本节课主要讲了两种线性降维的方法——cluster和PCA，并从两个角度解释了PCA。最后讲了一些关于矩阵分解的知识。

1.cluster

cluster就简单的带过了，主要是k-means和HAC

k-means原理：
（1）先初始化k个中心点ci (i=1,….,k)
（2）如果样本x离ci更近，就划分到第i类
（3）更新每个类别的中心点
（4）重复（2）（3）

如何选择K是个问题~

HAC（Hierarchical Agglomerative Clustering ）原理
类似于建立一棵树，每个节点都设置一个阈值

2.PCA（Principle Component Analysis）

PCA降维原理可以从两个来考虑
一是基于最大方差原理，样本点在这个超平面上的投影尽可能分开。
二是基于最小化误差原理，样本点到这个超平面距离都足够近。

2.1基于最大方差原理

（1）需要找到一个投影矩阵W，使得x在W上的投影方差尽可能的大，其中W是由很多个向量组成（w1,w2,w3,…），希望x在w1上投影的方差最大，w2上投影的方差其次……以此类推

（2）并且，W是一个单位正交矩阵，即（w1,w2,w3,…）相互正交，且都是单位向量

（3）先来求解w1，把投影后z=w1·x的协方差矩阵写出来~

（4）问题变成了求解带条件的最大值问题，采用lagrange乘数法求解~
可求得w1是x的协方差矩阵S的特征向量，且是最大特征值对应的特征向量

（5）依次往后退，w2是S的2nd特征值对应的特征向量

（6）PCA达到的效果就是decorrelation（去关联），所以最后投影之后得到z的协方差矩阵D是对角矩阵；
* 投影矩阵W是单位正交矩阵*
* W就是x协方差矩阵S的特征向量*

2.2基于最小化误差原理

（1）基本思想：将x-(x上面一根横线，就是x的均值)近似看成是由多个u组成的，然后求解最小化它们之间的error时的系数c和分量u

（2）矩阵形式，Matrix X就是x-(x上面一根横线）

（3）为了求解c和u（component），可以将X做奇异值分解SVD，用分解后的U代替u，ΣxV代替系数c
其中U就是XXT的特征向量
有时候只选取特征值比较大的component~

PCA相当于只含一层hidden layer的AutoEncoder

2.3 PCA和LDA比较

PCA是无监督的，LDA是有监督的
PCA基本思想是方差最大，LDA基本思想是让不同类别分的尽可能开
PCA和LDA都是线性映射
对于结构比较复杂的降维，只能采用非线性流行学习比如LLE等方法

2.4 PCA和NMF比较

NMF：Non-negative Matrix Factorization，非负矩阵分解
NMF分解之后的component的系数都是正的，就拿image来说，也就是说分解之后的component像是原始image的一部分
而PCA的系数可正可负，涉及到component的“加加减减”
没有具体讲
可参考这篇博文：
https://blog.****.net/acdreamers/article/details/44663421

3.Matirx Factorization矩阵分解

目的：通过矩阵分解，也许可以挖掘出一些隐含信息，可以用在推荐系统中

（1）可利用矩阵中已有的数据，将问题转化为求最小值的问题，其中r是向量，可用梯度下降法求解

求解过程大致可以参考这篇文章：
https://blog.****.net/shuaishuai3409/article/details/50821071

（2）求解出来的r就是下面两个矩阵，可以用来填充原矩阵中没有的值

（3）还可以加一些偏置b或者正则项

矩阵分解的一些应用——主题分析，挖掘出一些隐含的主题
1.LSA
2.PLSA
3.LDA
……