• 线性分类器
  
  • 评分函数 score function
  • 线性分类器的理解和解释
• 损失函数 loss function
  
  • 多类SVM
  • softmax分类器
  • SVM和softmax比较

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KNN分类器存在的不足：

• 分类器必须记住所有的训练数据并存储起来，以便未来测试数据比较，需要很大的空间

• 对一个测试数据需要与所有的训练数据进行比较，需要很大的计算资源和时间

为此，我们需要一种更好的方法：线性分类器

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- 线性分类器

由两部分组成：评分函数score function和损失函数loss function。该方法可以转换为一个最优化问题，在优化过程中，将通过更新评分函数的参数来最小化损失函数值。

评分函数 score function

我们的目标就是通过学习得到这些参数W,b，使得计算出来的分类值情况和训练集中图像数据的真实标签相符。
相比之下：
- 训练数据得到W,b，一旦训练完成，训练数据就可以丢掉，留下参数即可
- 只需要一个矩阵乘法和一个矩阵加法就能对一个测试数据进行分类。

我们可以这样理解线性分类器：

图像像素是三维的，可以拉伸为一个列向量。
假设总共有10个分类，图像大小是32×32×3，则对于一张图片
W.shape=(10,3072)$W.shape=(10,3072)$
x.shape=(3072,1)$x.shape=(3072,1)$
b.shape=(10,1)$b.shape=(10,1)$
得到结果是(10，1),也就是对这张图片给个分类有一个值，比重最大的对应其所属的分类。

怎么理解呢？我是这样理解的

W有10行，可以将每一行看成一个概率分布，其概率分布越接近x$x$的概率分布，则点乘之后的值越大。我们训练的目的就是将W第一行的值接近于cat的像素分布。第二行接近dog的像素分布。。。

如果训练数据中有1000张船、1000张猫、1000张船的图像数据。总共10000张图像数据
W.shape=(10,3072)$W.shape=(10,3072)$
x.shape=(3072,10000)$x.shape=(3072,10000)$
b.shape=(10,1)$b.shape=(10,1)$
得到(10,10000)，其中cat标签对应的(10,1000)中cat的比重应该最大，也就是这样训练得到W对应cat那一行的权重。当然W可能不能满足所有的，这样就是造成不准确嘛～～

实际上有10类就意味着有10个线性分类器～每一行对应一个分类器。

另一种解释：关于权重W的另一个解释是它的每一行对应着一个分类的模板（有时候也叫作原型）。一张图像对应不同分类的得分，是通过使用内积（也叫点积）来比较图像和模板，然后找到和哪个模板最相似。从这个角度来看，线性分类器就是在利用学习到的模板，针对图像做模板匹配。从另一个角度来看，可以认为还是在高效地使用k-NN，不同的是我们没有使用所有的训练集的图像来比较，而是每个类别只用了一张图片（这张图片是我们学习到的，而不是训练集中的某一张），而且我们会使用（负）内积来计算向量间的距离，而不是使用L1或者L2距离。

偏差和权重合并技巧
f(xi,W,b)=Wxi+b$f(x_i,W,b)=W{x}_i+b$
通常可以将两个参数放到同一个矩阵，xi$x_i$增加一个维度，常量1。

图像预处理
零均值中心化：很重要～梯度下降后在解释

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损失函数

要使得其与原始训练数据通过score function得到的结果与真实类别一致，我们需要调整参数权重W和偏差b. 怎么调整是梯度下降的事儿～那么调整之前，我们需要先衡量下对结果的不满意程度，然后适当调整对吧～～这就是损失函数干的事儿～

多类支持向量机损失 Multiclass Support Vector Mashine Loss

Li=∑10j≠yimax(0,sj−syi+Δ)$L_i=\sum _{j\ne y_i}^{10}max(0,s_j-s_{y_i}+\mathrm{\Delta })$

