfrac{1}{2}a_mt^2-\dfrac{1}{6}\dfrac{J_m}{\alpha}t^3, &0\leqslant t\leqslant \alpha t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中， $s_1=v_0t_1+\dfrac{1}{6}J_mt_1^3=v_0t_1+\dfrac{1}{6}a_mt_1^2$ 。

加速到最大加速度时运动的距离 $S$ 为
$\begin{aligned} S&=s_1+v_1\alpha t_1+\dfrac{1}{2}a_m\alpha^2t_1^2-\dfrac{1}{6}J_m\alpha^2t_1^3 \\ &=v_0t_1+\dfrac{1}{6}a_mt_1^2+(v_0+\dfrac{1}{2}a_mt_1)\alpha t_1+\dfrac{1}{3}a_m\alpha^2t_1^2 \\ &=v_0t_1(1+\alpha)+\dfrac{1}{6}a_mt_1^2(1+3\alpha+2\alpha^2). \end{aligned}$

线段的长度 $L>S$

若 $L>S$ ，则整个加速过程包含加加速运动、匀加速运动和减加速运动，其加速度变化示意图如下
一般形式的加速度梯形算法
计算运动的加速度
$\begin{aligned} a=\begin{cases} J_mt, &0\leqslant t\leqslant t_1, \\ a_m, &0\leqslant t\leqslant t_2, \\ a_m-\dfrac{J_m}{\alpha}t, &0\leqslant t\leqslant \alpha t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中， $t_1=\dfrac{a_m}{J_m}$ 。

计算运动的速度
$\begin{aligned} v=\begin{cases} v_0+\dfrac{1}{2}J_mt^2, &0\leqslant t\leqslant t_1, \\ v_1+a_mt, &0\leqslant t\leqslant t_2, \\ v_2+a_mt-\dfrac{1}{2}\dfrac{J_m}{\alpha}t^2, &0\leqslant t\leqslant \alpha t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \begin{cases} v_1&=v_0+\dfrac{1}{2}J_mt_1^2 =v_0+\dfrac{1}{2}a_mt_1, \\ v_2&=v_1+a_mt_2 =v_0+\dfrac{1}{2}a_mt_1+a_mt_2, \\ v_m&=v_2+a_m\alpha t_1-\dfrac{1}{2}J_m\alpha t_1^2 =v_0+\dfrac{1}{2}a_mt_1+a_mt_2+\dfrac{1}{2}a_m\alpha t_1 \\ &=v_0+\dfrac{1}{2}a_mt_1(1+\alpha)+a_mt_2. \end{cases} \end{aligned}$
计算运动的距离
$\begin{aligned} s=\begin{cases} v_0t+\dfrac{1}{6}J_mt^3, &0\leqslant t\leqslant t_1, \\ s_1+v_1t+\dfrac{1}{2}a_mt^2, &0\leqslant t\leqslant t_2, \\ s_2+v_2t+\dfrac{1}{2}a_mt^2-\dfrac{1}{6}\dfrac{J_m}{\alpha}t^3, &0\leqslant t\leqslant \alpha t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \begin{cases} s_1&=v_0t_1+\dfrac{1}{6}J_mt_1^3=v_0t_1+\dfrac{1}{6}a_mt_1^2, \\ s_2&=s_1+v_1t_2+\dfrac{1}{2}a_mt_2^2 =v_0t_1+\dfrac{1}{6}a_mt_1^2+(v_0+\dfrac{1}{2}a_mt_1)t_2+\dfrac{1}{2}a_mt_2^2 \\ &=v_0(t_1+t_2)+\dfrac{1}{6}a_mt_1^2+\dfrac{1}{2}a_mt_1t_2+\dfrac{1}{2}a_mt_2^2, \\ s_m&=s_2+v_2\alpha t_1+\dfrac{1}{2}a_m\alpha^2t_1^2-\dfrac{1}{6}J_m\alpha^2t_1^3 \\ &=v_0(t_1+t_2)+\dfrac{1}{6}a_mt_1^2+\dfrac{1}{2}a_mt_1t_2+\dfrac{1}{2}a_mt_2^2 +(v_0+\dfrac{1}{2}a_mt_1+a_mt_2)\alpha t_1+\dfrac{1}{3}a_m\alpha^2t_1^2 \\ &=v_0(t_1+t_2+\alpha t_1)+\dfrac{1}{6}a_mt_1^2(1+3\alpha+2\alpha^2) +\dfrac{1}{2}a_mt_1t_2(1+2\alpha)+\dfrac{1}{2}a_mt_2^2 \\ &=L. \end{cases} \end{aligned}$ ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧s1s2sm=v0t1+61Jmt13=v0t1+61amt12,=s1+v1t2+21amt22=v0t1+61amt12+(v0+21amt1)t2+21amt22=v0(t1+t2)+61amt12+21amt1t2+21amt22,=s2+v2αt1+21amα2t12−61Jmα2t13=v0(t1+t2)+61amt12+21amt1t2+21amt22+(v0+21amt1+amt2)αt1+31amα2t12=v0(t1+t2+αt1)+61amt12(1+3α+2α2)+21amt1t2(1+2α)+21amt22=L.
于是，可以得到两个一元方程
$\begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{1}{2}a_mt_2^2+\left[\dfrac{1}{2}a_mt_1(1+2\alpha)+v_0\right]t_2 +v_0t_1(1+\alpha)+\dfrac{1}{6}a_mt_1^2(1+3\alpha+2\alpha^2)-L=0, \\ v_m=v_0+\dfrac{1}{2}a_mt_1(1+\alpha)+a_mt_2. \end{cases} \end{aligned}$
求解第一个一元二次方程得到 $t_2$ ，然后代入第二个方程即可得到最大终点速度 $v_m$ 。

