小波变换-习题

题1

请根据课本中Z变换的定义，证明如下结论。

1. 若$\ x(n)$ x(n)的Z变换为$X(z)$X(z)，则${(-1)}^nx(n)$(−1)nx(n)的Z变换为$X(-z)$X(−z)
2. 若$\ x(n)$ x(n)的Z变换为$X(z)$X(z)，则$x(-n)$x(−n)的Z变换为$X(1/z)$X(1/z)
3. 若$\ x(n)$ x(n)的Z变换为$X(z)$X(z)，则有课本280页公式7.1.2
   

答：
（1）
已知$\ x(n)$ x(n)的Z变换如下：
$X\left( z \right) = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {x\left( n \right){z^{ - n}}}$X(z)=−∞∑∞​x(n)z−n
则${\left( { - 1} \right)^n}x\left( n \right)$(−1)nx(n)的Z变换如下：
$\sum\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}x\left( n \right){z^{ - n}}} = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^{ - n}}x\left( n \right){z^{ - n}}} = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {x\left( n \right){{\left( { - z} \right)}^{ - n}}} = X\left( { - z} \right)$−∞∑∞​(−1)nx(n)z−n=−∞∑∞​(−1)−nx(n)z−n=−∞∑∞​x(n)(−z)−n=X(−z)得证

（2）
$X(-z)$X(−z)的Z变换如下：
$\sum\limits_{ - \infty }^\infty {x\left( { - n} \right){z^{ - n}}}$−∞∑∞​x(−n)z−n
令m=-n，则上式变为：
$\sum\limits_{ - \infty }^\infty {x\left( m \right){z^m}} = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {x\left( m \right){{\left( {\frac{1}{z}} \right)}^{ - m}}} = X\left( {\frac{1}{z}} \right)$−∞∑∞​x(m)zm=−∞∑∞​x(m)(z1​)−m=X(z1​)得证

题2

若$G_1\left(z\right)=-z^{-2K+1}G_0\left(-z^{-1}\right)$G1​(z)=−z−2K+1G0​(−z−1)成立，请证明$g_1\left(n\right)=\left(-1\right)^ng_0(2K-1-n)$g1​(n)=(−1)ng0​(2K−1−n)

证：
已知Z变换对： ${g_0}\left( n \right) \Leftrightarrow {G_0}\left( z \right)$g0​(n)⇔G0​(z)
由第一题第二问结论$x\left( { - n} \right) \Leftrightarrow X\left( {{z^{ - {\rm{1}}}}} \right)$x(−n)⇔X(z−1)得到：${g_0}\left( { - n} \right) \Leftrightarrow {G_0}\left( {{z^{ - {\rm{1}}}}} \right)$g0​(−n)⇔G0​(z−1)

由Z变换的平移性质$x\left( {n{\rm{ + }}k} \right) \Leftrightarrow {z^k}X\left( {{z^{ - {\rm{1}}}}} \right)$x(n+k)⇔zkX(z−1)得到：${g_0}\left( { - \left( {n - 2K{\rm{ + }}1} \right)} \right) \Leftrightarrow {z^{ - {\rm{2}}K{\rm{ + }}1}}{G_0}\left( {{z^{ - {\rm{1}}}}} \right)$g0​(−(n−2K+1))⇔z−2K+1G0​(z−1)

由第一题第一问结论${\left( {{\rm{ - 1}}} \right)^n}x\left( n \right) \Leftrightarrow X\left( { - z} \right)$(−1)nx(n)⇔X(−z)得到：
${\left( { - 1} \right)^n}{g_0}\left( {2K - 1 - n} \right) \Leftrightarrow {\left( { - z} \right)^{ - {\rm{2}}K{\rm{ + }}1}}{G_0}\left( {{{\left( { - z} \right)}^{ - {\rm{1}}}}} \right)$(−1)ng0​(2K−1−n)⇔(−z)−2K+1G0​((−z)−1)

由于$- {\rm{2}}K{\rm{ + }}1$−2K+1是奇数，则上式变为：
${\left( { - 1} \right)^n}{g_0}\left( {2K - 1 - n} \right) \Leftrightarrow - {z^{ - {\rm{2}}K{\rm{ + }}1}}{G_0}\left( { - {z^{ - {\rm{1}}}}} \right)$(−1)ng0​(2K−1−n)⇔−z−2K+1G0​(−z−1)

由于${g_{\rm{1}}}\left( n \right) \Leftrightarrow {G_{\rm{1}}}\left( z \right)$g1​(n)⇔G1​(z)，且 ${G_1}\left( z \right) = - {z^{ - {\rm{2}}K{\rm{ + }}1}}{G_0}\left( { - {z^{ - {\rm{1}}}}} \right)$G1​(z)=−z−2K+1G0​(−z−1)
结论得证

