预备知识：
在 numpy中，矩阵的元素操作对矩阵维度的要求，通过一种叫做 broadcasting的机制实现。我们称两个矩阵相容(compatible)，如果它们相互对应的维度（行对行，列对列）满足以下条件:

1. 对应的维度均相等, 或 有一个维度的大小是1
2. 矩阵的Hadamard 乘积是一个元素运算，就像向量一样。对应位置的值相乘产生新的矩阵。
3. 在 numpy 中，只要矩阵和向量的维度满足 broadcasting的要求，你便可以对他们使用 Hadamard 乘积运算.
   

动机：

节点嵌入的学习对图节点分类与连接预测是非常有效的，然而现在的节点分类只停留在初级水平，也就是只是用简单的全局池化去聚集节点特征，或者是手动设计，固定的启发式的为图结构设计粗化层次。前面的一个比较大的提升是可微分粗化池化层（DIFFPOOL），其像一个CNNs的下采样，用自适应的方法对图的size进行reduce，但是之前的池化复杂度达到了平方阶，所以不能推广到大的图。所以现在我们结合图神经网络设计的几个最新进展，以证明在不牺牲稀疏性的情况下，具有竞争力的层次图分类结果是可能的。

模型

准备工作：

• 节点特征：$\mathbf{X}\in \mathbb{R}^{N\times F}$X∈RN×F
• 邻接矩阵：$\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{N\times N}$A∈RN×N
  如果我们的节点没有特征可用，则可以使用节点的度作为人造特征，比如可以用one-hot编码。这里邻接矩阵采用二值对称（即无向无权图）
  类似CNN，我们这里用了readout层类比pooling层，它将学习的representation转换成了固定长度的向量表示（dualMPNN里边有用到），用于最后的预测（比如一个简单的MLP）。

卷积层

• $\hat{\mathbf{A}}=\mathbf{A}+\mathbf{I}_N$A^=A+IN​
• $\hat{D}_{ij}=\sum_j \hat{A}_{ij}$D^ij​=∑j​A^ij​
• $\sigma=Relu$σ=Relu
• $\mathbf{\theta}，\mathbf{\theta}' \in \mathbb{R}^{F\times F'}$θ，θ′∈RF×F′
  前一项是卷积，后面一项相当于是跳跃连接（skip-connect）

池化层

之前DIFFPOOL中是吧N个点变成[kN]个簇。现在我们是学graph U-Net的思想，将节点减去[kN]个，k属于0到1之间。
为了可以决定哪些节点是要留下来的，我们采用节点得分，这个得分用网络自己学习出来，所以要是可微的操作，这里定义一个向量 $\vec{p}\in \mathbb{R}^{F\times 1}$p​∈RF×1,与X相乘之后可以得到每个节点的得分，按照得分排名可以选择留下来的指标，大概流程是：

• ||.||为二范数
• $\vec{y}\in \mathbb{R}^{N\times 1}$y​∈RN×1
• top-k表示从给定向量中选出前k个指标
• $\odot$⊙是哈达玛乘积，预备知识有
• $._{\vec{i}}$.i​表示指标操作，从矩阵中选出指定的$i$i个,X的话是选出 i 列，A的话行列都取。

Redout layer

我们经经过图卷积之后的矩阵都不便用于预测等操作，都是将这个得到的representation变成一个fixed-size的representation，最简单的方式就是直接将所有节点的嵌入表示都加起来，最后取平均，就像变成一个节点一样。这里我们采用全局最大节点嵌入与全局平均拼接起来，之后再利用JK-net架构，最后把所有中间的特征矩阵$X^{l}$Xl加起来。

• $N^{l}$Nl是图节点的数量，
• $\vec{x}_i^{l}$xil​是第 i 个节点的特征，
• || 表示拼接

最后将$\vec{s}^{(l)}$s(l)加起来，即
$\vec{s}=\sum_{l=1}^L \vec{s}^{(l)}$s=l=1∑L​s(l)
然后再放进MLP中进行预测，最后可以得到预测。

实验

文章的主要亮点只是占的内存少而已，其他还不如DIFFPOOL。