线段的长度 $L\leqslant S$

若 $L\leqslant S$ ，则整个加速过程只包含加加速运动和减加速运动，其加速度变化示意图如下
一般形式的加速度梯形算法
计算运动的加速度
$\begin{aligned} a=\begin{cases} J_mt, &0\leqslant t\leqslant t_1, \\ J_mt_1-\dfrac{J_m}{\alpha}t, &0\leqslant t\leqslant \alpha t_1. \end{cases} \end{aligned}$
计算运动的速度
$\begin{aligned} v=\begin{cases} v_0+\dfrac{1}{2}J_mt^2, &0\leqslant t\leqslant t_1, \\ v_1+J_mt_1t-\dfrac{1}{2}\dfrac{J_m}{\alpha}t^2, &0\leqslant t\leqslant \alpha t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \begin{cases} v_1&=v_0+\dfrac{1}{2}J_mt_1^2, \\ v_m&=v_1+J_mt_1\alpha t_1-\dfrac{1}{2}J_m\alpha t_1^2 =v_0+\dfrac{1}{2}J_mt_1^2+\dfrac{1}{2}J_m\alpha t_1^2 \\ &=v_0+\dfrac{1}{2}J_mt_1^2(1+\alpha). \end{cases} \end{aligned}$
计算运动的距离
$\begin{aligned} s=\begin{cases} v_0t+\dfrac{1}{6}J_mt^3, &0\leqslant t\leqslant t_1, \\ s_1+v_1t+\dfrac{1}{2}J_mt_1t^2-\dfrac{1}{6}\dfrac{J_m}{\alpha}t^3, &0\leqslant t\leqslant \alpha t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \begin{cases} s_1&=v_0t_1+\dfrac{1}{6}J_mt_1^3, \\ s_m&=s_1+v_1\alpha t_1+\dfrac{1}{2}J_mt_1\alpha^2t_1^2-\dfrac{1}{6}J_m\alpha^2t_1^3 \\ &=v_0t_1+\dfrac{1}{6}J_mt_1^3 +(v_0+\dfrac{1}{2}J_mt_1^2)\alpha t_1 +\dfrac{1}{3}J_m\alpha^2t_1^3 \\ &=v_0t_1(1+\alpha)+\dfrac{1}{6}J_mt_1^3(1+3\alpha+2\alpha^2) \\ &=L. \end{cases} \end{aligned}$
于是，可以得到两个一元方程
$\begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{1}{6}J_m(1+3\alpha+2\alpha^2)t_1^3+v_0(1+\alpha)t_1-L=0, \\ v_m=v_0+\dfrac{1}{2}J_mt_1^2(1+\alpha). \end{cases} \end{aligned}$
求解第一个一元三次方程得到 $t_1$ ，然后代入第二个方程即可得到最大终点速度 $v_m$ 。

