上节课我们主要介绍了线性支持向量机（Linear Support Vector Machine）。Linear SVM的目标是找出最“胖”的分割线进行正负类的分离，方法是使用二次规划来求出分类线。本节课将从另一个方面入手，研究对偶支持向量机（Dual Support Vector Machine），尝试从新的角度计算得出分类线，推广SVM的应用范围。

大纲

Motivation of Dual SVM

1 Non-Linear Support Vector Machine Revisited

上一节提到过我们想用非线性的支持向量机，一方面使用支持向量机可以减少算法的VC维。另一方面使用特征转换，使模型更加复杂，减少Ein.非线性支持向量机同时结合了这两个方面。

我们注意到，在特征转换之后，求解QP问题在z域中的维度设为d̂ +1，如果模型越复杂，则d̂ +1越大，相应求解这个QP问题也变得很困难。当d̂  无限大的时候，问题将会变得难以求解，那么有没有什么办法可以解决这个问题呢？一种方法就是使SVM的求解过程不依赖d̂ ，这就是我们本节课所要讨论的主要内容。

2 Todo

我们下文介绍一种方法，把原问题，即包含d̂ +1个变量和N个约束的QP问题，转化为对偶问题，即包含N个变量和N+1个约束的QP问题.

3 Key Tool : Lagrange Multipliers

转化为对偶问题的关键工具是拉格朗日乘子
Regularization中，在最小化Ein的过程中，也添加了限制条件：wTw≤C。我们的求解方法是引入拉格朗日因子λ，将有条件的最小化问题转换为无条件的最小化问题：minEaug(w)=Ein(w)+λNwTw，最终转化为求解等价问题：

• 在Regularization问题中，我们把λ当做一个已知变量，这样问题就变得很好求解

• 在Dual SVM中，我们把\lambda视为未知变量，并且每一个约束对应一个λ

4 Starting Point:Constrained to Unconstrained

我们可以通过构造拉格朗日函数把约束的问题转化为非约束的问题

首先我们通过原问题构造拉格朗日函数

这里αn是拉格朗日乘子

然后我们构造非约束问题

为什么可以这样转化呢？

• 当(w.b)违反约束条件时，里面的最大化问题会趋向于正无穷
• 当(w,b)满足约束条件时，里面的最大化问题等价于12wTw

Lagrange Dual SVM

1 Lagrange Dual SVM

我们称

为原始问题

对于任意给定的α′,我们都有

对于最好的α′,我们有

所以我们导出来对偶问题

已知≥是一种弱对偶关系，在二次规划QP问题中，如果满足以下三个条件：

• 原始问题的目标函数是凸的

• 原始问题有可行解

• 原始问题的约束是线性约束

那么，上述不等式关系就变成强对偶关系，≥变成=，即一定存在满足条件的解(b,w,α)，使等式左边和右边都成立，SVM的解就转化为右边的形式。即

2 Solve Lagrange Dual

我们先求解里面这个无约束问题，那么根据梯度下降算法思想：最小值位置满足梯度为零。首先，令L(b,w,α)对参数b的梯度为零：

我们将∑Nn=1αnyn=0带入对偶问题，并且化简，我们就消去了b

我们继续对里面的问题求最优，对w求导。我们可以导出

带入对偶问题，并化简，可得

3 KKT Optimality Conditions

原始问题和对偶问题的最优解(w,b,α),一定满足一下几个条件

• 原始问题可行，即yn(wTzn+b)≥1
• 对偶问题可行 αn>0
• 对偶问题的里面的问题最优 ∑ynαn=0,w=∑αnynzn
• 原始问题的里面的问题最优αn(1−yn(wTzn+b))=0

当我们解出了α之后，可以利用KKT条件，解出(b,w)

4 Dual Formulation of Support Vector Machine

因为目标函数中没有关于w的项，所以我们把关于w的约束去掉，其实已经隐含的目标函数中了。那么可以整理为以下形式

这就是标准的hard-margin SVM dual形式，它是一个包含N个变量，N+1个约束的QP问题

Solving Dual SVM

1 Dual SVM with QP Solver

我们可以利用现有的QP工具包求解上述的QP问题

2 Optimal (b,w)

我们可以通过KKT条件求解(b,w)

• w=∑αnynzn
• 通过原始里面最优问题的条件，我们可以推出，当αn>0时，我们可以求解b=yn−wTzn,其实，αn>0,对应的点称为支持向量，在分离边界上

Messages behind Dual SVM

1 Support Vector Revisited

回忆一下，上一节课中，我们把位于分类线边界上的点称为support vector（candidates）。本节课前面介绍了α>0的点一定落在分类线边界上，这些点称之为support vector（注意没有candidates）。也就是说分类线上的点不一定都是支持向量，但是满足α>0的点，一定是支持向量。

根据上一部分推导的w和b的计算公式，我们发现，w和b仅由SV即α>0的点决定，简化了计算量。这跟我们上一节课介绍的分类线只由“胖”边界上的点所决定是一个道理。也就是说，样本点可以分成两类：一类是support vectors，通过support vectors可以求得fattest hyperplane；另一类不是support vectors，对我们求得fattest hyperplane没有影响。

2 Representation of Fattest Hyperplane

我们发现，二者在形式上是相似的。wSVM由fattest hyperplane边界上所有的SV决定，wPLA由所有当前分类错误的点决定。wSVM和wPLA都是原始数据点ynzn的线性组合形式，是原始数据的代表。

3 Summary: Two Forms of Hard-Margin SVM

总结一下，本节课和上节课主要介绍了两种形式的SVM，一种是Primal Hard-Margin SVM，另一种是Dual Hard_Margin SVM。Primal Hard-Margin SVM有d̂ +1个参数，有N个限制条件。当d̂ +1很大时，求解困难。而Dual Hard_Margin SVM有N个参数，有N+1个限制条件。当数据量N很大时，也同样会增大计算难度。两种形式都能得到w和b，求得fattest hyperplane。通常情况下，如果N不是很大，一般使用Dual SVM来解决问题。

Are We Done Yet?

到了这里我们看起来已经消除了对d̂ 的影响

但是，Dual SVM是否真的消除了对d̂  的依赖呢？其实并没有。因为在计算qn,m=ynymzTnzm的过程中，由z向量引入了d̂  ，实际上复杂度已经隐藏在计算过程中了。所以，我们的目标并没有实现。下一节课我们将继续研究探讨如何消除对d̂ 的依赖。