题3

假设课本中给出完美重建滤波器的正交族对应的三个滤波器间的关系式是正确的，并以此为基础，推导${h_0},{h_1}$h0​,h1​的关系。

答:
已知(1)、(2)、(3)式如下:
${g_1}\left( n \right) = {\left( { - 1} \right)^n}{g_0}\left( {2K - 1 - n} \right)$g1​(n)=(−1)ng0​(2K−1−n) ${h_0}\left( n \right) = {g_0}\left( {2K - 1 - n} \right)$h0​(n)=g0​(2K−1−n) ${h_1}\left( n \right) = {g_1}\left( {2K - 1 - n} \right)$h1​(n)=g1​(2K−1−n)

将式（1）带入式（3）得：
${h_1}\left( n \right) = {\left( { - 1} \right)^{2K - 1 - n}}{g_{\rm{0}}}\left( n \right)$h1​(n)=(−1)2K−1−ng0​(n)

将式（2）带入上式得：
${h_1}\left( n \right) = {\left( { - 1} \right)^{2K - 1 - n}}{h_{\rm{0}}}\left( {2K - 1 - n} \right)$h1​(n)=(−1)2K−1−nh0​(2K−1−n)

题4

哈尔变换可以用矩阵的形式表示为：
$T=HFH^T$T=HFHT

其中， F是一个$N\times N$N×N的图像矩阵，H是$N\times N$N×N变换矩阵，T是$N\times N$N×N变换结果。对于哈尔变换，变换矩阵H包含基函数$h_k(z)$hk​(z)，它们定义在连续闭区$z\in\left[0,1\right],k=0,1,2,...,N-1$z∈[0,1],k=0,1,2,...,N−1，其中$N=2^n$N=2n。为了生成矩阵，定义整数k，即$k=2^p+q-1$k=2p+q−1（这里${\rm{0}} \le p \le n - 1$0≤p≤n−1，当$p=0$p=0时$q=0$q=0或1；当$p\neq0$p​=0时，$1\le q \le2^p$1≤q≤2p）。可得哈尔基函数为：
$h_0\left(z\right)=h_{00}\left(z\right)=\frac{1}{\sqrt N},z\in[0,1]$h0​(z)=h00​(z)=N​1​,z∈[0,1]

$N×N$N×N哈尔变换矩阵的第 行包含了元素$h_i(z)$hi​(z)，其中$z=\frac{0}{N},\frac{1}{N},\cdots(N-1)/N$z=N0​,N1​,⋯(N−1)/N。计算当N=16时的$H_{16}$H16​矩阵。

答：
首先计算k、p、q之间的关系，得到下表

再计算$h_k\left(z\right)$hk​(z)：

题5

答:
由$\varphi \left( x \right)$φ(x)组成的展开函数集合可知：
${\varphi _{j,k}}\left( x \right) = {2^{j/2}}\varphi \left( {{2^j}x - k} \right)$φj,k​(x)=2j/2φ(2jx−k)

因此可以得到
${\varphi _{0,0}}\left( x \right) = \varphi \left( x \right)$φ0,0​(x)=φ(x) ${\varphi _{1,0}}\left( x \right) = \sqrt 2 \varphi \left( {2x} \right)$φ1,0​(x)=2​φ(2x) ${\varphi _{1,1}}\left( x \right) = \sqrt 2 \varphi \left( {2x - 1} \right)$φ1,1​(x)=2​φ(2x−1)

MRA要求2指出，低尺度的尺度函数张成的子空间，嵌套在高尺度函数张成的子空间内
可以看出${\varphi _{0,0}}\left( x \right)$φ0,0​(x)无法通过${\varphi _{1,0}}\left( x \right)$φ1,0​(x)和${\varphi _{1,1}}\left( x \right)$φ1,1​(x)通过加权求和的方式得到，因此该尺度函数不满足多分辨率分析的第二个要求。

题6

课本322页习题7.16


答：
（a
由${W_\varphi }\left( {{j_0},k} \right) = \frac{1}{{\sqrt M }}\sum\nolimits_n {f\left( n \right){\varphi _{j,k}}\left( n \right)}$Wφ​(j0​,k)=M​1​∑n​f(n)φj,k​(n)计算小波函数系数

$\begin{array}{l} {W_\varphi }\left( {1,0} \right) = \frac{1}{2}\left( {f\left( {\rm{0}} \right){\varphi _{{\rm{1}},{\rm{0}}}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{1}} \right){\varphi _{{\rm{1}},{\rm{0}}}}\left( {\rm{1}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{2}} \right){\varphi _{{\rm{1}},{\rm{0}}}}\left( {\rm{2}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{3}} \right){\varphi _{{\rm{1}},{\rm{0}}}}\left( {\rm{3}} \right)} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}\left( {1 \times \sqrt 2 {\rm{ + 4}} \times \sqrt 2 - 3 \times 0{\rm{ + 0}} \times 0} \right) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \end{array}$Wφ​(1,0)=21​(f(0)φ1,0​(0)+f(1)φ1,0​(1)+f(2)φ1,0​(2)+f(3)φ1,0​(3))=21​(1×2​+4×2​−3×0+0×0)=252​​​ $\begin{array}{l} {W_\varphi }\left( {1,1} \right) = \frac{1}{2}\left( {f\left( {\rm{0}} \right){\varphi _{{\rm{1}},1}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{1}} \right){\varphi _{{\rm{1}},1}}\left( {\rm{1}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{2}} \right){\varphi _{{\rm{1}},1}}\left( {\rm{2}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{3}} \right){\varphi _{{\rm{1}},1}}\left( {\rm{3}} \right)} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}\left( {1 \times 0{\rm{ + 4}} \times 0 - 3 \times \sqrt 2 {\rm{ + 0}} \times \sqrt 2 } \right) = - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \end{array}$Wφ​(1,1)=21​(f(0)φ1,1​(0)+f(1)φ1,1​(1)+f(2)φ1,1​(2)+f(3)φ1,1​(3))=21​(1×0+4×0−3×2​+0×2​)=−232​​​