计算能达到的最小终点速度 $v_m$

设减减速时最大加加速度为 $J_m$ ，加减速时最大加加速度为 $J'_m=\dfrac{J_m}{\beta}$ 。

对于减速运动，由于速度值不小于零，因此先判断是否能够减速到零。

判断能否减速到零

按照给定的条件，从零反向加速，计算能达到的最大终点速度 $v_{max}$ 。如果 $v_{max}\geqslant v_0$ ，则能达到的最小终点速度 $v_m=0$ 。以下均假设 $v_{max}<v_0$ ，即 $v_m>0$ 成立。

减速到最大加速度时运动的速度 $V$ 和距离 $S$

计算按照最大加加速度，减速到最大加速度 $a_m$ 时运动的速度 $V$ 和距离 $S$ ，其加速度变化示意图如下
一般形式的加速度梯形算法
计算运动的加速度
$\begin{aligned} a=\begin{cases} -\dfrac{J_m}{\beta}t, &0\leqslant t\leqslant\beta t_1, \\ -a_m+J_mt, &0\leqslant t\leqslant t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中， $t_1=\dfrac{a_m}{J_m}$ 。

计算运动的速度
$\begin{aligned} v=\begin{cases} v_0-\dfrac{1}{2}\dfrac{J_m}{\beta}t^2, &0\leqslant t\leqslant\beta t_1, \\ v_1-a_mt+\dfrac{1}{2}J_mt^2, &0\leqslant t\leqslant t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \begin{cases} v_1&=v_0-\dfrac{1}{2}J_m\beta t_1^2=v_0-\dfrac{1}{2}a_m\beta t_1, \\ v_m&=v_1-a_mt_1+\dfrac{1}{2}J_mt_1^2=v_0-\dfrac{1}{2}a_m\beta t_1-\dfrac{1}{2}a_mt_1 \\ &=v_0-\dfrac{1}{2}a_mt_1(1+\beta). \end{cases} \end{aligned}$
计算运动的距离
$\begin{aligned} s=\begin{cases} v_0t-\dfrac{1}{6}\dfrac{J_m}{\beta}t^3, &0\leqslant t\leqslant\beta t_1, \\ s_1+v_1t-\dfrac{1}{2}a_mt^2+\dfrac{1}{6}J_mt^3, &0\leqslant t\leqslant t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \begin{cases} s_1&=v_0\beta t_1-\dfrac{1}{6}J_m\beta^2t_1^3=v_0\beta t_1-\dfrac{1}{6}a_m\beta^2t_1^2, \\ s_m&=s_1+v_1t_1-\dfrac{1}{2}a_mt_1^2+\dfrac{1}{6}J_mt_1^3 =v_0\beta t_1-\dfrac{1}{6}a_m\beta^2t_1^2+(v_0-\dfrac{1}{2}a_m\beta t_1)t_1-\dfrac{1}{3}a_mt_1^2 \\ &=v_0t_1(1+\beta)-\dfrac{1}{6}a_mt_1^2(\beta^2+3\beta+2). \end{cases} \end{aligned}$
减速到最大加速度时运动的速度 $V$ 和 $S$ 为
$\begin{aligned} \begin{cases} V=v_m=v_0-\dfrac{1}{2}a_mt_1(1+\beta), \\ S=s_m=v_0t_1(1+\beta)-\dfrac{1}{6}a_mt_1^2(\beta^2+3\beta+2). \end{cases} \end{aligned}$

