这门课的重要性不言而言，它是解释线性代数的来源以及它可以怎么用的重点，而在学校里面，我们只能够学到它的定义和计算方式。

1   向量是什么？

1.1问题

• 向量是什么？

         学物理的说是空间的一个箭头，学计算机的说是列表。而学数学的说，向量可以是任何东西，只需要满足向量加法和数乘的法则都可以叫向量。不过为了学了线性代数的几何，我们暂时认为它是箭头吧。

这和数学仅仅是一些数字和定义在其上的一些运算，多么相似。

• 向量的加法和数乘在坐标系中分别代表什么？（向量就这两种基本运算，点积，叉积都是在其之上的）

比如v+w,在坐标系中表示先沿着v走一段路，再平移w走一段路，最后走到的地方就是和。

而数乘表示拉伸或者缩短向量。

这不禁让我想起概率图模型的理论原理是如此简单。

 

 

 

2  线性组合、张成的空间和基

• 基向量是什么？

当我们把一个向量当成标量的时候，那么它的数值（坐标系位置）就是对基向量的缩放得到。仅仅依靠基向量，我们就可以获得获得二维空间所有箭头。

 

• 线性组合？

当我们书写av+bw，a，b是常数，v和w是向量。我们也可以获得一个结果向量，这个结果向量就是v和w经过线性组合得到的。

那么线性的意思是什么？如果固定a，而仅仅改变b那么结果向量就只能在一条直线上运动了。

经过v和w的线性组合（包括加和数乘），我们可以二维空间获得所有的二维向量，那么所有二维向量组成的空间被称为给定向量张成的空间。扩展到三维也是一样的。（前提是v和w不共线）

这里需要记住：线性代数紧紧围绕向量的加法和数乘法则。

 

• 线性相关、线性无关

比如二维空间内，v和w共线，就是w落在v的空间（线）上。表示w对张成空间没啥贡献，它可以由v来描述。我们称v和w线性相关或者w可以写成v的线性组合。

如果v和w都对张成空间有贡献，每个都提供了一个维度，我们称v和w线性无关。

 

最后：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。

 

 

3  矩阵和线性变换

 

考虑上图中的v=-1i+2j，其中i和j都是经过最原始的[1,0]和[0,1]变换之后的东西，所以我们想要知道变换之后的i和j的线性组合得到v。其中变换后的i和j都是二维的基了，而它们变换的对象就是[-1,2],

 

 

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