线性代数之——正定矩阵

这部分我们关注有正特征值的对称矩阵。如果对称性使得一个矩阵重要，那么所有特征值大于零这个额外属性则让这个矩阵真正特殊。但我们这里的特殊并不是稀少，事实上在各种应用中具有正特征值的对称矩阵非常常见，它们被称作正定矩阵。

我们可以通过检查特征值是否大于零来识别正定矩阵，但计算特征值是一项工作，当我们真正需要它们的时候我们可以进行计算，而如果我们仅仅想知道它们是否是正的，我们有更快的方式。

1. 正定矩阵的判断

首先，由于矩阵是对称的，所有的特征值自然都是实数。让我们以一个 2×2 的矩阵开始，

$A = \begin{bmatrix} a&b \\b&c\end{bmatrix}$A=[ab​bc​]

A 的特征值是正的当且仅当 $a > 0$a>0 并且 $ac-b^2>0$ac−b2>0。

如果 2×2 矩阵的特征值 $\lambda_1>0$λ1​>0，$\lambda_2>0$λ2​>0，那么它们的乘积等于行列式， $\lambda_1\lambda_2=|A|=ac-b^2>0$λ1​λ2​=∣A∣=ac−b2>0，它们的和等于矩阵的迹，$\lambda_1+\lambda_2=a+c>0$λ1​+λ2​=a+c>0，所以 $a$a 和 $c$c都必须是正的。

A 的特征值是正的当且仅当主元是正的。

这连接了线性代数的两大部分，正的特征值意味着正的主元，反之亦然。而且，主元往往比特征值计算得更快。

• 基于能量的定义

$Ax=\lambda x \to x^TAx=\lambda x^Tx=\lambda ||x||^2>0$Ax=λx→xTAx=λxTx=λ∣∣x∣∣2>0

所以，如果特征值大于零，$x^TAx$xTAx 对于所有的特征向量也大于零。事实上，不仅仅是特征向量，针对任意非零向量 $x$x，上式也同样成立。

A 是正定的，如果有 $x^TAx > 0$xTAx>0 对任意非零向量都成立。

从这个定义中我们可以得出，如果 $A, B$A,B 是对称的正定矩阵，那么 $A+B$A+B 也是.

如果 $R$R 的列是不相关的，那么 $A=R^TR$A=RTR 是正定的。

$x^TAx=x^TR^TRx=(Rx)^TRx=||Rx||^2$xTAx=xTRTRx=(Rx)TRx=∣∣Rx∣∣2

因为 $R$R 的列是不相关的，所以针对任意非零向量 $x$x，$Rx \not = \boldsymbol{0}$Rx​=0。

当一个对称的矩阵具有下列五个属性之一，那么它一定满足所有的属性。

• 1. 所有的 $n$n 个主元是正的。
• 2. 所有的 $n$n 个左上行列式是正的，也就是 $1×1, 2×2 \cdots n×n$1×1,2×2⋯n×n 的行列式。
• 3. 所有的 $n$n 个特征值是正的。
• 4. $x^TAx>0$xTAx>0 除了零向量。
• 5. $A=R^TR$A=RTR 对于一个有着不相关列的矩阵 $R$R。

2. 半正定矩阵

经常情况我们会在正定的边缘，行列式为零，最小的特征值为零，这些在边缘的矩阵被称为半正定矩阵。

$A$A 的特征值为 5 和 0，左上行列式为 1 和 0，它的秩为 1，可以被分解为具有相关列的矩阵 $R^TR$RTR。

如果将元素 4 增加一个任意小的数字，那么矩阵将会变成正定的。同样地， $B$B 也可以写成 $R^TR$RTR 的形式，但是 $R$R 的列肯定是相关的。

3. 第一个应用：椭圆 $ax^2+2bxy+cy^2=1$ax2+2bxy+cy2=1

1. 倾斜的椭圆和矩阵 A 联系在一起，$x^TAx=1$xTAx=1。
2. 排好的椭圆和矩阵 $\Lambda$Λ 联系在一起，$X^T\Lambda X=1$XTΛX=1。
3. 将椭圆排好的旋转矩阵则是特征向量矩阵 $Q$Q。

针对椭圆方程 $5x^2+8xy+5y^2=1$5x2+8xy+5y2=1，我们有：

$\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 &4 \\ 4& 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 1 \quad A = \begin{bmatrix} 5 &4 \\ 4& 5 \end{bmatrix}$[x​y​][54​45​][xy​]=1A=[54​45​]

将 $A$A 分解为 $Q\Lambda Q^T$QΛQT 我们得到：

$\begin{bmatrix} 5 &4 \\ 4& 5 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol 9&0 \\ 0&\boldsymbol 1 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}$[54​45​]=2​1​[11​1−1​][90​01​]2​1​[11​1−1​]

椭圆方程则也可以重写为：

$5x^2+8xy+5y^2=1 = 9*(\frac{x+y}{\sqrt 2})^2+1*(\frac{x-y}{\sqrt 2})^2$5x2+8xy+5y2=1=9∗(2​x+y​)2+1∗(2​x−y​)2

可以看到，方程的系数是两个特征值 9 和 0，而在平方内部则是两个特征向量 $(1, 1)/\sqrt 2$(1,1)/2​ 和 $(1, -1)/\sqrt 2$(1,−1)/2​。椭圆的坐标轴是沿着特征向量的方向，这也就是为什么 $A=Q\Lambda Q^T$A=QΛQT 被称作主轴定理，特征向量指出了坐标轴的方向，特征值则指出了长度。

将椭圆排好后，较大的特征值 9 给出了短半轴的长度 $1/\sqrt \lambda_1 = 1/3$1/λ​1​=1/3，较小的特征值 1 给出了长半轴的长度 $1/\sqrt \lambda_2 = 1$1/λ​2​=1。在 $xy$xy 系统中，坐标轴沿着 $A$A 的特征向量的方向，而在 $XY$XY 系统中，坐标轴沿着 $\Lambda$Λ 的特征向量的方向。

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