$V\leqslant0$ 或者线段的长度 $L\leqslant S$

若 $V\leqslant0$ 或者 $L\leqslant S$ ，则整个减速过程只包含加减速运动和减减速运动，其加速度变化示意图如下
一般形式的加速度梯形算法
计算运动的加速度
$\begin{aligned} a=\begin{cases} -\dfrac{J_m}{\beta}t, &0\leqslant t\leqslant\beta t_1, \\ -J_mt_1+J_mt, &0\leqslant t\leqslant t_1. \end{cases} \end{aligned}$
计算运动的速度
$\begin{aligned} v=\begin{cases} v_0-\dfrac{1}{2}\dfrac{J_m}{\beta}t^2, &0\leqslant t\leqslant\beta t_1, \\ v_1-J_mt_1t+\dfrac{1}{2}J_mt^2, &0\leqslant t\leqslant t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \begin{cases} v_1&=v_0-\dfrac{1}{2}J_m\beta t_1^2, \\ v_m&=v_1-J_mt_1t_1+\dfrac{1}{2}J_mt_1^2=v_0-\dfrac{1}{2}J_m\beta t_1^2-\dfrac{1}{2}J_mt_1^2 \\ &=v_0-\dfrac{1}{2}J_mt_1^2(1+\beta). \end{cases} \end{aligned}$
计算运动的距离
$\begin{aligned} s=\begin{cases} v_0t-\dfrac{1}{6}\dfrac{J_m}{\beta}t^3, &0\leqslant t\leqslant\beta t_1, \\ s_1+v_1t-\dfrac{1}{2}J_mt_1t^2+\dfrac{1}{6}J_mt^3, &0\leqslant t\leqslant t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \begin{cases} s_1&=v_0\beta t_1-\dfrac{1}{6}J_m\beta^2t_1^3, \\ s_m&=s_1+v_1t_1-\dfrac{1}{2}J_mt_1t_1^2+\dfrac{1}{6}J_mt_1^3 =v_0\beta t_1-\dfrac{1}{6}J_m\beta^2t_1^3+(v_0-\dfrac{1}{2}J_m\beta t_1^2)t_1-\dfrac{1}{3}J_mt_1^3 \\ &=v_0t_1(1+\beta)-\dfrac{1}{6}J_mt_1^3(\beta^2+3\beta+2) \\ &=L. \end{cases} \end{aligned}$
于是，可以得到两个一元方程
$\begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{1}{6}J_m(\beta^2+3\beta+2)t_1^3-v_0(1+\beta)t_1+L=0, \\ v_m=v_0-\dfrac{1}{2}J_mt_1^2(1+\beta). \end{cases} \end{aligned}$
求解第一个一元三次方程得到 $t_1$ ，然后代入第二个方程即可得到最小终点速度 $v_m$ 。

线段长度 $L>S$

若 $L>S$ ，则整个减速过程包含加减速运动、匀减速运动和减减速运动，其加速度变化示意图如下
一般形式的加速度梯形算法
计算运动的加速度
$\begin{aligned} a=\begin{cases} -\dfrac{J_m}{\beta}t, &0\leqslant t\leqslant\beta t_1 \\ -a_m, &0\leqslant t\leqslant t_2, \\ -a_m+J_mt, &0\leqslant t\leqslant t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中， $t_1=\dfrac{a_m}{J_m}$ 。

