傅里叶变换究竟是什么玩意 以及 这些公式究竟是怎么来的 第四章 关于正弦和复指数来表示频率的理解

    首先我要声明一下，这一章可以看也可以不看，都无所谓！但最好看一下最后面给的一个结论和解释。

    写这一章只是为了知识的完整性，尽管可能有些人会对这一章的某些概念产生疑问，在这里我会用最简单的方式去阐述复指数和正弦信号之间的关系。

    考察我们之前分解的一个信号：

    

    要注意的是，这里的分解是变为了正弦波分解，而没有在复指数域进行分解，我们把上面的分解转为指数域：

    

     

    注意这里的i代表幅值是复数。

    现在出现了一个问题：有一个实数域的信号，可以分解为一堆正弦波相加，也可以分解为一堆复指数信号相加，那分解出来的这两中信号的形式之间有什么关系呢？

    考察信号的共轭表示：

      x 的共轭  就表示为 。

    则可以知道实数的共轭是它本身。所以说: (公式如果懒得看可以直接看下面的结论)

        ,     

    用-k代替k,可以得到：

    

    比较一下，我们就发现：，即它们互为共轭，联想一下之前我们所有的分解的信号，不都是符合这种形式吗？

    同时，也就是说，

     与  也是互为共轭的。我们对x(t)再进行一些转化:

    因为两个互为共轭的数相加等于其实数部分的两倍： ,用Re{x(t)}代表x(t)的实数部分，则

    

    最后就得到了高数课本上通用的一个公式：

       要注意这里的不一定是实数。

 

    最后提一句：其实不管分解成复指数还是指数，我们都应该明白，我们在意的是它的频域分量，也就是在每个频率的幅值的大小。因为分解为复指数以后，频率的幅值在k和-k上互为共轭，用模  表示它的幅值，如果分解出来的信号中，频率为的信号， 可以表示为   可以表示为 ，则频率  在±k的地方的幅值是一样的。

    因为以后我们所有的信号频率分解都是分解为复指数的形式，所以大家可以简单地理解为，该函数在频率为的分量的系数是和，它们的幅值是相等的，都代表了频率的幅值（所以以后为了方便描述我们就直接拿系数代表处的幅值了）。

    说道这里，关于什么是频率的问题基本上已经说完了。我不得不说，这一章和上一章是傅里叶变换中最难理解的部分，所以大家如果还没有彻底弄明白也没有任何关系，后面的关于傅里叶变换的内容将会非常容易理解。如果你对上面的内容觉得复数域难以理解，那么我就给出一个更简单的解释：

    我们求出来的复指数表示形式中，我们可以把每个频率在  和  的复指数和合成为，于是这里的  就是该信号的频率的幅值。鉴于这种关系，我们就令模相同的和作为信号在处的幅值了。