机械工业出版社《数据结构与算法——Python语言实现》学习笔记。
画图工具：draw.io

1 优先级队列的ADT

形式化地将一个元素和它的优先级用一个 key-value 对进行建模。优先级队列 P 支持以下方法：

• P.add(k, v)：向优先级队列中插入一个拥有键 k 和值 v 的元组。
• P.min()：返回一个优先级队列 P 中拥有最小键值的元组 (k, v) （但没有移除该元组）；如果队列为空，抛出错误。
• P.remove_min()：从优先级队列 P 中移除一个拥有最小键值的元组 (k, v)，并返回这个元组；如果队列为空，抛出错误。
• P.is_empty()：如果优先级队列不包含任何元组，将返回True。
• len(P)：返回优先级队列中元组的数量。

一个优先级队列中可能包含多个键值相等的条目，在这种情况下 min 和 remove_min 方法可能从具有最小键值的元组中任选一个返回。值可以是任何对象类型。

2 优先级队列的实现

2.1 使用未排序列表实现优先级队列

使用位置列表+组合设计模式的方法实现

操作	运行时间
len	O(1)
is_empty	O(1)
add	O(1)
min	O(n)
remove_min	O(n)

2.2 使用排序列表实现优先级队列

实现方法与未排序列表基本相同，在add()时扫描列表找到合适的位置

操作	运行时间
len	O(1)
is_empty	O(1)
add	O(n)
min	O(1)
remove_min	O(1)

3 堆

3.1 堆的数据结构

堆是一颗二叉树 T ，该树在它的节点上存储了集合中的元组并且满足两个附加属性：关系属性 以存储键的形式在 T 中定义；结构属性 以树 T 自身形状的方式定义。
关系属性：

• Heap-Order属性： 在堆 T 中，对于除了根的每个位置 p ，存储在 p 中的键值大于或等于存储在 p 的父节点的键值。

根据该属性容易知道 T 中从根到叶子的路径上的键值是以非递减顺序排列的，也就是说 一个最小的键总是存储在 T 的根节点中 。
由于效率的缘故，我们想让堆 T 的高度尽可能小，为此我们可以让堆 T 满足结构属性中的附加属性——它必须是完全二叉树——来满足这一需求。

• 堆的高度： 堆 T 有 n 个元组，则它的高度为 $h=\lfloor log\ n \rfloor$h=⌊log n⌋

3.2 使用堆实现优先级队列

min操作

堆的属性保证了树的根部元组有最小的键值。

在堆中增加一个元组

先将新节点放在树底层最右节点相邻的位置，（如果树的底层节点已满或堆为空，则应存放在新一层的最左位置上）

插入元组后向上冒泡

在这个操作后，树 T 为完全二叉树，但是它 可能破坏了heap-order属性 ，因此我们应该将 p 位置上的键值与 p 的父节点 q 上的键值进行比较，通过元组交换操作向上冒泡使堆再次满足heap-order属性。

在堆中删除键值最小的元组

为了不破坏堆的结构，元组被删除后，由来自 最后位置（即树最底层的最靠右的位置） 的元组所填充。

删除操作后向下冒泡

在这个操作后，树 T 为完全二叉树，但是它 可能破坏了heap-order属性 ，因此我们应该将 p 位置上的键值与 p 的 两个孩子节点中键值较小的那个节点 q 上的键值进行比较，通过元组交换操作向下冒泡使堆再次满足heap-order属性。

3.3 基于堆的优先级队列的分析

由于堆是一颗二叉树，因此可以采用 基于数组的二叉树表示 来实现堆。

利用堆实现的优先级队列 P 操作	运行时间
len§	O(1)
P.is_empty()	O(1)
P.add()	O(log n)
P.min()	O(1)
P.remove_min()	O(log n)