计算运动的速度
$\begin{aligned} v=\begin{cases} v_0-\dfrac{1}{2}\dfrac{J_m}{\beta}t^2, &0\leqslant t\leqslant\beta t_1 \\ v_1-a_mt, &0\leqslant t\leqslant t_2, \\ v_2-a_mt+\dfrac{1}{2}J_mt^2, &0\leqslant t\leqslant t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \begin{cases} v_1&=v_0-\dfrac{1}{2}J_m\beta t_1^2=v_0-\dfrac{1}{2}a_m\beta t_1, \\ v_2&=v_1-a_mt_2=v_0-\dfrac{1}{2}a_m\beta t_1-a_mt_2, \\ v_m&=v_2-a_mt_1+\dfrac{1}{2}J_mt_1^2=v_0-\dfrac{1}{2}a_m\beta t_1-a_mt_2-\dfrac{1}{2}a_mt_1 \\ &=v_0-\dfrac{1}{2}a_mt_1(1+\beta)-a_mt_2. \end{cases} \end{aligned}$
计算运动的距离
$\begin{aligned} s=\begin{cases} v_0t-\dfrac{1}{6}\dfrac{J_m}{\beta}t^3, &0\leqslant t\leqslant\beta t_1 \\ s_1+v_1t-\dfrac{1}{2}a_mt^2, &0\leqslant t\leqslant t_2, \\ s_2+v_2t-\dfrac{1}{2}a_mt^2+\dfrac{1}{6}J_mt^3, &0\leqslant t\leqslant t_1. \end{cases} \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \begin{cases} s_1&=v_0\beta t_1-\dfrac{1}{6}J_m\beta^2t_1^3=v_0\beta t_1-\dfrac{1}{6}a_m\beta^2t_1^2, \\ s_2&=s_1+v_1t_2-\dfrac{1}{2}a_mt_2^2=v_0\beta t_1-\dfrac{1}{6}a_m\beta^2t_1^2 +(v_0-\dfrac{1}{2}a_m\beta t_1)t_2-\dfrac{1}{2}a_mt_2^2 \\ &=v_0(\beta t_1+t_2)-\dfrac{1}{6}a_m\beta^2t_1^2-\dfrac{1}{2}a_m\beta t_1t_2-\dfrac{1}{2}a_mt_2^2, \\ s_m&=s_2+v_2t_1-\dfrac{1}{2}a_mt_1^2+\dfrac{1}{6}J_mt_1^3 \\ &=v_0(\beta t_1+t_2)-\dfrac{1}{6}a_m\beta^2t_1^2-\dfrac{1}{2}a_m\beta t_1t_2-\dfrac{1}{2}a_mt_2^2 +(v_0-\dfrac{1}{2}a_m\beta t_1-a_mt_2)t_1-\dfrac{1}{3}a_mt_1^2 \\ &=v_0(\beta t_1+t_2+t_1)-\dfrac{1}{6}a_mt_1^2(\beta^2+3\beta+2) -\dfrac{1}{2}a_mt_1t_2(\beta+2)-\dfrac{1}{2}a_mt_2^2 \\ &=L. \end{cases} \end{aligned}$ ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧s1s2sm=v0βt1−61Jmβ2t13=v0βt1−61amβ2t12,=s1+v1t2−21amt22=v0βt1−61amβ2t12+(v0−21amβt1)t2−21amt22=v0(βt1+t2)−61amβ2t12−21amβt1t2−21amt22,=s2+v2t1−21amt12+61Jmt13=v0(βt1+t2)−61amβ2t12−21amβt1t2−21amt22+(v0−21amβt1−amt2)t1−31amt12=v0(βt1+t2+t1)−61amt12(β2+3β+2)−21amt1t2(β+2)−21amt22=L.
于是，可以得到两个一元方程
$\begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{1}{2}a_mt_2^2+\left[\dfrac{1}{2}a_mt_1(\beta+2)-v_0\right]t_2 +\dfrac{1}{6}a_mt_1^2(\beta^2+3\beta+2)-v_0t_1(1+\beta)+L=0, \\ v_m=v_0-\dfrac{1}{2}a_mt_1(1+\beta)-a_mt_2. \end{cases} \end{aligned}$
求解第一个一元二次方程得到 $t_2$ ，然后代入第二个方程即可得到最小终点速度 $v_m$ 。

在最短时间内运动的距离 $\Delta S$

已知起点速度 $v_0$ ，最大速度 $v_m(\geqslant v_0)$ ，最大加速度为 $a_m$ ，加加速时最大加加速度为 $J_m$ ，减加速时最大加加速度为 $J'_m=\dfrac{J_m}{\alpha}$ ，按照加速度梯形算法计算在最短时间内运动的距离 $\Delta S$ 。

加速到最大加速度时速度的变化量 $\Delta V$

首先，计算按照最大加加速度，加速到最大加速度 $a_m$ 时速度的变化量 $\Delta V$ ，其加速度变化示意图如下
一般形式的加速度梯形算法
$\begin{aligned} &t_1=\dfrac{a_m}{J_m}, \\ &\Delta V=\dfrac{1}{2}a_m(t_1+\alpha t_1)=\dfrac{1}{2}a_mt_1(1+\alpha). \end{aligned}$

速度变化量 $(v_m-v_0)>\Delta V$

若 $(v_m-v_0)>\Delta V$ ，则加速阶段包含匀加速过程，其加速度变化示意图如下
一般形式的加速度梯形算法
$\begin{aligned} &t_1=\dfrac{a_m}{J_m}, \\ &v_m-v_0=\dfrac{1}{2}a_mt_1(1+\alpha)+a_mt_2 \Longrightarrow t_2=\dfrac{v_m-v_0}{a_m} -\dfrac{1}{2}t_1(1+\alpha), \\ &\Delta S=v_0(t_1+t_2+\alpha t_1)+\dfrac{1}{6}a_mt_1^2(1+3\alpha+2\alpha^2) +\dfrac{1}{2}a_mt_1t_2(1+2\alpha) +\dfrac{1}{2}a_mt_2^2. \end{aligned}$

