CRF(Conditional Random Field)
⼀个重要的要求是，我们保留了推断的⾼效算法，它与链的长度是线性关系。例如，这要求，在给定观测的条件下，表⽰
的后验概率分布的量
在与转移概率
和发射概率
相乘然后在
上求和或积分之后，我们得到的
上的概率分布与
上的概率分布具有相同的函数形式。这就是说，在每个阶段概率分布不可以变得更复杂，而仅仅是在参数值上发生改变。毫不令人惊讶的是，在多次相乘之后具有这个性质的唯一的分布就是指数族分布。实际应用中最重要的一个例子就是高斯分布。 ——PRML
目录
--------七月在线机器学习笔记
logistic 回归
考虑二分类的情形。
类别C1的后验概率可以写成
(1)
(2)
且
是sigmoid函数。“sigmoid”的意思是“S形”。这种函数有时被称为“挤压函数”，因为它把整个实数轴映射到了⼀个有限的区间中。在许多分类算法中都有着重要的作⽤。
满足下面的对称性：
(3)
且
(4)
对于广义线性模型：类别C1的后验概率可以写成作⽤在特征向量ϕ的线性函数上的logistic sigmoid函数的形式，即
(5)
极大似然估计：
似然函数
(6)
取对数得
(7)
求偏导
(8)
那么，Logistic回归参数的学习规则：
(9)
目标函数
是一个凹函数(二阶导小于0)，因此这里是顺梯度方向
它与 当所有点都有各自独立的分布时，整体服从高斯分布（中心极限定理）的线性回归的参数学习（最小二乘）具有相同的形式
对于K>2个类别的情形
(10)
(11)
即softmax函数（归一化指数）
logistic sigmoid的反函数
一个事件的几率odds，是指该事件发生的概率与不发生的概率的比值。
(12)
被称为logit (odds)函数 。 因其取对数后是线性的，因此称作对数线性模型
对数线性模型的一般形式：
令x为某样本，y是x的可能标记，将logistic/softmax回归的特征
记做
。
(13)
因此本质上
与
是成正比的，而
只是归一化因子。
因此，对数线性模型的一般形式为：
(14)
其中归一化因子【对公式（13）两边对y加和，则左边为1，故得到】：
（15）
那么给定x，预测标记为【分析公式（14）】：
（16）
即 ,在给定x和学习参数w，得到标记
的概率,遍历所有的y，取概率最大的y作为标记。
特征函数的选择
特征函数几乎可以任意选择，甚至特征函数间重叠。比如
词性标注的特征函数：
词性标注是指将，每个单词标记为名词/动词/形容词/介词等。
词性：POS，Part Of Speech
记w为句子s的某个单词，则特征函数可以是：
1.w在句首/句尾（位置相关）
2.w的前缀是anti-/co-/inter-等（单词本身）
3.w的后缀是-able/-ation/-er/-ing等（单词本身）
4.w前面的单词是a/could/SALUTATION等（单词间）
5.w后面的单词是am/is/are/等（单词间）
6.w前面两个单词是would like/there be等（单词和句子）
高精度的POS会使用超过10万个特征
注意：每个特征只和当前词性有关，最多只和相邻词的词性有关；
但特征可以和所有词有关
比如，下图所示：Y2只与前一个状态Y1有关，但Y2或Y1可以与整个X序列有关
词性标注的三个问题
词性标注被称为“结构化预测”，该任务与标准的类别学习任务存在巨大不同：
1)如果每个单词分别预测，将丢失众多信息；
--相邻单词的标记是相互影响的，非独立。
2)不同的句子有不同的长度；
--这导致不方便将所有句子统一成相同长度向量【尽管有类似的one-hot编码，但用于做词性标注代价过高】
3)标记序列解集与句子长度呈指数级增长
--如上图所示，解集有
个；这使得穷举法几乎无法使用
线性条件随机场
设X=(X1,X2…Xn)和Y=(Y1,Y2…Yn)均为线性链表示的随机变量序列，若在给定随机变量序列X的条件下，随机变量序列Y的条件概率分布P(Y|X)构成条件随机场，即满足马尔科夫性
则称P(Y|X)为线性链条件随机场。
在标注问题中，表示输入序列或称观测序列（n个词的序列），
表述对应的输出标记序列或称状态序列(词性)。
定义，同公式（14）：
（17）
次特征
定义句子的第
个特征
是由若干次特征
组合而成的，这里的
依赖或部分依赖【当前词的状态可能与前一个词的状态无关】于当前整个句子
、当前词的标记
、前一个词的标记
、当前词在句子中的位置
。
（18）
将每个位置上的次特征
相加，即得到特征
,从而解决训练样本变长的问题。
CRF的三个问题
1）CRF的概率计算问题
前向后向算法
2）CRF的参数学习问题IIS：改进的迭代尺度算法
3）CRF的预测算法Viterbi算法
概率计算问题
给定一组训练样本（x,y）找出权向量w，使得公式（16）成立：
满足上式的w，即为最终的推断参数
参数推断的两个难点
1) 如果给定x和w，如何计算哪个标记序列y的概率最大？--前面词性标注问题3)-指数级
（19）
2) 如果给定x和w，p(y|x,w)本身如何计算？
----归一化因子
与所有的可行标记
有关，不容易计算
状态关系矩阵
根据公式（19）和公式（18），得
（20）
（21）
经过上述转换问题变成求
的加和最大问题，然而
的状态转移矩阵【m为标记（词性）的数目】
利用前向概率选择最大标记序列
称
为前向得分（概率），表示第k个词的标记为v的最大得分值（将得分值归一化后即为概率），