怎么理解这个公式？
公式可以这么写：Li=∑10j≠yimax(0,sj−(syi−Δ))$L_i=\sum _{j\ne y_i}^{10}max(0,s_j-(s_{y_i}-\mathrm{\Delta }))$
对第i张图像数据，其最后结果有10个，其中syi$s_{y_i}$表示其真实标签对应的值，那么其他非真实分类的结果凡是大于syi−Δ$s_{y_i}-\mathrm{\Delta }$这个值的，都对最后的结果Li$L_i$产生影响，比这个值小的就没事～
如下图所示：

那么对于评分函数，我们可以将公式稍微修改下～
Li=∑10y≠yimax(0,wTjxi−wTyjxi+Δ)$L_i=\sum _{y\ne y_i}^{10}max(0,w_j^T{x}_i-w_{y_j}^T{x}_i+\mathrm{\Delta })$

这里提一下的属于是关于0的阀值：max(0,−)$max(0,-)$函数，它常被称为折叶损失（hinge loss）。有时候会听到人们使用平方折叶损失SVM（即L2-SVM），它使用的是max(0,−)2$max(0,-{)}^2$，将更强烈（平方地而不是线性地）地惩罚过界的边界值。不使用平方是更标准的版本，但是在某些数据集中，平方折叶损失会工作得更好。可以通过交叉验证来决定到底使用哪个。

正则化（Regularization）：

cs231n笔记：一个简单的例子：如果W能够正确分类所有数据，即对于每个数据，损失值都是0。那么当λ>1$\lambda >1$时，任何数乘λW$\lambda W$都能使得损失值为0，因为这个变化将所有分值的大小都均等地扩大了，所以它们之间的绝对差值也扩大了。

我有个其他的想法：我们知道W（10，3072）是代表10个分类器的，假设它与cat的图像数据（1，3072）点乘，得到10个数据s1...s10$s_1...s_{10}$，假设cat分类器W0得到s1$s_1$，dog分类器W1得到s2$s_2$，显然cat和dog本来就很像，要是s2$s_2$减小，要抑制其分类器即W1中的某些值。。。总的下来就是cat的图像会影响dog分类器？？？。。

解决此问题的方法是加一个正则化惩罚项（regularization penalty）R(W)$R(W)$部分。
L2范式：R(W)=∑k∑lW2k,l$R(W)=\sum _k\sum _l{W}_{k,l}^2$
这里是将所有的参数平方后累加得到的一个值。正则化函数不是数据的函数，仅仅基于权重～
SVM损失函数有两部分组成：

展开是：
L=1N∑i∑y≠yi[0,f(xi;W)j−f(xi;W)yj+Δ]+λ∑k∑lW2k,l$L=\frac{1}{N}\sum _i\sum _{y\ne y_i}[0,f(x_i;W{)}_j-f(x_i;W{)}_{y_j}+\mathrm{\Delta }]+\lambda \sum _k\sum _l{W}_{k,l}^2$

λ是超参数$\lambda 是超参数$，通过交叉验证来获取？？？
引入L2惩罚后，SVM就有了最大边界（maxmargin）这一性质。其最好的性质就是对大数值权重进行惩罚，可以提高泛化能力，没有那个维度能独立对整体有过很大的影响。鼓励分类器最终将所有维度上的特征都用起来，而不是强烈依赖其中少数几个维度，提升分类器的泛化能力，并避免过拟合。

设置Delta：超参数\Delta它应该被设置成什么值？需要通过交叉验证来求得吗？现在看来，该超参数在绝大多数情况下设为\Delta=1.0都是安全的。超参数\Delta和\lambda看起来是两个不同的超参数，但实际上他们一起控制同一个权衡：即损失函数中的数据损失和正则化损失之间的权衡。理解这一点的关键是要知道，权重W的大小对于分类分值有直接影响（当然对他们的差异也有直接影响）：当我们将W中值缩小，分类分值之间的差异也变小，反之亦然。因此，不同分类分值之间的边界的具体值（比如\Delta=1或\Delta=100）从某些角度来看是没意义的，因为权重自己就可以控制差异变大和缩小。也就是说，真正的权衡是我们允许权重能够变大到何种程度（通过正则化强度\lambda来控制）。