速度变化量 $(v_m-v_0)\leqslant\Delta V$

若 $(v_m-v_0)\leqslant\Delta V$ ，则加速阶段不包含匀加速过程，其加速度变化示意图如下
一般形式的加速度梯形算法
$\begin{aligned} &v_m-v_0=\dfrac{1}{2}J_mt_1^2(1+\alpha) \Longrightarrow t_1=\sqrt{\dfrac{2(v_m-v_0)}{J_m(1+\alpha)}}, \\ &\Delta S=v_0t_1(1+\alpha)+\dfrac{1}{6}J_mt_1^3(1+3\alpha+2\alpha^2). \end{aligned}$

加速度梯形算法的完整运动过程

假设已知各运动阶段的时间，如下示意图
一般形式的加速度梯形算法
完整的运动过程包含7个阶段，依次为加加速阶段、匀加速阶段、减加速阶段、匀速阶段、加减速阶段、匀减速阶段、减减速阶段，设起始速度为 $v_0$ ，加加速阶段最大加加速度为 $J_m$ ，减减速阶段最大加加速度为 $J_n$ ，则

运动各阶段加速度为
$\begin{aligned} \begin{cases} 0\leqslant t\leqslant t_1, &a=J_mt, \\ 0\leqslant t\leqslant t_2, &a=J_mt_1, \\ 0\leqslant t\leqslant \alpha t_1, &a=J_mt_1-\dfrac{J_m}{\alpha}t, \\ 0\leqslant t\leqslant t_3, &a=0, \\ 0\leqslant t\leqslant \beta t_4, &a=-\dfrac{J_n}{\beta}t, \\ 0\leqslant t\leqslant t_5, &a=-J_nt_4, \\ 0\leqslant t\leqslant t_4, &a=-J_nt_4+J_nt. \end{cases} \end{aligned}$
运动各阶段速度为
$\begin{aligned} \begin{cases} 0\leqslant t\leqslant t_1, &v=v_0+\dfrac{1}{2}J_mt^2, \\ 0\leqslant t\leqslant t_2, &v=v_1+J_mt_1t, \\ 0\leqslant t\leqslant \alpha t_1, &v=v_2+J_mt_1t-\dfrac{1}{2}\dfrac{J_m}{\alpha}t^2, \\ 0\leqslant t\leqslant t_3, &v=v_3, \\ 0\leqslant t\leqslant \beta t_4, &v=v_4-\dfrac{1}{2}\dfrac{J_n}{\beta}t^2, \\ 0\leqslant t\leqslant t_5, &v=v_5-J_nt_4t, \\ 0\leqslant t\leqslant t_4, &v=v_6-J_nt_4t+\dfrac{1}{2}J_nt^2. \end{cases} \Longleftarrow \begin{cases} v_1&=v_0+\dfrac{1}{2}J_mt_1^2, \\ v_2&=v_1+J_mt_1t_2, \\ v_3&=v_2+J_mt_1\alpha t_1-\dfrac{1}{2}J_m\alpha t_1^2 \\ &=v_2+\dfrac{1}{2}J_m\alpha t_1^2, \\ v_4&=v_3, \\ v_5&=v_4-\dfrac{1}{2}J_n\beta t_4^2, \\ v_6&=v_5-J_nt_4t_5, \\ v_e&=v_6-J_nt_4^2+\dfrac{1}{2}J_nt_4^2 \\ &=v_6-\dfrac{1}{2}J_nt_4^2. \end{cases} \end{aligned}$ ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧0⩽t⩽t1,0⩽t⩽t2,0⩽t⩽αt1,0⩽t⩽t3,0⩽t⩽βt4,0⩽t⩽t5,0⩽t⩽t4,v=v0+21Jmt2,v=v1+Jmt1t,v=v2+Jmt1t−21αJmt2,v=v3,v=v4−21βJnt2,v=v5−Jnt4t,v=v6−Jnt4t+21Jnt2.⟸⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧v1v2v3v4v5v6ve=v0+21Jmt12,=v1+Jmt1t2,=v2+Jmt1αt1−21Jmαt12=v2+21Jmαt12,=v3,=v4−21Jnβt42,=v5−Jnt4t5,=v6−Jnt42+21Jnt42=v6−21Jnt42.
