单源最短路径

问题

• 给定一个带权有向图，选中一个结点称为源点，计算源点到其他结点的最短路径长度。

解题步骤

• 给定一个集合S，初始化S={ s }，s表示源点，S中的点表示已经找到了从u（u属于V）到s的最短路径。当S=V的时候，即S包含所有结点的时候算法结束，即已经找到了s（源点）到其他所有点的最短路径。

• 从s到u相对于S的最短路径：从s到u且只经过S中的点的最短路径。

• dist[u]：从s到u相对S的最短路径长度。

• short[u]：从s到u的最短路径长度。

• short[u] <= dist[u]

  • 因为s到u如果不经过S中的点，即没有路径从s到u，此时最短路径长度为无穷大。而short[u]中s到u没有S限制。
  • 当2者相等的时候，即S中已经包含了所有结点时，算法结束。

算法设计思想

实例演示

• 如图所示，一开始S中只有源点，dist[1] = 0 表示只经过S中的点从1（s：源点）到1 (u：其他点）的最短路径长度为0。再如dist[2] = 10 表示从1到2，且只经过S中的点的最短路径长度为10。dist[3] = 无穷大，因为从1到3需要经过S中不存在的点。
• 计算出所有dist后选择最小的，即dist[6] = 3 ，把点6加入S中。

• 然后更新dist，dist[2]更新为5，从1-6-2路径长度为5 < 1-2路径长度10。
• 计算好dist后选出最小的dist[5]，把5放进S中，以此类推。
• 当所有结点都在S中时，算法结束，此时dist = short，short[u]即为s到u的最短路径长度。