• 堆 T 是完全二叉树，高度为O(log n)
• 堆向上冒泡和向下冒泡执行交换的次数在最坏情况下等于 T 的高度（log n）。

3.4 自底向上构建堆*

略，详情可看书。

3.5 Python 的 heapq 模块

该模块提供对基于堆的优先级队列的支持。该模块不提供任何优先级队列类，而是提供一些函数，这些函数 把标准 Python 列表作为堆进行管理 。
Heapq 模块支持如下函数，假设这些函数调用之前，现有列表 L 已经满足 heap-order 属性：

函数	描述	复杂度
heappush(L,e)	将元素 e 存入列表 L ，并重新调整列表以满足 heap-order 属性	O(log n)
heappop(L)	取出并返回列表 L 中拥有最小值的元素，并重新调整列表以满足 heap-order 属性	O(log n)
heappushpop(L,e)	将元素 e 存入列表 L，同时取出并返回列表 L 中拥有最小值的元素	O(log n)
heapreplace(L,e)	与 heappushpop 方法类似，但相当于在插入操作前执行 pop 操作	O(log n)
heapify(L)	改变未排序的列表，使其满足 heap-order 属性，这个函数使用自底向上的堆构造方法	O(n)
nlargest(k,iterable)	从一个给定的迭代中生成含有 k 个最大值的列表	O(n + k log n) n为迭代的长度
nsmallest(k,iterable)	从一个给定的迭代中生成含有 k 个最小值的列表	O(n + k log n) n为迭代的长度

4 堆排序

堆排序算法分为两个阶段：

1. 构造堆： 由于第 i 次 add 操作完成后堆有 i 个元组，所以第 i 次 add 操作的时间复杂度为 O(log i)。这一阶段整体的时间复杂度为O(n log n)（采用 自底向上堆构造的方法时间复杂度为O(n) ）。
2. 重复remove_min操作： 由于在第 j 次 remove_min 操作执行时堆中有 (n-j+1) 个元素，因此第 j 次 remove_min 操作的时间复杂度为 O(log(n-j+1))。这一阶段的时间复杂度为 O(n log n)。

• 命题：假设集合 C 的任意两个元素能在 O(1) 时间内完成比较，则堆排序算法能在 O(n log n)时间内完成含有 n 个元素的集合 C 的排序。

实现原地堆排序

一般来说，除了存储要排序的对象的序列之外，如果只使用少量的内存，我们就说该算法为原地(in-place)算法。
如果要排列的集合 C 是通过基于数组的序列实现的，我们可以使用 C 的左半部分来存储 堆中的元组 ，并且使用 C 的右半部分来存储 序列的元素 。

1. 在算法的第一阶段，我们从一个空堆开始，并从左向右移动堆与序列之间的边界，一次一步，直至全部元素入堆，此时 C 的右半部分为空。这就是 堆构建 的过程。
2. 在算法的第二阶段，我们从一个空的序列开始，并从右向左移动堆与序列之间的边界，一次一步，在第 i 步（i = 1, …, n）将堆中当前最大值元素从堆中移除并将其存储到索引为 n-i 的位置上。这就是 重复remove_min 的过程，可将其看成一种“选择排序”。
   

5 适应性优先级队列

增加两个方法：

• remove()： 用来删除优先级队列中的任一元组
• update()： 用新键替换元组现有的键

定位器

我们需要一种在优先级队列中找到用户元组的机制，因此提出 定位器（locator） 对象。 （定位器和位置不同，优先级队列的定位器并不代表结构中一个元素的具体位置） 对于一个优先级队列 P ，当执行 update 或者 remove 方法时，需要用户提供一个合适的定位器作为参数：

• P.update(loc, k, v)： 用定位器 loc 代替键和值作为元组的标识。
• P.remove(loc)： 从优先级队列中删除以 loc 标识的特定元组，并返回它的 (key, value) 对。

在具体实现时，可将定位器实例设计为 存储一个 key, value 和列表内元素的当前索引的元组 (key, value, index) 。然后用一个定位器序列表示堆，用户则会获得每个插入的元素的定位器实例的引用。注意，为了维护每个定位器实例在列表中的当前索引，我们需要 重写 swap() 方法 ，在每次 swap 操作，即元组交换时交换他们的index。