Softmax分类器

Softmax分类器就可以理解为逻辑回归分类器面对多个分类的一般化归纳。
函数映射保持不变，将这些评分值视为每个分类的未归一化的对数频率。即交叉熵损失函数(cross-entropy loss). 公式如下：

Li=−log(efyi∑jefj)$L_i=-\log (\frac{e^{f_{y_i}}}{\sum _j{e}^{f_j}})$

整个数据集的损失值：L=1N∑iLi+λR(W)$L=\frac{1}{N}\sum _i{L}_i+\lambda R(W)$

其中：fj(z)=ezj∑kezk$f_j(z)=\frac{e^{z_j}}{\sum _k{e}^{z_k}}$称为softmax函数，骑术如是一个向量，sofamax对其进行压缩，输出一个向量，其中每个值在0到1之间，且所有和为1。

从信息论的视角来理解：
信息量/信息熵（熵）/交叉熵/条件熵
信息量：一个事件的信息量就是这个时间发生的概率的负对数，概率越大，所带来的信息就越少嘛。至于为什么是负对数，就要问香农了。。起码要满足P(X)=1$P(X)=1$时信息量为0，且始终大于0

−logP(X)$$-\log P(X)$$

信息熵，也就是熵，是随机变量不确定性的度量，依赖于事件X的概率分布。即信息熵是信息量的期望。即求离散分布列的期望～～

H(p)=−∑i=1npilogpi$$H(p)=-\sum _{i=1}^n{p}_i\log p_i$$

交叉熵：回归到分类问题来，我们通过score function得到一个结果（10，1），通过softmax函数压缩成0到1的概率分布，我们称为qi=efyi∑jefj$q_i=\frac{e^{f_{y_i}}}{\sum _j{e}^{f_j}}$吧，

H(p,q)=−∑i=1npilogqi$$H(p,q)=-\sum _{i=1}^n{p}_i\log q_i$$

就是我们所说的交叉熵，通过分析可以发现：H(p,q)>=H(p)$H(p,q)>=H(p)$恒成立，当且仅当qi$q_i$分布和pi$p_i$相同时，两者相等。
我们这里因为pi$p_i$是真实分布，一旦训练数据确定，其就是定植，因此就省去了，得到了cross-entroy function~~~
相对熵：跟交叉熵是同样的概念，D(p||q)=H(p,q)−H(p)$D(p||q)=H(p,q)-H(p)$，又称为KL散度，表征两个函数或概率分布的差异性，差异越大则相对熵越大～～～

实操需要注意的事项：
∑jefj$\sum _j{e}^{f_j}$和efyi$e^{f_{y_i}}$是指数函数，数值可能很大，所以使用归一化

其中通常将常数C设置为logC=−max(fj)$logC=-max(f_j)$ 这样efj+logC$e^{f_j+\log C}$最大值也就是1，最小值是0。这样压缩数据并没有改变对应的比重哦～～

SVM和Softmax的比较
SVM的计算是无标定的，只给出了一个分类最终结果，而且难以针对所有分类的评分值给出直观解释。Softmax分类器则不同，它允许我们计算出对于所有分类标签的“可能性”。
但这个“可能性”并不是绝对的，其集中或离散程度是由正则化参数λ$\lambda$直接决定的，λ$\lambda$是超参数，能直接控制的。如果正则化参数λ$\lambda$越大，那么权重就会被惩罚的越多（因为Li$L_i$中的regularization loss 不能太大）。随着正则化参数λ$\lambda$不断变大，权重数值回越来越小，最后接近于均匀分布。这就是说，softmax分类器算出来的概率最好是看成一种对于分类正确性的自信。和SVM一样，数字间相互比较得出的大小顺序是可以解释的，但其绝对值则难以直观解释。