如何理解统计中的特征函数？
先说结论，特征函数是随机变量的分布的不同表示形式。
一般而言，对于随机变量的分布，大家习惯用概率密度函数来描述。
比如说：
意思就是服从正态分布，对应的概率密度函数如下：
虽然概率密度函数理解起来很直观，但是确实随机变量的分布还有另外的描述方式，比如特征函数。
1 关于特征
1.1 剪影
下面是两个剪影：
是同一个人吗？不知道，看不清楚，不过如果知道这两个剪影的特征，比如：
-
名字
-
血型
-
身高
-
声音
-
...
以上特征如果都一样，那么：
1.2 泰勒级数
根据泰勒级数可知，两个函数的各阶导数相等的越多，那么这两个函数越相似：
也即是：
关于泰勒级数请查看这两篇文章：“泰勒公式,上”、“泰勒公式,下”。
那么，随机变量分布的特征有吗？
2 随机变量分布的特征
随机变量的特征有如下：
-
期望
-
方差
-
偏态
-
峰态
-
...
这些特征具体是什么含义就不解释了，说来话长。不过这些特征都跟随机变量的“矩”有关系。
比如期望：
方差：
偏态：
可见这些特征都和各阶矩有关系。
直觉上可以有以下推论：
3 特征函数
随机变量的特征函数定义为：
为什么这么定义呢？首先，的泰勒级数为：
代入可以推出：
原来特征函数包含了分布函数的所有矩，也就是包含了分布函数的所有特征啊。
有数学家是这么形容特征函数（特征函数是下面文中的生成函数的一种）：
A generating function is a clothesline on which we hang up a sequence of numbers for display.
(生成函数是一列用來展示一串数字的晾衣架。)
----Herbert Wilf
特征函数看上去确实像把各阶矩串在绳子上：
所以我们可以进一步完善刚才的结论：
所以，特征函数其实是随机变量的分布的另外一种描述方式。
4 傅立叶变换
关于傅立叶变换可以参考以下文章：
4.1 特征函数是共轭傅立叶变换
假设某连续随机变量的概率密度函数为
，那么可知：
特征函数是：
而的傅立叶变换为：
可见两者是共轭的关系：
也就是说，特征函数是的共轭傅立叶变化，共轭在这里影响不大，下面把特征函数当作傅立叶变换来理解。
4.2 特征函数相当于换了一个坐标系
傅立叶变换是什么？就好比在直角坐标系下，圆的方程为：
图示如下：
在极坐标系下，同样的圆的方程为：
坐标系下的图像为：
同一个数学对象，在不同坐标系中，有不同的表达形式：
傅立叶变换和直角坐标、极坐标的情况类似，相当于换了坐标系。
矩形波在时域“坐标系”中是这样的：
代数形式如下：
在频域“坐标系”中的图像如下：
代数形式如下（傅立叶变换有很多形式，本文采用下面这种形式）：
也是同一个数学对象，在不同“坐标系”中，有不同的表达方式：
所以，特征函数是把分布函数换了一个坐标系，当然是分布函数的另外一种表现形式：
5 特征函数的好处
正如把直角坐标系换到极坐标系，可以获得一些计算上的便利。
特征函数把分布函数换到另外一个坐标系，也可以获得一些计算的好处：
-
假如我们不知道分布函数，但是通过实验算出了期望、方差、偏度、峰度等，那么可以用特征函数去代替分布函数
- 两个分布函数的卷积：
通过特征函数更换坐标系后，可以变为更容易计算的乘法：
- 通过对
求导，可以简单求出各阶矩：
-
...