（22）
得递推公式：
（23）
时间复杂度：
,标记数目为m，句子包含的单词数目为n
计算概率
由公式（21）：
得
(24)
经过上述转换，问题变为对状态转移矩阵
，然后进行矩阵连乘，再求加和。
那么，定义
因为起始位置的词没有依赖
;结束位置词没有依赖
；
对于
,任选 某u=start状态
对于
,任选某v=stop状态
矩阵连乘：
从而，
（25）
时间复杂度：
参数学习问题
对于监督学习，根据训练集合（x,y）直接用大数定理：频率估计概率P(x,y)
方法：求对数目标函数的驻点
公式（17）：
取对数
（28）
求偏导（计算梯度）
（29）
梯度上升：
（30）
预测问题
使用Viterbi算法,等价于前向得分
CRF是判别模型——给定x，判断P(y|x,w)的概率；HMM/LDA是生成模型——
CRF部分理论解释
无向图模型
NB-Naive Bayesian
有向图模型，又称作贝叶斯网络(Directed Graphical Models, DGM, Bayesian Network)
--事实上，在有些情况下，强制对某些结点之间的边增加 方向是不合适的。
使用没有方向的无向边，形成了无向图模型 (Undirected Graphical Model,UGM), 又称马尔科夫随机场或马尔科夫网络(Markov Random Field, MRF or Markov network)
条件随机场
设X=(X1,X2…Xn)和Y=(Y1,Y2…Ym)都是联合随机变量，若随机变量Y构成一个无向图G=(V,E)表示的马尔科夫随机场(MRF)，则条件概率分布P(Y|X)称为条件随机场(Conditional Random Field, CRF)
X称为输入变量、观测序列
Y称为输出序列、标记序列、状态序列
大量文献将MRF和CRF混用，包括经典著作。
一般而言，MRF是关于隐变量(状态变量、标记变量)的图模型，而给定观测变量后考察隐变量的条件概率，即为CRF。
但这种混用，类似较真总理和周恩来的区别。有时候没必要区分的那么严格
混用的原因：在计算P(Y|X)时需要将X也纳入MRF中一起考虑
DGM转换成UGM
约定俗成的方法是，将有向边转换成无向边，将有共同孩子的结点之间连接
----注意：这样可能导致信息量发生了变化，比如上图，对于贝叶斯网络，给定2时，4和5应该是条件独立的；但是转换成马尔科夫网络，4和5之间有边连接，则结点间的信息相互独立性已经发生变化，也就是条件独立性的破坏【这样做的原因可能是变化影响相对较小】
MRF的性质
成对马尔科夫性（parewise Markov property）
设u和v是无向图G中任意两个没有边直接连接的结点，G中其他结点的集合记做O；则 在给定随机变量Yo的条件下，随机变量Yu 和Yv条件独立。
即：
局部马尔科夫性（local Markov property）
设v是无向图G中任意一个结点，W是与v有 边相连的所有结点，G中其他结点记做O； 则在给定随机变量Yw的条件下，随机变量 Yv和Yo条件独立。
即：
全局马尔科夫性（global Markov property）
设结点集合A，B是在无向图G中被结点集合 C分开的任意结点集合，则在给定随机变量 YC的条件下，随机变量YA和YB条件独立。
即：
举例，
三个性质的等价性
根据全局马尔科夫性，能够得到局部马尔科夫性；
根据局部马尔科夫性，能够得到成对马尔科夫性；
根据成对马尔科夫性，能够得到全局马尔科夫性；
事实上，这个性质对MRF具有决定性作用：
满足这三个性质(或其一)的无向图，称为MRF。
团和最大团
无向图G中的某个子图S，若S中任何两个结 点均有边，则S称作G的团(Clique)。
若C是G的一个团，并且不能再加入任何一个G 的结点使其称为团，则C称作G的最大团 (Maximal Clique)。
举例
团：{1,2}, {1,3}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {3,5},{1,2,3}, {2,3,4}
最大团：{1,2,3}, {2,3,4}, {3,5}
Hammersley-Clifford定理
UGM的联合分布可以表示成最大团上的随机变量的函数的乘积的形式；这个操作叫做UGM的因子分解 (Factorization)。
比如上图的联合分布可以表示为：
UGM的联合概率分布P(Y)可以表示成如下形式：
其中，C是G的最大团，是C上定义的严格正函数，被称作势函数(Potential Function)。因子分解是在UGM所有的最大团 上进行的。
CRF总结
条件随机场是给定输入的条件下，关于输出的条件概率分布模型，根据Hammersley-Clifford定理，可以分解成若干关于最大团的非负函数的乘积，因此，常常将其表示为参数化的对数线性模型。
线性链条件随机场使用对数线性模型，关注无向图边的转移特征和点的状态特征，并对每个特征函数给出各自的权值。
概率计算常常使用前向-后向算法；
参数学习使用MLE建立目标函数，采用IIS做参数优化；
线性链条件随机场的应用是标注/分类，在给定参数和观测序列(样本)的前提下，使用Viterbi算法进行标记的预测。
标记序列y要求链状，但x无要求，除了一维的词性标注，中文分词，还可以用于离散数据（如用户信息画像），或二维数据（如图像分隔） 等。
缺点：有监督学习计算参数、参数估计的速度慢。