introduction

最近在做一个非线性控制系统的项目，搞得很崩溃，读一本fuzzy control[1]的书，然后打算用matlab fuzzy logic toolbox实践一下。

book content

chapter1: introduction

fuzzy system

作者并没有给出fuzzy system的定义,强调人在决策时，根据rules，在某种情形下，平衡各种情况，最终给出决策。

You have a set of rules
(probably unspoken) in your mind that help you decide which route to take

fuzzy system的优势：
1）适应很难建立数学模型的场景，小男孩手顶扫帚
2）具备一定的鲁棒性，即使扫帚收到扰动，小男孩还是能顶住
3）已经在航天领域应用了部分模糊控制的方法，虽然传统算法可以通过稳定性分析，但是这种分析是建立在模型准确和已知的条件下，实际的模型可能有偏差，同时在飞机起飞场景下，采用模糊算法的人类驾驶员仍然是主导。

expert experience

专家经验是模糊控制中至关重要的内容，expert 通过自身practice，总结出experience。

何时使用fuzzy control

• 对于线性时不变系统，用fuzzy control是多此一举。
• 针对复杂、非线性、时变系统

control

• control objective
  stablization, tracking, and model following
  stablization: 系统稳定：尤其是开环系统本身不稳定，要求闭环系统稳定
  tracking:被控对象的运动轨迹按照设定的轨迹运行:强调位置上满足设计需求
  model following: 被控对象的动力学特性符合设计需求：强调时间上满足设计需求

interconnection of several subsystem

使用传递框图，表示控制系统，之间系统之间的关系。

system identification and adaptive control

• fuzzy system identification
  不同于线性系统的系统辨识，不需要在一个特定模型下做参数辨识。
  
• adaptive fuzzy control

Adaptive control is a method by which the system behavior is monitored online in
real time and the control continually updated and adjusted to adapt to uncertainties or
changes in the plant.

实时的观测系统行为，控制器连续的更新和修改参数以适应模型不确定性和模型的变化。

• indirected adaptive control
  在线辨识模型，根据模型修改控制参数
• directed adaptive control
  不需要通过系统辨识，控制参数直接改变。

总结

• fuzzy logic and expert experience
  fuzzy control 是模仿人的决策过程，核心是专家经验。
• 使用范围
  computer cost, 适用于复杂系统
• 关注点
  stablization, tracking and model following

chapter 2: basic concepts of fuzzy sets

fuzzy set

• 理解fuzzy set

a fuzzy set is a collection of real numbers having
partial membership in the set

这句话比较难理解，作为对比的内容，number可以partially belong 一个fuzzy set，但是不能partially belong一个conventional 的集合:如个子高的人和高于1.8m的人。（猜测fuzzy control的数学基础有一部分是概率论）

This is in contrast with conventional, or crisp sets, to
which a number can belong or not belong, but not partially belong

• 总结fuzzy set
  1.集合成员
  2.成员属于这个集合的程度【0，1】，0完全不是，1完全是，（0，1）部分符合。
• lingusitic variable
  “height"是lingusitc variable
  "h"是math symbol
  这些变量的特点都是抽象，不要精确的定量
• universe of discourse
  往往是R(全体实数)，但是因为很多数的属于set的degree显然是0，
  因而有一个effective universe of discourse:高度：[0, +∞), 人的高度：[1,3)
• $\color{red}{正式定义：}$正式定义： a variable universe of discourse is $x\subseteq R$x⊆R,变量x满足($x\in X$x∈X),
  member function$u^M(x)$uM(x)能反映x属于fuzzy set的程度。
  $M = {(x,u^M(x)): x\in X}$M=(x,uM(x)):x∈X
• 常见fuzzy set
  以下各种形状都是可以的，关键是形状背后的物理意义，例如图4，用它表示“温暖”就很奇怪。
  1.三角函数member function
  
  2.高斯函数的member function
  
  3.singleton shaped member function
  
  4.arbitary shaped member function
  

useful concepts for fuzzy set

• support
  membership function 大于0的成员。
• α-cut
  membership function 大于α的成员
• height
  peak of membership function, 往往是1
• normal fuzzy set
  在universe of discourse 中，至少有一个点的membership function 是1
• convex fuzzy set
  $\mu(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2))\geq min(\mu(x_1),\mu(x_2))$μ(λx1​+(1−λ)x2​))≥min(μ(x1​),μ(x2​))
  membership function 并不一定要求是convex function,并且member function即使是convex function也不一定是convex fuzzy set

fuzzy set 理论计算

• fuzzy subset
  CRT是WARM的subset

Let M1 and M 2 be two fuzzy sets defined for a variable on the universe of
discourse X, and let their associated membership functions be μ1(x) and
μ2(x), respectively. Then, M1 is a fuzzy subset of M 2 (or M1 ⊆ M 2) if
μ1(x) ≤ μ2(x)∀x ∈ X

• Fuzzy Compliment

Consider a fuzzy set M defined for a variable on the universe of discourse X,
and let M have associated membership function μM(x). The fuzzy compliment of M is a fuzzy set ¯ M characterized by membership function
μM ¯(x) = 1 − μM(x).

• Fuzzy Intersection (AND)

Let M1 and M 2 be two fuzzy sets defi ned for a variable on the universe
of discourse X, and let their associated membership functions be

$\color{red}{定义}:\ast$定义:∗ 为T-norm

• fuzzy union(or)

$\color{red}{定义}:\oplus$定义:⊕ 为T-conorm

• Fuzzy Cartesian Product

summary

人在做决策时，例如给消费，将服务转换成fuzzy set， good service, bad service, normal service, 然后决定要给的消费范围，nice tip, normal tip, little tip, 最后要将决策转换成crisp number， 例如10美元。
所以这章的内容非常重要，在后面解决问题时，我们需要将crisp number转换成fuzzy set，然后通过fuzzy logic 作出决策，最后再转换成crisp number。

references

[1] Lilly, John H. Fuzzy control and identification. John Wiley & Sons, 2011.