关于SVM学习问题-outline松弛问题的理解（异常点)

SVM详见下文

https://blog.****.net/v_july_v/article/details/7624837

今天主要又拿到相关的问题，重新review了一下关于outline的部分。

 

1.3章节

    定义函数间隔（用表示）为：

从上述函数间隔和几何间隔的定义可以看出：几何间隔就是函数间隔除以||w||，而且函数间隔y*(wx+b) = y*f(x)实际上就是|f(x)|，只是人为定义的一个间隔度量，而几何间隔|f(x)|/||w||才是直观上的点到超平面的距离。

为样本x到超平面的距离

在此表达式中，可转达为 = ||w|| * (x-x0)/w  即最大化所有参数的之和，可视作最大化||w||

(其实||w||和之间没有本质区别，只是一个单位转换，即为1.3、函数间隔Functional margin与几何间隔Geometrical margin 所描述)

||w||为w的二阶范数，是单位向量。

二阶范数指矩阵A的2范数，就是A的转置共轭矩阵与矩阵A的积的最大特征根的平方根值，是指空间上两个向量矩阵的直线距离。类似于求棋盘上两点间的直线距离。

 

 

2.3章节主要从拉格朗日乘子角度进行阐述。可以参见下文。即这个算法同样潜在要求”凸优化“的前置条件，当凸优化不存在时可能得到局部最优解。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/55532322

  是一个参数，用于控制目标函数中两项（“寻找 margin 最大的超平面”和“保证数据点偏差量最小”）之间的权重。注意，其中  是需要优化的变量（之一），而  是一个事先确定好的常量。完整地写出来是这个样子：

即允许存在部分偏差值。

吴恩达网课对此部分的表述是：

 

即可以看到，两者的表述其实是非常类似的。

从这个视角来看，我们可以发现其实还是吴恩达的更好理解一些。

在吴恩达文档中的thetaj即为||w||（2-范数),而即为SVM函数中的loss值（如果大部分数值都是符合预期的，则yf(x)=0;只有极少部分非0的项目会被求和。

也就是说，当存在个别loss点时，是可以被容忍的。只要这一情况下可以取得代偿性的更小的theta的值或者消除了其他loss点

1.如果消除了其他loss点(即第一项变小），说明除异常点以外的一部分点的thetaT·x部分变小(标准优选策略,3.4章节最小二乘法)

2.如果是theta变小(且第一项不变或变大）：因为|f(x)|即为每个x到分割线的距离，在X不变的情况下theta变小了，进而导致了部分第一项从0变成非0，可以理解为其实际分界margin变大(即部分点从分界线以外进入到了分界线以内，被视作异常点(含刚才讨论的个别loss点),但其他非loss点的实际margin变大了)

~~~另一种数学视角解释是：

在标准模型下：吴恩达第一项为0（全部在margin以外),当允许松弛时，1/||w||即为margin的一半,是需要我们最大化的。为了让1/||w||更小（margin)，我们接受了第一项的增大

 

另注：吴恩达ppt中未描述 松弛变量的取值限制问题。