线性代数之——相似矩阵

当 $A$A 有足够的特征向量的时候，我们有 $S^{-1}AS=\Lambda$S−1AS=Λ。在这部分，$S$S 仍然是最好的选择，但现在我们允许任意可逆矩阵 $M$M，矩阵 $A$A 和 $M^{-1}AM$M−1AM 称为相似矩阵，并且不管选择哪个 $M$M，特征值都保持不变。

1. 相似矩阵

假设 $M$M 是任意的可逆矩阵，那么 $B = M^{-1}AM$B=M−1AM 相似于矩阵 $A$A。

$B = M^{-1}AM \to A = MBM^{-1}$B=M−1AM→A=MBM−1

也就是说如果 $B$B 相似于 $A$A，那么 $A$A 也相似于 $B$B。如果 $A$A 可以对角化，那么 $A$A 相似于 $\Lambda$Λ，它们肯定具有相同的特征值。

相似的矩阵 $A$A 和 $M^{-1}AM$M−1AM 具有相同的特征值，如果 $x$x 是 $A$A 的一个特征向量，那么 $M^{-1}x$M−1x 是 $B = M^{-1}AM$B=M−1AM 的特征向量。

$Ax=\lambda x \to MBM^{-1}x=\lambda x \to B(M^{-1}x)=\lambda (M^{-1}x)$Ax=λx→MBM−1x=λx→B(M−1x)=λ(M−1x)

所有具有特征值 1 和 0 的 2×2 矩阵都是相似的，特征向量会随着 $M$M 而改变，但特征值不变。上面的例子中特征值是不重复的，这种情况很好办，但如果有重复的特征值就会比较困难了。

这些 $B$B 都和 $A$A 一样行列式为 0，秩为 1，一个特征值为 0，并且矩阵的迹为 0，所以另一个特征值也为 0。但零矩阵不和它们相似，因为只有零矩阵自己和自己相似。

从 $A$A 到 $B=M^{-1}AM$B=M−1AM，有一些东西会改变一些则不变。

相似矩阵的特征值不变，矩阵的迹为特征值的和也不变，矩阵的行列式为特征值的乘积也不变，矩阵的秩不变，针对每个特征值的特征向量数目不变。

2. 若尔当形（Jordan Form）

上面的矩阵有三个特征值 5,5,5 在它的对角线上，唯一的特征向量是 (1, 0, 0) 的倍数，代数重数为 3，几何重数为 1。每个和它相似的矩阵 $B=M^{-1}AM$B=M−1AM 都有三重特征值 5,5,5，$B-5I$B−5I 的秩也为 2，零空间的维度为 1。和这个若尔当块 $J$J 相似的矩阵都只有一个不相关的特征向量 $M^{-1}x$M−1x。

此外，$J^T$JT 和 $J$J 相似，并且此时的矩阵 $M$M 正好是反恒等矩阵。

由于 $J$J 是我们能得到的最接近于对角矩阵的形式，方程 $d\boldsymbol u/dt=J\boldsymbol u$du/dt=Ju 不能再进一步被简化，我们必须直接利用回带法解决。

对于每个 $A$A，我们想要选择一个 $M$M 来使得 $M^{-1}AM$M−1AM 尽可能接近对角形式。当 $A$A 有 $n$n 个特征向量的时候，它们成为 $M$M 的列，然后 $M=S$M=S，$S^{-1}AS=\Lambda$S−1AS=Λ 是对角矩阵。在一般情况下，特征向量会缺失，我们并不能完全对角化。假设 $A$A 有 $s$s 个不相关的特征向量，那么它相似于一个有 $s$s 个块的矩阵，每个块都像上面的矩阵 $J$J 一样，特征值位于对角线上，并且元素 1 正好位于对角线上面，其中每个块对应于一个特征值。如果有 $n$n 个特征向量 $n$n 个块，那所有的块都是 1×1 的，$J$J 也就变成了 $\Lambda$Λ。

$A$A 相似于 $B$B 如果它们具有相同的若尔当形 $J$J，其它情况都不符合。

对于每一个相似矩阵族，我们挑选出一个最特别的成员称为 $J$J，这个族中其它的每个矩阵都可以表示为 $A=MJM^{-1}$A=MJM−1。这时候，我们有 $MJM^{-1}MJM^{-1}=MJ^2M^{-1}$MJM−1MJM−1=MJ2M−1，因此我们依然可以用 $MJ^{100}M^{-1}$MJ100M−1 来求解 $A^{100}$A100。

相似性的核心在于——让矩阵变得尽可能简单但同时保留它的必要属性。

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