三维点云处理：2 PCA(Principle Component Analysis主成分分析)和K-PCA

PCA(Principle Component Analysis主成分分析)

PCA（Principal Components Analysis）主成分分析，应用于点云预处理，平面检测，法向量求解，降维、分类，解压（升维），用PCA对点云中的点分类，地面点，墙面点，物体上的点等，然后再做其他处理。
PCA是将三维投影到某个面上，用于发现其主要方向。面的选择依据是选择尽量使得点的分布方差最大，分布较散的面。例如：

一、 在正式介绍PCA前我们先说一些基础的数学概念和两个公式：

向量的内积：就是一个向量投影到另一个向量上去：

矩阵和向量的积就是向量和线性的组合：

SVD:Singular Value Decomposition:M=U∑V* ，也就是对一个矩阵旋转、伸缩、再旋转的过程。
1、谱定理：又叫普分解，适用于对称矩阵，也就是说可以用它的特征值特征向量的线性组合表示。
下图摘自《矩阵论》，感觉更容易理解：
二、瑞利熵：
下图摘自《矩阵论》，感觉比老师讲的更容易理解：


基础over

二、Principle Component Analysis(PCA)解释和推导：

1、PCA输入:多个高维向量的点，输出：多个点的主要向量，主要方向。

什么是主成分：使得投影数据点在该方向上的方差最大的一个方向。
如何得到次主成分：把主成分去掉再来一次PCA，第三四成分依次。
步骤：
首先将数据规范化为零均值：

然后对于每一个点，将其点投影到z上去：

计算方差：

PCA要做的事情就是计算方差最大值，也就是红框内的最大值。即求：

此时将括号内看作一个矩阵的话，可以使用瑞丽熵和谱定理求解：
对X使用SVD:

有：

如果特征值由大到小排列，那么 Ur 的第一列就是最大特征值对应的特征向量。至此，我们找到了一个主方向，数据在这个方向上投影后，方差最大。U1=Z1
次方差求解：从原始数据中减去z1后在进行一次。将所有数据点投入到U1上再减去U1，写成矩阵的形式：

去掉最主要成分的点，使用SVD有:

所以U2：

U2=Z2，Z3,A4依次计算即可。
总结：
1、去中心化 .
2、计算协方差H，使用SVD分解，按照特征向量大小从大到小排列.
3、主要方向就是 Ur中的列向量.

三、PCA应用：

1、降维（压缩）：

就从n维降到了l维
2、解压:就是从l再到n

更多例子：

四、kernel-PCA:

上述PCA为线性PCA，那么怎么处理非线性问题呢？例如下面这种问题：

如果使用线性PCA，红绿会混在一起，并不能给出有效信息，这时候不妨对其进行升维操作，就会变得很直观：


上述操作即为Kernel-PCA,核PCA，
步骤：
1、假设均值为0：
2、计算H：
3、解特征值和特征向量：

证明：将H 的定义带入：

因为：

所以我们现在只要找aj就可以了。

将刚刚的结果带入有：

然后我们定义：
用左边代替上述结论，有：
两边同时乘一个：

得：

此时定义一个格拉姆矩阵K：

因为K是内积，可调换位置，所以K是对称的。所以

可以改写为：

依然没有办法求解，因为划线的函数依然未知，可以采取：


去中心化：

常用的核函数：

只能通过经验和实验来确定使用哪个。
总结：
1、选择一个上述核函数，组合成：

2、

3、解K特征值：

4、

5、

结果示例：
处理前：

选择二次多项式：

结果:

选择高斯核函数：

结果：

以上公式和图片基本来自于老师上课PPT，部分参考别的博主，部分摘自自己学的书里，仅作为存稿、学习，交流使用，不进行商业化活动。
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