改进的张神经网络有限时间收敛时变线性方程组求解总结
本文根据《Improved Zhang neural network with finite-time convergence for time-varying linear system of equations solving 》做的总结。
该论文提出了一个改进的张神经网络(IZNN)有限时间收敛时变线性方程组求解，这种神经网络由一系列连续符号双功率(SBP)函数**。
基于梯度神经网络(GNN)可以实时解决常数（静态、时不变）线性方程组问题。无限时间收敛；
原始张神经网络(OZNN)可以解决时变和时不变的矩阵问题，包括线性方程组问题。OZNN及其变体被视为第一个关于时变问题求解的系统研究。无限时间收敛；
新类型的张神经网络(NTZNN)采用一个signum**函数数组，有限时间收敛；但由于signum函数是不连续函数，所以NTZNN合成的解可能在平衡点附近震荡一定程度。与之不同的是，我们提出IZNN产生的解能够很好的收敛到理论解，不震荡。
时变线性方程组问题公式：
OZNN（无限时间收敛）
-
构造一个向量值误差函数：
-
使e(t)向0接近：
k>0表示收敛参数，φ(·)表示**函数，以下是OZNN的两种**函数：
ε≥2, p≥ 3
-
将（2）式求导代入
对于使用上述两个**函数的OZNN模型，给出以下结果以保证其收敛性.
命题1.给定时变和可逆矩阵A（t），通过采用线性**函数，无论初始条件x（0）∈Rn是什么，OZNN模型的神经状态x（t）∈Rn， 将指数(无限时间）收敛（收敛率为κ）到线性方程组（1）的理论解x *（t）= A-1（t）b（t）。 此外，如果采用power-Sigmoid**功能，与线性情况相比可以实现优越的收敛性能。
NTZNN（有限时间收敛）
SGN（·）：Rn→Rn是矢量值**函数数组
命题2.给定时变和可逆矩阵A（t），无论初始条件x（0）∈Rn是什么，NTZNN模型（4）的神经状态x（t）∈Rn将收敛于理论解 x *（t）=在有限时间内的线性方程组（1）的A-1（t）b（t）。
IZNN
SBP代表矢量形式的非线性**函数
参数q ∈ (0, 1)
定理1.给定时变和可逆矩阵A（t），无论初始条件x（0）∈Rn是什么，IZNN（6）的神经状态x（t）∈Rn将收敛到理论解x * （t）=有限时间内的线性方程组（1）的A-1（t）b（t）
其中e +（0）和e-（0）分别表示初始误差向量e（0）= A（0）x（0） - b（0）
的最大和最小项。
证明：鉴于e（t）= A（t）x（t）-b（t），我们有e˙（t）=A˙（t）x（t）+ A（t）x˙（t） - b˙（t）。 将e（t）和e˙（t）代入（6）：
这说明e(t)在时间段之后收敛为0，
当e-(t) 等于0，
e-(t) 等于0
当 e+(t)等于0，
e+(t)等于0。
t+ f 、t- f 表示e+(t)、e−(t)的收敛时间
结论：
NTZNN（4）可以写成在不失一般性的情况下，假设ei（t）的初始值ei（0）大于零，即，ei(0) > 0.因此，上面的等式减少到：
这意味着ei（t）将以绝对速度κ向零值移动。因此，在某个时刻tc1，ei（tc1）= 0.根据sgn函数（5）的定义，ei（t）的速度（即˙ei（t））在瞬间TC1应为零。然而，考虑到˙ei（tc1 - 0）= - κ和ei（t）的惯性，这在模拟和实践中不会立即发生，这意味着ei（t）通过零值并继续沿着原始方向（即下降方向）持续一段时间，然后向后移回零值（鉴于此时间段内的ei（t）<0和˙ei（t）=κ> 0）。在另一时刻tc2，ei（tc2）= 0。出于同样的原因，ei（t）通过零值并继续移动（沿着增加的方向）。这种情况可能会持续数次，这表明NTZNN（4）产生的解决方案将在平衡点附近振荡一定程度。而对于IZNN（6），采用的sbp函数是连续的，因此不会发生上述振荡现象。