由${W_\psi }\left( {{j_0},k} \right) = \frac{1}{{\sqrt M }}\sum\nolimits_n {f\left( n \right){\psi _{j,k}}\left( n \right)}$Wψ​(j0​,k)=M​1​∑n​f(n)ψj,k​(n)计算尺度函数系数
$\begin{array}{l} {W_\psi }\left( {1,0} \right) = \frac{1}{2}\left( {f\left( {\rm{0}} \right){\psi _{{\rm{1}},{\rm{0}}}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{1}} \right){\psi _{{\rm{1}},{\rm{0}}}}\left( {\rm{1}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{2}} \right){\psi _{{\rm{1}},{\rm{0}}}}\left( {\rm{2}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{3}} \right){\psi _{{\rm{1}},{\rm{0}}}}\left( {\rm{3}} \right)} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}\left( {1 \times \sqrt 2 {\rm{ + 4}} \times \left( { - \sqrt 2 } \right) - 3 \times 0{\rm{ + 0}} \times 0} \right) = - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \end{array}$Wψ​(1,0)=21​(f(0)ψ1,0​(0)+f(1)ψ1,0​(1)+f(2)ψ1,0​(2)+f(3)ψ1,0​(3))=21​(1×2​+4×(−2​)−3×0+0×0)=−232​​​ $\begin{array}{l} {W_\psi }\left( {1,1} \right) = \frac{1}{2}\left( {f\left( {\rm{0}} \right){\psi _{{\rm{1}},1}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{1}} \right){\psi _{{\rm{1}},1}}\left( {\rm{1}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{2}} \right){\psi _{{\rm{1}},1}}\left( {\rm{2}} \right){\rm{ + }}f\left( {\rm{3}} \right){\psi _{{\rm{1}},1}}\left( {\rm{3}} \right)} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{2}\left( {1 \times 0{\rm{ + 4}} \times 0 - 3 \times \sqrt 2 {\rm{ + 0}} \times \left( { - \sqrt 2 } \right)} \right) = - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \end{array}$Wψ​(1,1)=21​(f(0)ψ1,1​(0)+f(1)ψ1,1​(1)+f(2)ψ1,1​(2)+f(3)ψ1,1​(3))=21​(1×0+4×0−3×2​+0×(−2​))=−232​​​

所以DWT是： $\left\{ {\frac{5}{2}\sqrt 2 , - \frac{3}{2}\sqrt 2 , - \frac{3}{2}\sqrt 2 , - \frac{3}{2}\sqrt 2 } \right\}${25​2​,−23​2​,−23​2​,−23​2​}

(b
由反向DWT公式$f\left( n \right) = \frac{1}{{\sqrt M }}\sum\nolimits_k {{W_\varphi }\left( {{j_0},k} \right){\varphi _{{j_0},k}}\left( n \right)} + \frac{1}{{\sqrt M }}\sum\limits_{j = {j_0}}^\infty {\sum\nolimits_n {{W_\psi }\left( {j,k} \right){\varphi _{j,k}}\left( n \right)} }$f(n)=M​1​∑k​Wφ​(j0​,k)φj0​,k​(n)+M​1​j=j0​∑∞​∑n​Wψ​(j,k)φj,k​(n)
得$f\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\left( {{W_\varphi }\left( {1,0} \right){\varphi _{1,0}}\left( 1 \right) + {W_\varphi }\left( {1,1} \right){\varphi _{1,1}}\left( 1 \right) + {W_\psi }\left( {1,0} \right){\psi _{1,0}}\left( 1 \right) + {W_\psi }\left( {1,1} \right){\psi _{1,1}}\left( 1 \right)} \right) = 1$f(1)=21​(Wφ​(1,0)φ1,0​(1)+Wφ​(1,1)φ1,1​(1)+Wψ​(1,0)ψ1,0​(1)+Wψ​(1,1)ψ1,1​(1))=1

题7

现在假设我们有一个长度为8的信号f=[1 3 5 7 4 3 2 1], 利用哈尔小波进行两层的快速小波变换分解，计算各层的滤波器输出，然后再进行完美重建，请利用与书中例子相同的框图进行计算。

答：
快速小波分级如下图：

完美重建如下图：