运动各阶段距离为
$\begin{aligned} \begin{cases} 0\leqslant t\leqslant t_1, &s=v_0t+\dfrac{1}{6}J_mt^3, \\ 0\leqslant t\leqslant t_2, &s=s_1+v_1t+\dfrac{1}{2}J_mt_1t^2, \\ 0\leqslant t\leqslant \alpha t_1, &s=s_2+v_2t+\dfrac{1}{2}J_mt_1t^2-\dfrac{1}{6}\dfrac{J_m}{\alpha}t^3, \\ 0\leqslant t\leqslant t_3, &s=s_3+v_3t, \\ 0\leqslant t\leqslant \beta t_4, &s=s_4+v_4t-\dfrac{1}{6}\dfrac{J_n}{\beta}t^3, \\ 0\leqslant t\leqslant t_5, &s=s_5+v_5t-\dfrac{1}{2}J_nt_4t^2, \\ 0\leqslant t\leqslant t_4, &s=s_6+v_6t-\dfrac{1}{2}J_nt_4t^2+\dfrac{1}{6}J_nt^3. \end{cases} \Longleftarrow \begin{cases} s_1&=v_0t_1+\dfrac{1}{6}J_mt_1^3, \\ s_2&=s_1+v_1t_2+\dfrac{1}{2}J_mt_1t_2^2, \\ s_3&=s_2+v_2\alpha t_1+\dfrac{1}{2}J_mt_1\alpha^2t_1^2-\dfrac{1}{6}J_m\alpha^2t_1^3 \\ &=s_2+v_2\alpha t_1+\dfrac{1}{3}J_m\alpha^2t_1^3, \\ s_4&=s_3+v_3t_3, \\ s_5&=s_4+v_4\beta t_4-\dfrac{1}{6}J_n\beta^2t_4^3, \\ s_6&=s_5+v_5t_5-\dfrac{1}{2}J_nt_4t_5^2, \\ s_e&=s_6+v_6t_4-\dfrac{1}{2}J_nt_4^3+\dfrac{1}{6}J_nt_4^3 \\ &=s_6+v_6t_4-\dfrac{1}{3}J_nt_4^3. \end{cases} \end{aligned}$ ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧0⩽t⩽t1,0⩽t⩽t2,0⩽t⩽αt1,0⩽t⩽t3,0⩽t⩽βt4,0⩽t⩽t5,0⩽t⩽t4,s=v0t+61Jmt3,s=s1+v1t+21Jmt1t2,s=s2+v2t+21Jmt1t2−61αJmt3,s=s3+v3t,s=s4+v4t−61βJnt3,s=s5+v5t−21Jnt4t2,s=s6+v6t−21Jnt4t2+61Jnt3.⟸⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧s1s2s3s4s5s6se=v0t1+61Jmt13,=s1+v1t2+21Jmt1t22,=s2+v2αt1+21Jmt1α2t12−61Jmα2t13=s2+v2αt1+31Jmα2t13,=s3+v3t3,=s4+v4βt4−61Jnβ2t43,=s5+v5t5−21Jnt4t52,=s6+v6t4−21Jnt43+61Jnt43=s6+v6t4−31Jnt43.

一般形式的加速度梯形算法

计算能达到的最大终点速度vmv_mvm​

加速到最大加速度时运动的距离S

线段的长度L>SL>SL>S

线段的长度L⩽SL\leqslant SL⩽S

计算能达到的最小终点速度vmv_mvm​

判断能否减速到零

减速到最大加速度时运动的速度VVV和距离SSS

V⩽0V\leqslant0V⩽0或者线段的长度L⩽SL\leqslant SL⩽S

线段长度L>SL>SL>S

在最短时间内运动的距离ΔS\Delta SΔS

加速到最大加速度时速度的变化量ΔV\Delta VΔV

速度变化量(vm−v0)>ΔV(v_m-v_0)>\Delta V(vm​−v0​)>ΔV

速度变化量(vm−v0)⩽ΔV(v_m-v_0)\leqslant\Delta V(vm​−v0​)⩽ΔV